CHAPITRE I

Telle est l'expression analytique de la somme algébrique des quantités de force qui traversent l'élément de surface dv.

Théorèmes généraux.

Théorème L

172. La somme algébrique des quantités de force qui traversent la surface qui enveloppe un volume est égale à la somme algébrique des masses agissantes situées dans ce volume multipliée par t^iz.

Nous regarderons les quantités de force qui sortent du volume comme positives, celles qui entrent comme négatives.

Considérons d'abord le cas où il n'y a qu'une masse agissante m et supposons la surface convexe.

Lorsque la masse m est située à l'intérieur {fig. 49), chaque cône infiniment petit ^co, ayant pour sommet le point m, découpe sur la surface un élément ab que traverse une quantité de force égale en grandeur et en signe à mdta; la somme des

Fig. 49-

Fig. 5o.

quantités de force qui traversent la surface entière est égale à 4^w. Quand la masse m est située à l'extérieur {fig. 5o), un cône dm découpe sur la surface deux éléments ab et a'b' \ par le premier entre une quantité de force égale à m do), par le second sort une quantité égaie, ou inversement; la somme algébrique de ces deux quantités égales et de signes contraires étant égale à zéro, la somme algébrique des quantités de force qui traversent la surface entière est égale à zéro.

Ces résultats sont vrais, quelle que soit la forme de la surface. Lorsque la masse m est à l'intérieur, un cône dm peut découper sur la surface un nombre impair d'éléments, par

ÉLECTROSTATIQUE. 1 97

exemple trois éléments ah, a'b\ a"b'' (Jig.^i), qui sont traversés par la même quantité de force m dta ; si la masse m est positive, cette quantité sort par le premier, rentre par le second et sort par le troisième; la somme algébrique des quantités de force qui traversent ces trois éléments est égale à mdtû, ce qui donne toujours pour la surface entière ^Tzm. Quand la masse m est située à Textérieur, le cône découpe sur la surface un nombre pair d'éléments, par exemple quatre éléments ab,

Fig. 5i.

Fig. Sa.

a'b, a*'b\a"'b"' {fig. 62), qui sont traversés par la même quantité de force m<iw; si la masse m est positive, cette quantité entre par le premier, sort par le second, rentre par le troisième et sort par le quatrième; la somme algébrique est nulle.

Supposons maintenant qu41 y ait un nombre quelconque de masses agissantes tw, m', m\ . . ., placées les unes à l'intérieur, les autres à l'extérieur. Chacune de ces dernières donne une somme nulle; chacune des premières donne une somme égale à la masse elle-même, multipliée par 4^. La somme algébrique de toutes les quantités de force qui traversent la surface est donc égale à la somme algébrique des masses intérieures multipliée par 4^.

Menons la normale à chaque élément d^s de la surface vers l'extérieur. D'après la formule (6), la somme algébrique des quantités de force qui traversent cet élément étant égale à

dW

— -7- d(5y la somme algébrique des quantités de force qui tra-

versent la surface entière ^st — ^-i- d^. Si donc on désigne par M la somme algébrique des masses intérieures, on a

-2rfïï^'=^'^**-

IqB deuxième partie. — CHAPITRE I.

173. Corollaire. — Le potentiel n^a ni maximum ni mini-mum en dehors des masses agissantes.

Du point P comme centre avec un rayon très petit, décrivons une sphère. Si le potentiel avait en P une valeur maximum, c'est-à-dire décroissait quand on s'éloigne du point P dans certaines directions sans croître dans aucune, la dérivée

-7- aurait une valeur négative ou nulle en tous les points de

la surface de la sphère, et par conséquent le premier membre de réquation (7) aurait une valeur positive; il y aurait en P une masse agissante positive. On verrait de même que, si h* potentiel avait en P une valeur minimum, il y aurait en ce point une masse agissante négative.

Théorème II (Chasles).

174-. La quantité de force qui se propage dans un canal orthogonal aux surf aces de niveau qui ne contiennent aucune masse agissante est constante.

Soient ah cl a' b' les sections du canal par deux surfaces de niveau V et \' (fig, 53). Appliquons le théorème I au volume

enveloppé par la surface latérale du canal et les deux portions ab, a'b' des surfaces de niveau.

Ce volume ne comprenant par hypothèse aucune masse agissante, la somme algébrique des quantités de force qui traversent sa surface est nulle. Si Ton considère un élément de la surface latérale *du canal, la résultante des forces qui agissent sur lui étant tangente à celte surface, sa projection sur la normale à Télément est nulle, et, par conséquent, la quantité de force qui le traverse est nulle (n° 171). Ainsi la quantité de

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force qui traverse la surface latérale du canal est nulle. La somme totale étant nulle, on en conclut que les quantités de force qui traversent les deux sections ab et a' y sont égales et de signes contraires, c'est-à-dire que la quantité de force qui entre dans le volume par Tune des sections est égale à celle qui en sort par Tautre.

Si le potentiel décroît de V à V, la propagation de la force se fait de a vers a'; la même quantité de force traverse les deux sections ab, a'b', dans le sens de la flèche. On peut énoncer ce résultat en disant que dans tout tube orthogonal aux surfaces de niveau se propage un flux de force, qui conserve une valeur constante, tant que le tube ne rencontre aucune masse agissante.

Théorème III (Poisson).