Comme on a
les trois sommes précédentes sont des fonctions des trois coordonnées du point P. On peut les ramener à une même somme
On a, en effet, en différentiant par rapport à la variable j?.
dr
r dx
dr dx
dx
•dx
ym
On a de même, en différentiant par rapport aux variables/
et z
dy y^ m'{y' — y) dY __^ m'{z'^z)
dy ^ r* ' dz ^ r^ On en déduit les égalités
dx dy dz
Ainsi les composantes de la force électrique produite au point P par Tensemble des corps électrisés sont les dérivées partielles, prises en signes contraires, d'une certaine fonction des coordonnées du point P. Cette fonction V est ce qu'on appelle le potentiel au point P des masses électriques données.
Surfaces de niveau.
165. On appelle surface de niçeau le lieu des points pour lesquels le potentiel V a une même valeur. Par le point P passe une surface de niveau, et une seule, et il est facile de
l86 BCrUtXK PAftlIK. — OIAPITIK I.
Toir que la forée qui s'exerce en ce point est normale à la surface de nî%~eau. On sait, en eifet, que la normale à cette surface ao point P fait avec les a\es des coordonnées des angles dont les cosinus sont proportionnels aox dériTées partielles
àV oV àV àjc dr d^
et par conséquent proportionnels aux composantes X, Y, Z de la force. On en conclut que la force est dirigée suivant la normale à la surface.
Soit dn la portion de normale comprise entre deux surfaces de niveau infiniment voisines V et V -f- dV^ et supposons que l'axe des a: coïncide avec la normale; on a
dn
Ainsi la force qui s'exerce en un point P est égale à la dérivée du potentiel par rapport à la normale à la surface de niveau passant par le point P, et cette force est dirigée du côté vers lequel le potentiel diminue.
On appelle ligne de force une ligne normale en chacun de ses points à la surface de niveau qui passe en ce point, ou, ce qui est la même chose, une ligne telle que la tangente en chacun de ses points soit dirigée suivant la force qui agit en ce point. Les lignes de force sont les lignes orthogonales aux surfaces de niveau. Dans la formule précédente, dn désigne un élément d'une ligne de force.
Potentiel d'une couche sphéricpie homogdne.
166. Considérons une couche homogène comprise entre deux sphères de rayons a et a-^da^ ayant même centre 0; appelons p la dislance OP, 6 l'angle que fait avec la droite OP le rayon qui va du centre à un point quelconque M de la couche, et cp l'angle que fait le plan PGM avec un plan fixe passant par OP. L'élément de volume ayant pour expression
dçf ■= a* sinô da <iô c?©,
ÉLECTROSTATIQUE. 1 87
si Ton désigne par k la densité de rélectricité libre, on aura
m}z=.k dv = ka^ sin 6 da db <icp, et, par suite,
Vzizkà^daj I d^ d(^ = 2t: ka^ da I
De la relation
r*=a*H- p^ — aapcosB
on déduit
r<ir=: apsinôûfô;
si Ton remplace la variable 6 par la variable r, il vient
2Tzkada
Il y a ici deux cas à distinguer, suivant que le point P est à Textérieur de la couche sphérique ou à l'intérieur de la sphère a. Dans le premier cas, les limites de l'intégration sont p — a et p + a, et Ton a
^■^^ , ^r lir.ka^da M dr=z2a, V = = — )
en désignant par M la masse de la couche. Le potentiel de la couche sphérique, agissant sur un point extérieur, est le même que si la masse de la couche était concentrée en son centre. Dans le second cas, les limites sont a — p et a -h p, et Ton a
a-Hp
dr^=z2p. y =1 ^Tz ka da •= —
Le potentiel de la couche sphérique, agissant sur un point intérieur P, est constant, c'est-à-dire indépendant de la position du point P; on en déduit que la force est nulle.
Pour une sphère composée de couches concentriques homogènes, le potentiel en un point extérieur P^ situé à une distance r du centre, est encore le môme que si toute la masse était concentrée au centre ; le potentiel et la force ont pour
expressions
■y • ' .-TK."
h:''- j88 deuxième PABTIE. — CHAPITRE I.
f^ et les projections de la force sur des axes passant par le centre
de la sphère sont
Ma: My „ Mz
j;^ Considérons maintenant une sphère homogène de rayon a,
|v agissant sur un point P situé dans la sphère même et à une
distance p du centre; on peut regarder la sphère comme composée de couches homogènes concentriques. Les couches dont
p le rayon est moindre que p, agissant sur un point extérieur P,
0^ donnent un potentiel égal à
1^ celles doul le rayon est plus grand que p, agissant sur un point
K ' intérieur, donnent un potentiel égal à
l\'^k l ada^iiiTzk^à^ — p*).
p Le potentiel de la sphère entière est donc
\ — 2Tzk(à'—^Pj
[• Si Ton veut calculer Taction de cette sphère sur le point P,
on remarquera que les couches dont le rayon est supérieur à p n'exercent aucune action sur le point P, et que les couches
^ dont le rayon est inférieur à p agissent comme si elles étaient
concentrées au centre 0; la résultante est une force égale à
dirigée suivant la droite OP; ses projections sur des axes passant par le point sont
on voit qu'elles sont égales et de signes contraires aux dérivées partielles du potentiel.
