CHAPITRE I
On a d'abord
dx'
da;^
Appelons d<s un élément de surface, a, p et y les cosinus des angles que fait avec les axes la normale comptée vers l'extérieur. Considérons un cylindre infiniment mince parallèle à Taxe des x, de section dta ( fig. 54), qui découpe sur la surface
Fig. 54.
en deux points dont les abscisses sont xi et x^ des éléments de surface da^ et e/<i„ et où les normales font avec Taxe des x des angles dont les cosinus sont «i et aj; on a
diû = — «1 d(Ji := Œj d^^.
En étendant Texpression précédente au volume total, il vient
dx
=2[("ê'-v£).^-.-("^5^-vS),.*.]
dx
ÉLECTROSTATIQUE. 20J
Les autres coordonnées donneront de même
à^y .râ^l]\ , VI /.. dY ,. dU\
2("i^-^tV)^-2(«|J-v2Hj,
ch.
Ajoutant les trois équations membre à membre, il vient
dV àVoàV
D'autre part, la variation de la fonction V sur l'élément dn de normale est
d'où
dV = -:r- dx -h -^— dy n — r— dz, ax ày ^ oz
dW^d\ dx dy dy ÔY^ dz^ d\ dy dy
dn dx dn dy dn ôz dn dx dy dz
La fonction U donnerait une expression analogue; en substituant, on obtient la formule de Green
Le premier membre est une intégrale triple s'étendant à un volume quelconque, le second membre une intégrale double s'étendant à la surface qui enveloppe ce volume.
176. Corollaire. -— Si U et V sont des fonctions continues de X et y y et si l'on pose
AV == — "^-^ dx^ dy^
on a de même Le premier membre est une intégrale double s'étendant à
une aire plane quelconque w, le second membre est une intégrale simple s*étendantau contour 5 de cette aire.
177. Supposons que la fonction U soit une constante et que la fonction V soit le potentiel d'un système de masses électriques; la formule de Green se réduit à
Mais, en vertu de Téquation (7), la dernière somme est égale à — 4"^^^, M étant la quantité d'électricité située dans le volume, ou à — ^Tz2^kdi'] on a donc, pour un volume quelconque,
Appliquons maintenant cette expression à un volume infiniment petit en un point P; on aura, en ce point,
AV-f /jttA^io ou
(8) AV--=— ^t:/.-.
178. Remarque, — Lorsque le point P est situé en dehors des masses agissantes, la densité électrique k étant nulle en ce point, la fonction AV est elle-même nulle. Ainsi la fonction AV est nulle dans tout l'espace extérieur aux masses agissantes. C'est ce qu'il est facile de vérifier directement; en différentiant une seconde fois par rapport à ^ l'expression
ÔY ^m'(x' — .r) trouvée au n® 163, on a
'V V // I ^x'—xôr\ yr^ T i Ax'-xY -— - =z > m'\ — 3 1^ — -;i— )t=i > m'\ -\-6- — 1 —
et, par suite.
ÔX^ -^ dV^ -^ ÔZ^ ^l'^ (- ^ + 73 »^"'
ÉLECTROSTATIQUE. , 20 >
Mais, quand le point P est à Tintérieurdes masses agissantes, la distance r des masses voisines est infmiment petite. On ne
peut plus différentier sous le signe V et la fonction AV n'est
plus nulle.
Équilibre électrique dans un système de corps parfaitement
conducteurs.
Théorème IV.
179. // n'y a pas d'électricité libre à l'intérieur des corps conducteurs.
Un corps bon conducteur est un corps qui n'oppose aucune résistance au mouvement de l'électricité. Considérons un système formé de masses électriques isolées et de corps conducteurs chargés de quantités électriques çlonnées. Appelons V le potentiel de tout le système en un point P quelconque. Pour l'équilibre électrique, il est nécessaire et il suffit que le potentiel ait une valeur constante à l'intérieur de chacun des corps conducteurs; car si le potentiel avait une valeur variable
dans l'un d'eux, une masse m d'électricité libre située dans le
d\ corps serait sollicitée par une force égale à — m— y et se
mouvrait dans la direction de cette force. D'autre part^ les deux quantités -h m et — m d'électricités contraires, qui forment une masse infiniment petite de fluide neutre, étant sollicitées par deux forces égales et contraires, se mouvraient en sens opposés, et le fluide neutre serait décomposé. Ainsi le potentiel de tout le système doit avoir une valeur constante V^ dans l'un des conducteurs, une autre valeur constante Vj dans un second, etc. Il est évident, d'ailleurs, que cette condition est suffisante. Le potentiel est variable dans l'espace isolant qui sépare les corps les uns des autres. Le potentiel ayant une valeur constante dans chacun des
1 * 1 ^' . ' ., av av av ^
corps conducteurs, les dérivées premières ^—3 -r— > -77 sont nulles en tous les points du corps, il en est de même des dé-
