VI - V
OJC * *
De régalité
On peu: presir\? la surface S^ assez petite pour que le po- j tentiel de la masse eQ\eIoppée par cette surface en un point |
intérieur quelcocjj'ie S4.^ît moin'lre qa*ime quantité donnée —
D'autre part, ie potentiel V* de la masse comprise entre les surfaces S et S; en un p«)int e\têrieur à cette masse étant une fonction cxuitiine le la position de ce point, on peut assigner une distance telle que p*:»ur tous les points P' situés à une distance moindre de P» la diférence V, — \\ soit plus petite
que -; pour tous ces points, la différence V — V sera donc
moindre que la quantité donnée s. On en conclut que le potentiel V est une fonction continue des coordonnées x, /, z du point P^mèaie quand ce point est situé à l'intérieur de la masse airissante. On démontrerait de la même manière que les composantes X» Y, Z de la force jouissent de la même propriété.
i69« 11 nous reste à faire voir que les composantes de la force sont encore égales et de signes contraires aux dérivées partielles du potentiel.
Le point P étant extérieur à la masse comprise entre les surfaces S et Si, les dérivées partielles du potentiel Vj sont égales aux composantes Xj, Y*, Z^ de Faction exercée par cette masse sur le point P ; on a donc, en désignant par s' une quantité qui s'évanouit avec wr.
ÉLECTROSTATIQUE. IqS
OU déduit
ùx ex
et, par suite,
' ' -^r xr f '^l — '1
—K — =— x-4-Xi-+-6'-h -4 — -'
ÙX ÙX
Nous allons prouver que le dernier rapport tend vers zéro.
Supposons que la surface Sj soit une sphère décrite du point P comme centre avec le rayon p; les valeurs Vj et V^ du potentiel de la masse intérieure en P et P', étant des quantités petites du second ordre par rapport au rayon p, peuvent être représentées par {xp* et [x'p*, jx et [x' étant des quantités finies. La distance PP', plus petite que p, peut être représentée par 6p, étant un nombre fixe inférieur à Tunité; en désignant par ol' le cosinus de Tangle qu'elle fait avec Taxe des x, sa projection 8j7 sur cet axe sera a' Op. Il en résulte que le rapport
y; - Vi ^ (f^.pop
est une quantité infiniment petite. D'autre part, la composante Xt de l'action de la masse intérieure est aussi une quantité infiniment petite. On en conclut que le rapport
— ^ tend vers une limite égale à —X, qaand p tend vers
zéro, c'est-à-dire que la fonction potentiel V a une dérivée partielle par rapport à x, et que cette dérivée est égale et de signe contraire à la composante X de la force.
Ainsi les propriétés du potentiel subsistent quand le point P esta l'intérieur de l'un des corps électrisés; cette fonction des coordonnées x, j, z du point P reste finie et continue et ses dérivées partielles sont encore égales et de signes contraires aux composantes de la force.
Propagation de la force.
170. Supposons qu'une masse électrique m soit placée en {Jig. 47). Considérons la sphère décrite du point comme centre avec un rayon égal à r et imaginons que sur la surface
B. — Chaleur. i3
de cette sphère soit répandue une couche uniforme et infiniment mince d'électricité positive, de manière que chaque unité de surface en contienne une quantité égale à Tunilé. Lji cône infiniment petit c?w découpe sur la surface de cette sphère un élément d^ égal à r^^/w, et sur lequel on suppose répandue une quantité d^ d'électricité positive. La force électrique (n° 163) F =-;j exercée par la masse m en un point P
de l'élément d<j est dirigée suivant le prolongement de la droite OP, ou au contraire de P vers 0, suivant que la masse
Fig. 47.
électrique m est positive ou négative. La force Fc?(i exercée • par la masse m sur l'élément d(j aura même direction et [ même sens, et l'on dira que l'élément de surface d^ est traversé par une quantité de force égale à Fcfj, dans le sens de la force. Cette quantité de force F d^, étant égale à m dm, est indépendante de la distance r; on dira que dans le cône rfwse propage une quantité de force constante égale à mt/w. Cette propagation de la force se fait dans le sens OP, c'est-à-dire en s'éioignant du sommet, si la masse électrique m est positive, ou au contraire en se rapprochant du sommet si la masse m est négative. Elle est analogue à la propagation de la chaleur ou de la lumière par ondes sphériques émanant d'un centre d'émission, ou au contraire convergeant vers un centre d'absorption. Il en résulte que la quantité de force dégagée ou absorbée par la masse électrique m dans toutes les directions est égale à ^Tzm,
171. Considérons maintenant une surface S quelconque ( /?^. 48). Le cône dia découpe sur cette surface un élément d(7; menons la normale PH en un point P de cet élément et
ÉLECTROSTATIQUE. igS
désignons par i l'angle qu'elle fait avec la force électrique F exercée par la masse m au point P. Le cône doi découpe sur la sphère de rayon OP un élément da', La quantité de force qui traverse l'élément da=iaà est égale à celle qui traverse l'élément <i<T'=: a' è', ou qui se propage dans le cône do^; comme
on a
, m dct' m^dcos/ ^ , m dui = — j— =: 5 = F acx . cos i,
cette quantité de force est égale à la projection sur là normale PH de la force ¥d(j qui agit sur l'élément de
Fig. 48.
Supposons actuellement qu'il y ait plusieurs masses agissantes m, m'y m''', ..., distribuées d'une manière quelconque dans l'espace. La somme algébrique des quantités de force qui traversent l'élément de surface d<s est égale à la somme algébrique des projections sur la normale PH à cet élément des forces telles que F da qui agissent sur lui, ou à la projection de leur résultante. Mais on sait que la somme des projections sur un axe quelconque pris pour axe des x des actions exercées par un système de masses électriques sur une masse 4-1 placée en P, ou la projection de la force électrique du sys-
dV tème, est égale à — -r— • Si l'on suppose l'axe dirigé suivant
la normale PH à l'élément da, et si l'on désigne par dn un
élément PP' de cette normale, la somme des projections des
dV forces F sur la normale PH est égale à — -7- > et celle des
an
forces ¥d(j h