ÉLECTROSTATIQUE. 1 89
Cas OÙ le point attiré est situé à l'intérieur de la masse agissante.
167. On a supposé plus haut que l'électricité est répandue d'une manière continue dans les corps électrisés, et représenté la quantité d'électricité libre m! contenue dans le volume dv par kdvy en désignant par k la densité électrique dans cet élément de volume. Les sommes qui expriment le potentiel et les composantes de l'action électrique deviennent alors des intégrales définies s'étendant aux volumes des corps électrisés. Tant que le point P est à l'extérieur des corps électrisés, la distance r de chacune des masses agissantes m' à ce point P étant différente de zéro, les sommes ont des valeurs parfaitement déterminées; ce sont des fonctions continues des coordonnées du point P, satisfaisant aux relations (3). Mais, lorsque le point P est situé à l'intérieur de l'un des corps électrisés, la distance à ce point des masses électriques voisines devenant infiniment petite, il y a lieu d'examiner si les intégrales conservent toujours des valeurs finies et déterminées, en d'autres termes si l'hypothèse de la distribution continue de l'électricité est permise.
Imaginons une sphère décrite du point P comme centre
Fig. 46.
avec un rayon égal à l'unité et considérons le cône qui a pour sommet le point P et pour base un élément c^w de la surface de cette sphère; deux sphères décrites du point P comme centre, avec des rayons /• et r -\- dr, découpent dans le cône un élément de volume dv =: r^dtadr; la quantité d'électricité libre m', contenue dans cet élément de volume, est Ar' du) dr, la densité k étant elle-même une fonction des coordonnées.
Concevons une surface fermée et convexe très petite Sj enveloppant le point P {fig. 46), et appelons p et R les distances du point P aux points où un rayon mené par le point P rencontre la surface S, et la surface extérieure S du corps électrisé dans lequel est situé le point P. Le potentiel eu P delà quantité d'électricité située dans le volume compris entre les deux surfaces S et Si est
Quand la surface Si diminue indéfiniment, c'est-à-dire quand le rayon p tend vers zéro, l'intégrale simple
kr dr
tendant vers une limite déterminée,
kr dry
l'intégrale triple tend elle-même vers une limite déterminée,
f krdr;
c'est ce qu'on appellera le potentiel au point P de la masse entière enveloppée par la surface S.
Si l'on désigne par a, p, y les cosinus des angles que fait le rayon R mené par le point P avec les axes des coordonnées, les sommes des projections sur ces axes des attractions exercées sur le point P par les masses électriques comprises entre les deux surfaces S et Si ont pour expression
ÉLECTROSTATIQUE. IQl
elles tendent aussi vers des limites finies et déterminées,
X = — "V oLdb) j k dr,
(5) {^=-y.?do>f f'dr,
quand la surface Sj diminue indéfiniment. Ce sont les composantes de l'action exercée sur le point P par la masse entière enveloppée par la surface S.
168. Si l'on appelle Vi le potentiel au point P de la masse enveloppée par la surface Sj, V, le potentiel de la masse comprise entre les deux surfaces Sj et S, et de même Xj, Yj, Zi les composantes de l'action de la première masse sur le point P, Xj, Yj, Z, celles de l'action de la seconde masse sur ce même point, on a
Vi=y^diof krdr, \^i=^do>f krdr, V^Vi + V^, Xf— — -^«<i(o / kdr, X2 — — ^Qtflffa) / A:fl?r, XrzzXi+Xg,
La masse agissante qui environne le point P n'introduit dans les intégrales V, X, Y, Z, malgré la petitesse de la distance r, que des quantités infiniment petites. Car, si l'on regarde p conïme une quantité infiniment petite du premier ordre, on remarque que la masse agissante enveloppée par la surface Sj, et qui est une quantité infiniment petite du troisième ordre, introduit dans le potentiel une quantité infiniment petite Vi du second ordre et dans les composantes de la force des quantités infiniment petites Xj, Y^, Zi, qui sont au moins du premier ordre.
On déduit de là que le potentiel V, ainsi que les compo-
lOJ ■KIBDH PABIK. — CSAFITIE I.
<ante> \» Y. Z ie 1,1 f r-»^. n^prêsentés par les formules (4) et 3 • s<. c: :-> :V 11» ^ : z.s Toctinues de la position du point P. CoQ^iier :.< cil e5-c iz r«:::it P voisin du point P, et situé couiuie lu 11 1 ji:-n-r ir d*t la surface Sj; désignons par V, le p«>t-e:i::fl ai z*..:ii P -ie Ij masse enveloppée par la surface S. et yjr V^ > r« i-^aû-rî au même point de la masse comprise ectrr? l-es iv-i\ sarta-Lrrs S. et S : on a