204 DEUXIÈME PARTIE. — CflAPITRE I.
rivées secondes ^-^y -r-^ y -rzf • Ainsi, dans chacun des corps,
on a
AV/:: o;
on en conclut, d'après la relation (8), que la densité k de l'électricité libre à l'intérieur des corps est nulle, et, par conséquent, qu'il n'y a pas d'électricité libre à l'intérieur des corps conducteurs. Il résulte de là que, pour les corps parfaitement conducteurs, l'agent électrique, quelle que soit sa nature, réside à la surface même des corps. On se figure l'électricité libre comme une couche infiniment mince répandue à la surface du corps conducteur.
180. Remarque, — De la loi de Coulomb nous avons déduit que l'agent électrique n'existe qu'à la surface des corps conducteurs; on pourrait, au contraire, partir de cette dernière loi, considérée comme établie par l'expérience, et en déduire la loi des attractions et répulsions électriques.
Soit — mm'cp (r) l'action mutuelle de deux masses éleclriques infiniment petites m et m'. La résultante des actions exercées par un système de masses électriques données m', m% ..., sur une masse ■+- 1 placée en P, aura pour projections
Si l'on désigne par/(/) une fonction dont la dérivée est égale à — ^(r), on verra, comme au n** 164., que ces composantes de la force sont égales et de signes contraires aux dérivées partielles de la fonction potentiel
Cherchons le potentiel d'une couche sphérique homogène. En répétant le calcul du n<» 166, on trouve
'X'Kkada
jr/(r)dr.
P Représentons par F(r) une fonction dont la dérivée est
ELECTROSTATIQUE. 2o5
rf{r). Si le point P est à rintérieur de la couche sphérique on a
V ~ iTzka da ■^~ •
Supposons qu'une sphère pleine, en métal bon conducteur et d'un rayon a, soit électrisée. Nous admettons que l'électricité n'existe qu'à la surface de la sphère, où elle forme une couche infiniment mince et homogène à cause de la symétrie; l'action de cette couche sur un point intérieur P étant nulle, il est nécessaire que la quantité
soit indépendante de p, quel que soit le rayon a de la sphère. Cette quantité, développée suivant les puissances croissantes de p, devient
Le premier membre étant indépendant de p, tous les termes du développement sont nuls, à partir du premier; la fonction F''(a), ou la fonction F^(/), est donc une constante A, On en déduit que la fonction F'(r), qui est égale à r/(r), est de la forme Ar -h B, B étant une nouvelle constante. On a ainsi
c'est-à-dire
On retrouve la loi du carré des distances.
Théorème V.
181. La densité de la couche électrique répandue à la surface d'un corps conducteur est en chaque point égale à la Jorce qui agit en ce point, divisée par [\tz.
Nous savons que, dans tout système électrique en équilibre,
•io6
le potentiel a une valeur constante à l'intérieur de chaque corps conducteur. La surface S d*un corps conducteur est donc une surface de niveau, et Ton imagine que sur ceue surface est répandue à l'extérieur une couche électrique infiniment mince, comprise entre la surface S du corps et une surface S' infmiment voisine (/ig* 55). Soient da un élément ab
Fi(j. 55.
de la surface S; e l'épaisseur aa' de la couche en ce point; la quantité d'électricité libre répandue sur cet élément de surface est Are d(s. Comme on ne peut pas évaluer l'épaisseur e, ou
pose
Are — :: h, d'où ktd^z—h da.
Le coefficient h est ce qu'on appelle la densité de la couche électrique.
