CHAPITRE VIL

Principes généraux. — Écoulement des liquides. — Ecoulement des gaz. Écoulement des vapeurs. — Injecteur Giffard.

Principes généraux.

110. Proposons-nous d'étudier le mouvement d*un fluide dans un tube de section variable (y?^. 29). Nous négligerons les frottements du fluide contre les parois du tube, ainsi que les frottements des filets fluides les uns contre les autres, et nous ad-

Fiç. 29.

mettrons qu'une petite masse du fluide, outre ses mouvements intérieurs, est animée d'un simple mouvement de translation, sans rotation sur elle-même. Si l'on désigne par m le poids d'une petite masse fluide, et par «' sa vitesse de translation, son

énergie totale sera h wU,U étant l'énergie intérieure pour

l'unité de poids. Nous supposerons que le mouvement se fait

par tranches normales à l'axe du tube, c'est-à-dire que les molécules situées dans un même plan normal ont des vitesses égales et parallèles à Taxe du tube; nous supposerons, en outre, que le mouvement s'accomplit sans gain ni perte de chaleur.

Considérons l'état des choses quand le mouvement régulier s'est établi. Appliquons le théorème des forces vives à la masse fluide comprise, au temps t, entre deux plans normaux AB, CD ; au temps t-^dt, cette masse occupera le volume compris entre les deux plans A' B', CD', voisins des premiers. Si l'on compare la masse fluide dans ces deux positions, on remarque que les parties qui occupent dans les deux cas le volume A'C sont dans le même état et, par conséquent, ont la même énergie; la variation de l'énergie de la masse entière est donc la différence entre les énergies des masses égales GC et AA', dont nous désignerons le poids par tb, c'est-à-dire

en appelant w^ et w^y Uj et Uj les vitesses et les énergies intérieures du fluide dans les tranches AB et CD. D'autre part, quand on néglige les frottements, les seules forces extérieures que l'on ait à considérer sont les pressions />i et /?» exercées par le fluide extérieur sur les plans AB et CD et les poids des molécules du fluide. Si l'on désigne par v^ et v^ les volumes spécifiques du fluide dans les tranches AB et CD, les volumes AA' et ce occupés par les poids w de fluide seront jbV'i et wf'„ et le travail des pressions aura pour expression fsp^ r, — w/?, ç^. Une molécule du fluide décrit, pendant le temps dty une ligne telle que MM'. Si l'on représente par z et z' les hauteurs des points M et M' au-dessus d'un plan horizontal H, le travail du poids de. cette molécule de masse m est mg{z — z'). La somme des travaux des poids de toutes les molécules est donc ^mg{z — z'), ou ^mgz — l^mgz'y la première somme s'étendant au volume AC, la seconde au volume A'C. Comme on peut faire abstraction de la partie commune A'C, cette différence est égale à la différence des moments des poids des tranches AA' et CC par rapport au plan horizontal H, c'està-dire à vizi — ^^^9» ^Q appelant z^ et z^ les hauteurs des centres

de gravité Gi et Gj des sections AB et CD au-dessus du plan H. On obtient ainsi Téquation

OU

(l) ^ -f-Uj -hPiVi -4-51= —? -\-\] -J^p ^y -^z^.

On en conclut que la quantité

conserve la môme valeur tout le long du tube.

111. Si le mouvement s*opère par masse continue, comme nous l'avons supposé, chaque partie du fluide peut être considérée comme enveloppée par une surface sur laquelle s'exerce la pression du fluide environnant, et le théorème des forces vives s'applique au mouvement de celle portion du fluide par rapport à des axes mobiles de directions constantes passant par son centre de gravité (n° 33). La variation JsdXS de son énergie intérieure, pendant un temps infiniment petit, est égale à la quantité de chaleur rsdÇ^ absorbée ou dégagée, plus le travail de la pression extérieure dans le mouvement relatif. Cette pression n'est pas absolument uniforme; elle est plus grande d'un côté que de l'autre ; c'est là ce qui produit la variation de la vitesse du centre de gravité. Son travail dans le mouvement relatif, c'est-à-dire résultant du changement de volume de la petite masse fluide, est exprimé par la formule — jsp dvy p étant une valeur moyenne de la pression. On a donc l'équation

d[] — dQ—pdv,

C'est l'équation fondamentale de la Thermodynamique, de laquelle nous avons déduit les lois générales de la transformation des corps. Il en résulte que la transformation intérieure de chaque portion du fluide s'accomplit suivant les mômes lois, abstraction faite du mouvement de translation.

ÉCOULEMENT DES FLUIDES. 12 t

Toutefois, celle conséquence ne sérail plus vraie, si, dans son raouvemenl, le fluide se divisail en portions 1res petites, séparées les unes des autres, ce qui arriverait, par exemple, s'il était obligé de passer par des trous très fins, ou, si les parties ayant des mouvements distincts étaient tellement petites que Ton ne puisse plus les considérer comme limitées par des surfaces continues.

Dans le cas actuel, comme nous supposons que la transformation s'opère sans gain ni perte de chaleur, on a ^Q = o, et l'équation fondamentale se réduit hd\]=z — pdiK On en déduit la variation d'énergie intérieure

U-: — Ui — — / pdv.

l'intégrale se rapportant à une transformation isentropiquo.

Ëcoulement des liquides.

112. Dans les liquides, comme l'eau, la variation du volume spécifique étant très faible, la variation U2 — U^ de l'énergie intérieure donnée par l'équation (2) est sensiblement nulle, et l'équation (i) se réduit à

C'est l'équation de Bernoulli, dont la loi de Torricelli est un cas particulier. Les vitesses Wi et wpj sont inversement proportionnelles aux aires des sections AB, CD. Lorsque l'axe du tube est horizontal, la quantité

pv

reste constante; plus la vitesse est grande, plus la pression est petite.

Écoulement des gaz parfaits.

113. D'après la formule (i3) du n° 84, la variation de l'énergie intérieure d'un gaz parfait est

on a d'autre part, d'après les formules (3) du n«80 et (8) du n»81,

/>2t'2- /^ri=--a/>oi'o(T2-T,)r::z(C;,-C,)(T2-Ti); on en déduit

(U,4-/>ir,)~(U,+/7,r,) = C,,(T,-Tt), et Téquation (i) devient

* I ) "f" '-«/i 1 1 "+- -^1 ^= -H ti« I 9 -h ■?••

On y joindra la relation

qui se rapporte aux transformations isentropiques des gaz (n*»85).

Lorsque l'axe du tube est horizontal , plus la vitesse est grande, plus la température, la pression et la densité sont petites. Si l'on donne la température T,, la pression pi et la vitesse ir, à l'une des extrémités, ainsi que la pression joj à l'autre extrémité, on calculera d'abord Ta à l'aide de l'équation (5), puis «j à l'aide de l'équation (4).

En appliquant ces formules à l'écoulement dans l'atmosphère, par un petit ajutage cylindrique, de l'air contenu dans un vase de grande dimension, à la température de 2o«C., sous là pression de 2«'™, et négligeant le carré de la vitesse très petite w^i, on trouve T2=:q4i ou t^-^ — 32% et fç^jzzzSaô". L'écoulement s'opère avec une grande vitesse, et il est accompagné d'un grand abaissement de température.