Les lignes de force menées par les différents points du contour de l'élément de surface ab forment un canal qui découpe sur une surface de niveau voisine et extérieure S" un élément ^(x"'zz:a'' 6". Appliquons le théorème I au volume enveloppé par la surface latérale du canal, l'élément a" b" et une surface acb de forme arbitraire située à l'intérieur du corps conducteur. Nous avons vu (n° 174) que la quantité de force qui traverse la surface latérale du canal orthogonal est nulle. Le potentiel ayant une valeur constante dans le corps conducteur, la force est nulle, et aucune propagation de force n'y existe. La quantité de force qui traverse la surface fermée se
réduit donc à celle qui traverse l'élément a"b'' et qui est égale
dV à — "-T—da". D'autre part, la masse électrique comprise dans
le volume considéré est égale à kzd<Sy ou à h da. On a donc l'équation
dV" du
d<5" z:^ [\Tz II d^ ou
dW di' , , dn d(s
ÉLECTROSTATIQUE. 207
Comme on peut supposer la surface S* aussi voisine que Tou veut de la surface extérieure S' de la couche électrique, le
rapport -r- est sensiblement égal à Tunité, et Téquation précédente devient (0) __^4.A.=.K
dSi Le rapport -7— 5 qui est nul à l'intérieur du corps conducteur, croît rapidement en valeur absolue du point a au pointa'; c'est sa valeur en a', sur la surface extérieure de la couche, c'est-à-dire la force électrique F à l'extérieur du conducteur, qui entre dans l'équation (9). On peut remarquer que la densité h en chaque point est positive ou négative, suivant que le potentiel décroît ou croît, quand on s'éloigne de la surface vers l'extérieur.
182. Corollaire. — La force qui agit sur chaque élément ahb' a' {fig- 56) de la couche électrique est nécessairement
Fig. 56.
dirigée vers l'extérieur, sans quoi l'électricité rentrerait dans l'intérieur du corps; elle exerce contre l'enveloppe isolante une pression que nous nous proposons de calculer.
Nous supposerons que la densité k est constante dans le volume abb' a'j ce qui revient à assimiler le fluide électrique à un liquide incompressible.
Partageons ce volume en tranches infiniment minces par des surfaces de niveau «p, a'p'. Si l'on désigne par n la longueur de la normale a a et par dn son accroissement aa', la masse comprise entre les deux surfaces ab et «p est knd^; celle de la tranche aa' est kdn drs. Appliquons le théorème I au volume a6pa; d'après ce que nous avons dit précédemment, la quantité de force qui traverse la surface qui l'enveloppe se
208 KlUfeaE PAMTIE. — OUMTKE I.
réduit à celle qui traverse l'élément z^; cette quantité de force est égale à
et la force électrique eo ce poiat a pour valeur
La force qui agît sur la tranche zz' est
4~ A/1 X k dn di = 4^ A"* /* à's dn,
La force qui agit sur la masse entière abh'a\ et qui produit la pression contre le milieu isolant est
!\T.k* d's i ndn=z 2îrÂ-*£* da =: 'nzh^di.
Par unité de surface la pression est
(lO) /> = 2r/i*= ^— F*,
Ainsi la pression électrique est proportionnelle au carré de la densité de la couche électrique.
Théorème W.
183* Les éléments correspondants de deux couches électriques placées en regard l'une de l'autre contiennent des quantités d'électricité égales et de signes contraires.
Considérons deux corps conducteurs A et B isolés Tun de
Fig. 57.
l'autre et placés en regard (fig. 67), de telle sorte que deux parties Sj et S, de leurs surfaces soient comprises dans un
ÉLECTROSTATIQUE. 209
même canal orthogonal, ne renfermant entre les deux couches répandues sur Si et Sj aucune autre masse électrique. Nous appellerons éléments correspondants des deux couches les éléments «1^1 et a^b^y ou d^s^ et t/jj» compris dans un même canal orthogonal infiniment petit; imaginons ce canal prolongé d'une manière quelconque dans chacun des corps A et B et fermé aux deux bouts, et appliquons encore à ce volume le théorème I. Aucune quantité de force ne traverse la surface qui l'enveloppe; d'ailleurs la masse électrique qui y est contenue est /ti<f<Ti -h h^drs^y hy et h^ désignant les densités sur d(Ji et d^i', réquation se réduit donc à
hi d^i -h h^ d^2 ^^ o,
ISi*. Corollaire. — Supposons que les deux surfaces S, et S2 soient très voisines Tune de l'autre, et appelons e leur distance «i «2- Les éléments t/di et </<t2 étant sensiblement égaux, on a approximativement h^z=i—h^, La densité est donnée parla relation (9)
' ~ 47: dn '
mais, quand on va de a^ à «2» la dérivée diffère peu de ^ ^■
on a donc la formule approchée
(II) fh^
^Tze
Ainsi la densité électrique en chaque point varie en raison inverse de la distance des deux surfaces.
Calculons la charge Mj : on a approximativement
e, désignant une valeur moyenne de la distance e.
Ces considérations peuvent être appliquées au plateau condensateur et à la bouteille de Leyde. Ordinairement, on fait communiquer le corps B avec le sol; dans ce cas, on a V2 — o, et les formules précédentes se réduisent à
ni=i- — , Ml =7
K, — Chaleur. ^ \\
2IO DEt'XIËMK PARTIE. — CHAPITRE 1.
Pour une bouteille de Leyde, la charge est proporlionnello au potentiel de Farmature intérieure. Si la bouteille était parfaite, c'est-à-dire si les deux armatures étaient fermées, les charges des deux armatures seraient rigoureusement égales et de signes contraires.
THfiORÈMK VII.
185. Lorsque le potentiel a une valeur constante sur la surface qui enveloppe un volume ne contenant aucune masse agissante, il est constant dans tout ce volume.
Car s'il variait, comme il conserve une valeur finie et qu'il reprend la même valeur en tous les points de la surface, il aurait à l'intérieur un maximum ou un minimum, ce qui est impossible (n® 173).
186. Corollaire. — Lorsqu'un corps conducteur présente des cavités ne renfermap,t aucune masse agissante, toute l'électricité libre se porte à la surface extérieure du corps, comme s'il était plein.
Le potentiel a une valeur constante Vi dans le corps conducteur; d'après le raisonnement précédent, il a aussi cette même valeur constante dans chaque cavité. En un point de la surface d'une cavité, la force est nulle et, par conséquent, la densité électrique h est nulle (n^ 181 ). Ainsi, il n'y a pas d'électricité libre à la surface de la cavité; toute l'électricité libre se porte à la surface extérieure du corps, qui se comporte comme s'il était plein.
Théorème VIII.
187. Lorsque le potentiel a une valeur constante Vj sur une surface fermée S enveloppant toutes les masses agissantes, il varie entre Vj et zéro à l'extérieur.
Supposons, pour fixer les idées, que la valeur V, soit positive. Nous remarquons d'abord que le potentiel conserve une valeur positive à l'extérieur de la surface S, car s'il était négatif en certains points, comme il tend vers zéro, d'après sa définition même (n« 164), quand le point P s'éloigne à l'infini, il aurait un minimum, ce qui est impossible. Nous remarquons
ÉLECTROSTATIQUE. 21 J
ensuite qu'il ne peut acquérir de valeurs supérieures à Vj, car alors il présenterait un maximum.
11 est impossible qu'en un point extérieur P le potentiel ait la valeur Vi. Sur chaque droite allant du point P à la surface S, le potentiel pourrait conserver la valeur constante V^; sur les droites qui, partant du point P, vont à l'infini sans rencontrer la surface S, il pourrait conserver la valeur constante V, sur une certaine longueur PP', pour diminuer ensuite vers zéro; le point P' se comporterait alors comme un maximum.
De même, il est impossible qu'en un point extérieur P le potentiel ait la valeur zéro. Sur chaque droite partant du point P et allant à l'infini sans rencontrer la surface S, il pourrait conserver la valeur zéro. Sur les droites allant du point P à la surface S, il pourrait conserver la valeur zéro sur une certaine longueur PP\ pour croître ensuite et devenir égal à Vi; le point P' se comporterait alors comme un minimum.
On en conclut que, dans tout l'espace extérieur à la surface S, le potentiel a une valeur comprise entre V^ et zéro.
Il est un cas particulier qu'il est bon de remarquer, c'est celui où Vi =o; dans ce. cas, le potentiel est égal à zéro dans tout l'espace extérieur.
188. Corollaire. — La surface S, sur laquelle le potentiel a la valeur constante Vi, est une surface de niveau. Si, partant d'un point quelconque a de cette surface, on s'éloigne de !a surface sur une normale, la valeur absolue du potentiel commence par diminuer; on arrivera à un point a' où le potentiel aura une valeur Vj un peu plus petite que Vj en valeur absolue; le lieu du point a' formera une seconde surface de niveau S' enveloppant la première. Partant de cette seconde surface et marchant vers l'extérieur, on formera de même une troisième surface de niveau S'' enveloppant les deux premières et sur laquelle le potentiel aura une valeur Vj, un peu plus petite que \\ en valeur absolue. En continuant de la sorte, on formera une suite de surfaces de niveau s'enveloppant les unes les autres et s'étendant à l'infini. Les lignes de force, qui partent des différents points de la surface S, s'éloignent à l'infini, et sur chacune d'elles la valeur absolue du potentiel va en décroissant et en tendant vers zéro. Elles forment des tubes or-
thogonaux dans lesquels la force se propage en s'éloignant de la surface S, ou en s'en rapprochant, suivant que la valeur V, du potentiel sur cette surface est positive ou négative.
Théorème IX.
189. Un système formé de masses électriques faces données et de charges électriques données sur des corps conducteurs n'admet qu'un état d'équilibre.
Considérons d*abord un système formé de corps conducteurs A, B, C, ..., isolés et tels que chacun d'eux renferme des quantités égales d'électricité positive et d'électricité négative; je dis que le seul état d'équilibre est l'état neutre. Admettons, en effet, qu'il s'établisse un autre état d'équilibre et appelons Vi, Vj, V3, ... les valeurs du potentiel dans les différents conducteurs; soit Vi la plus grande valeur. Le potentiel, tendant vers zéro quand le point P s'éloigne à l'infini, ne peut admettre une valeur plus grande que Vi en aucun point extérieur, car alors il y aurait un maximum. Quand on s'éloigne de la surface du corps A, le potentiel commence donc par diminuer, ou reste constant, et, par conséquent, la densité électrique h ne peut avoir une valeur négative en aucun point de la surface; comme la charge totale est nulle, le corps A esl donc à l'état neutre. En en faisant abstraction, on démontrera de même qu'un second corps est à l'état neutre et ainsi de suite.
Étudions maintenant un système quelconque formé «le masses électriques fixes m, m', m\ . . ., appartenant à des corps non conducteurs, et de charges Mi, Mj, Mj, . . ., répandues sur des corps conducteurs. Nous voulons démontrer qu'il n'y a qu'un état d'équilibre; admettons qu'il y en ait deux; appelons Ai, h^y ... les densités des couches répandues sur les corps conducteurs dans le premier état, h\, A',, ... les densités dans le second état. Si Ton change les signes de toutes les masses électriques dans le second état, on aura un nouvel état d'équilibre — w, — m', — m\ ..., — h\y — A',, .«-î ajoutant cet état au premier, on obtiendra un nouvel état d'équilibre, dans lequel les masses fixes m et — m, m «^ — m', ... se neutralisent, et la densité des diverses couches
ÉLECTROSTATIQUE. 2 1 3
devient hy^ — h\, h^ — h'^y ... ; la somme algébrique des quantités d'électricité qui forment chaque couche est nulle. On rentre alors dans le cas particulier que nous avons étudié d'abord; ce nouvel état est l'état neutre, et l'on a lî^ = /<i, h\ = ^2, Ainsi, il n'existe qu'un état d'équilibre.
Théorème X.
190. Lorsque, dans un système électrisé en équilibre, un corps conducteur enveloppe diverses masses électriques, la somme algébrique des quantités d'électricité situées à rintérieur et sur la surface interne du corps est nulle.
Soient m^, m'j , m'j, ... les masses électriques situées à rintérieur du corps conducteur enveloppant A (y?^. 58); sur
Fig. 58.
la surface interne Si du corps A est répandue une couche M,, sur la surface externe Sj une couche Mj, et il y a en outre à
l'extérieur des masses électriques mj, m!^, ni.y, Imaginons
une surface fermée S dans le corps lui-même, c'est-à-dire entre sa surface interne Si et sa surface externe Sj; la quantité de force qui traverse cette surface est nulle, et, par conséquent, d'après le théorème 1, la somme algébrique des masses électriques qu'elle enveloppe est nulle; on a donc
Ml
tn
Les masses mi, m\, ... peuvent appartenir à des corps mauvais conducteurs, ou bien être les couches répandues sur
2l4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
(les corps conducteurs élecirisés, séparés les uns des autres et de la surface interne du corps A par un milieu isolant.
Corollaire, — Supposons que le corps A ait été primitivement à rétat neutre; il sera électrisé par influence, et la somme algébrique Mi -h Mj des quantités d'électricité libre développées sur ce corps sera nulle; on aura donc
M2 = — M| =:: ni Y -h m\ -4- . . . .
On trouve ainsi la loi de Faraday : La quantité d'électricité induite sur un corps conducteur enveloppant est égale à la quantité inductrice.
Théorème XT.
191. Lorsque, dans un système électrisé en équilibre, un corps conducteur enveloppe diverses masses électriques : i" /a couche répandue sur la sur/ace interne du corps et les masses électriques situées à l'intérieur forment un système partiel en équilibre et sans action à l'extérieur; 2° la couche répandue sur la surface externe du corps et les masses électriques situées à l'extérieur forment un second système partiel en équilibre et sans action à l'intérieur.
Conservons les mêmes notations que dans le théorème précédent, i^ Faisons d'abord abstraction de la couche M2 et des masses extérieures m^, m\y . . ., et supposons que le corps A communique avec le sol; la couche Mi, répandue sur la surface interne Sj, ayant une valeur déterminée
Mi -- — (/?i, H- m\ -4- nï[ -h . . .),
restera sur cette surface et s'y distribuera de manière à former avec les masses intérieures m^y m\, m'j, ... un système en équilibre, dont le potentiel aura dans le corps A et, par suite, dans tout l'espace extérieur, la valeur zéro {n^ 187). Si l'on supprime la communication avec le sol, cet état d'équilibre subsistera.
2° Supposons maintenant que le corps soit plein; la couche interne Qi et les masses intérieures m^y m\y ... se combineront de manière à former du fluide neutre; la quantité d'é-
ÉLECTROSTATIQUE. 2 1 5
lectricilé libre Ma répandue sur la surface externe Sj restera la même et s'y distribuera de manière à former avec les masses extérieures m^, m'^, m\, ... un système en équilibre, dont le potentiel aura, dans tout le volume enveloppé par la surface Sj, une valeur constante Vj.
La superposition de ces deux états d'équilibre constitue un nouvel état d'équilibre. Mais l'ensemble des masses électriques qui composent les deux systèmes partiels est égal aux masses électriques données. Comme un système de masses électriques données n'admet qu'un état d'équilibre, cet état est précisément celui qui résulte de la superposition des deux systèmes partiels.
En chaque point, le potentiel du système total est égal à la somme des potentiels des deux systèmes partiels* A l'extérieur de la surface Sa, il est égal au potentiel du second système partiel; à l'intérieur de la surface Si, il est égal à celui (lu premier système partiel, augmenté de la quantité constante Vj.
Kl
192. Remarques, — i® S'il n'y a pas de masses électriques à l'extérieur du corps, le second système partiel se compose uniquement de la couche Qa, répandue sur la surface externe Sj; cette couche, qui est en équilibre d'elle-même, s'appelle j
couche de niveau; son potentiel a la valeur constante Vi à l'in- J
térieur de la surface Sa. Il est bon de remarquer qu'une couche k
de niveau n'est formée que d'une seule espèce d'électricité, car la valeur absolue du potentiel diminuant quand on s'é- I
loigne de la surface Sa vers l'extérieur, la dérivée -r-j et par
an
suite la densité h de la couche électrique (n°181), a le même j
signe en tous ses points. .
2® Supposons en outre que la surface interne Si du con- ,
ducteur soit une surface de niveau du système des masses^ \
électriques mj, m'j, ... situées à Tintérieur et soit V'j le po- j
tentiel constant de ce système sur cette surface. Le potentiel '\
de la couche Mi ayant une valeur constante — y\ sur la sur- \
face Si est constant dans tout le volume intérieur. La couche :
Ml est aussi une couche de niveau. Les deux couches Mi et Ma,
répandues sur les deux faces du conducteur, n'exercent au-
cune action à Tintérieur; la dislribution des masses intérieures //?,, m\, . . . est la même que si le conducteur n'existait pas.
193. Corollaire l. — Supposons que Ton enveloppe complètement une chambre d'une surface métallique, et que dans Fintérieur de cette chambre existent des masses électriques, ou que Ton en produise de nouvelles par un moyen quelconque, par exemple en faisant marcher une machine électrique. Les quantités d'électricité situées à l'intérieur de la chambre et la couche électrique qu'elles développent par influence sur la surface interne de l'enveloppe formeront un système analogue au premier système partiel dont nous avons parlé, et qui sera sans action à l'extérieur. L'enveloppe métallique empêche donc l'action des masses électriques intérieures de se propager à l'extérieur; on lui a donné pour cette raison le nom d^ écran électrique.
Cette même enveloppe empêche aussi l'action de l'électricité extérieure de pénétrer à l'intérieur de la chambre; car les masses électriques extérieures, avec la couche électrique qu'elles développent par influence sur la surface externe de l'enveloppe, forment un système analogue au second système partiel, sans action intérieure. On ne ressentira donc à l'intérieur de la chambre aucun des phénomènes électriques qui s'accompliront au dehors. C'est sur ce principe qu'est basé le nouveau système de paratonnerres de M. Melsens; on entoure l'édifice d'une cage de fils de cuivre qui produisent à peu près l'effet d'une enveloppe métallique continue.
19i. Corollaire II, — On peut généraliser le théorème précédent. Supposons que plusieurs systèmes analogues à A soient eux-mêmes enveloppés par un conducteur B ; les masses électriques renfermées dans les corps A, A', , . . formant des équilibres partiels sans action extérieure, on peut en faire abstraction et se borner à considérer les couches M^, M'^, . . . répandues sur les surfaces externes de ces corps, comme s'ils étaient pleins; ces masses électriques avec la couche répandue sur la surface interne du corps B formeront un nouveau système partiel en équilibre sans action à Textérieur et aussi sans action à l'intérieur des corps A, A',
ÉLECTROSTATIQUE. 2 I 7
S'il n'y a pas d'autre masse électrique que celles qui sont enveloppées par le conducteur B ou situées sur ce corps, la couche répandue sur la surface externe du corps B est en équilibre d'elle-même : c'est une couche de niveau.
Théorème Xli.
195. U action que des masses électriques données exercent à Veœ té rieur d'une surface fermée qui les enveloppe est la même que celle d'une couche de même masse répandue sur cette surface suivant une certaine loi.
Soient m, m\ ... les masses électriques données dont nous appellerons la somme M, et que nous supposerons fixes, comme si elles appartenaient à des corps non conducteurs; une surfaces de forme quelconque les enveloppe. Imaginons un corps conducteur limité intérieurement à la surface S et extérieurement à une surface quelconque S'. Sous l'influence des masses données, il se formera sur la surface S une couche électrique — M et sur la surface S' une couche -h M. D'après le théorème précédent, le potentiel du système formé par la couche — M et les masses m, m', . . . est nul à l'extérieur de la surface S. Il en résulte que, dans cette région de l'espace, le potentiel de la couche — M est égal et de signe contraire à celui des masses données. Concevons maintenant que Ton change le signe de la densité en chaque point de la -couche — M, nous aurons une couche 4- M répandue sur la surface S et ayant à l'extérieur le même potentiel que les masses données.
Cette couche, répandue sur la surface S, et qui a même action extérieure que les masses données, n'est pas en général une couche de niveau, c'est-à-dire n'est pas en équilibre d'elle-même. Pour qu'elle jouisse de cette propriété, il faudrait que son potentiel fût constant sur la surface S; mais le potentiel de la couche est égal à celui des masses données dans toute la région extérieure à la surface S, et par conséquent sur la surface S elle-même; il faudrait donc que la surface S fût une surface de niveau par rapport aux masses données. La densité de la couche en chaque point serait dans
2l8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE !..
ce cas
I dV
47c au
Si la soninie algébrique des masses éleclriques données était nulle, la couche équivalente formée sur la surface S serait composée de deux quantités égales d'électricité positive et d'électricité négative; rélectricité positive occuperait une partie de la surface, l'électricité négative l'autre partie.
Théorème XIII.
196. Dans un système électrique quelconque^ Vaction qut les masses extérieures exercent à V intérieur d'une surface de nii'eau fermée S, enveloppant quelques-unes des masses^ est la même que celle de la couche qui se formerait par influence sur cette surface, si elle limitait intérieurement un conducteur.
Désignons par V le potentiel des masses électriques m,, m\y . . . situées à l'extérieur de la surface S et par V celui des masses électriques mj, m\y ... situées à l'intérieur, et dont nous appellerons Mi la somme. Sous l'influence de ces dernières, il se formerait sur la surface S une couche — Mi, si cette surface limitait intérieurement un corps conducteur. Nous avons vu que, à l'extérieur de la surface S, le potentiel V des masses intérieures est le même que celui d'une couche -f- Mi répandue sur la surface S et ayant en chaque point une densité égale et contraire à celle de la couche — Mi. A l'extérieur de la surface S, le potentiel V du système proposé est donc le même que celui du système formé par la couche fictive -t- Ml et les masses extérieures m^, m'j, Si la surface
S est une surface de niveau du système proposé, ce potentiel aura une valeur constante Vi sur la surface; mais, comme la surface ne comprend aucune des masses électriques du second système, son potentiel aura la valeur constante Vi dans tout l'intérieur (n« 185). En désignant par V(Mt) le potentiel de la couche Mi, on aura donc, en un point intérieur quelconque,
V(Mi) -f- V" -r- V, ou V" r. V(-- M,) -f- V,.
ÉLECTROSTATIQUK. >, U)
Ainsi, à l'intérieur de la surface S, le potentiel V" des masses extérieures /«2> ^^ly ... ne diffère de celui de la couche — Mi (|ue d'une quantité constante V"i, et par conséquent Taclion (les masses extérieures est la même que celle de la couche -Ml.
197. Corollaire /. — Soient Si et S2 deux surfaces de niveau du système proposé, ne comprenant entre elles aucune masse électrique, Vj et Vj l6s valeurs du potentiel sur ces deux surfaces. Supposons que, sur la surface extérieure Sj, soit répandue la couche — Mi qui se formerait par influence si cette surface limitait intérieurement un conducteur, et sur la surface intérieure S, une couche -h Mi dont la densité en chaque point soit égale et contraire à celle qui se formerait par influence dans les mêmes conditions. En tout point extérieur à Sj, le potentiel de la couche Mj répandu sur Si étant égal à V, et celui de la couche — Mi répandu sur S^ étant égal à — V, le potentiel de Tensemble des deux couches est constant et égal à zéro. De même, en tout point intérieur à S,, le potentiel de la couche — Mi répandu sur S2 étant égal à V^' — Vj, et celui de la couche -4-M1 répandu sur Si étant égal à — V -f- V,, le potentiel de l'ensemble des deux couches est constant et égal à Vj — Vj. Entre les deux surfaces, le potentiel de la couche H- Ml répandu sur Si étant égal à V^ et celui de la couche — Ml répandu sur Sj à V — V2, le potentiel de Tensemble est égal à V -h V — V2, c'est-à-dire à V — V2 ; il ne diffère du potentiel du système proposé que d'une quantité constante. On en conclut que l'action de l'ensemble des deux couches Actives, dans l'espace qu'elles comprennent, est la même que celle du système proposé, et que leur action est nulle en dehors, c'està-dire à l'extérieur de la surface Sj et à l'intérieur de Si.
198. Corollaire IL — Imaginons un corps conducteur limité aux deux surfaces de niveau Si et S2, isolé et primitivement à l'état neutre. Il se formera sur la surface intérieure Si une couche — M| et sur la surface extérieure Sj une couche 4- M|, dont la densité en chaque point sera égale et contraire à celle des couches considérées précédemment. L'action de ces deux couches sera encore nulle en dehors du conducteur; mais,
a'ÎO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
dans le conducteur, leur potentiel étant égal à — V -h Vj, leur action sera égale et contraire à celle des masses électriques données, ce qui est évident a priori.
Nous avons désigné par V le potentiel des masses électriques données; si Ton appelle U le potentiel du système formé par les masses électriques données et les deux couches qui se sont formées par influence sur les deux faces du conducteur, on a U -~ V en dehors de Sj, U =i Vj dans le conducteur, et U = V — (Vi — Vî) à rintérieur de Sj.' L'introduction d'un conducteur limité à deux surfaces de niveau, dans un système électrique en équilibre, ne trouble pas l'équilibre; mais elle produit à l'intérieur une diminution V, — Vj du potentiel.
Théorème XIV (Gauss).
199. Si un système de corps conducteurs possèdent^ dans un premier état d'équilibre, des charges électriques Mi, Mj, . .., et, dans un second état, des charges Mj , Mj, ... ; si Vj, V», . . . sont les valeurs du potentiel à l'intérieur de ces corps dans le premier état, Vj, Vj, ... les valeurs du potentiel à l'intérieur de ces mêmes corps dans le second état, on a la relation
Appliquons la formule de Green (n*» 175)
au volume compris entre les surfaces extérieures des couches répandues sur les corps conducteurs et celle d'une sphère décrite d'un point fixe comme centre avec un rayon R très grand. Puisqu'on a en chaque point
et qu'il n'y a aucune masse électrique dans le volume considéré, le premier membre de l'équation est nul. Le signe somme dans le second membre s'étend à la surface entière qui limite le volume, savoir à la surface de la sphère et aux
ÉLECTROSTATIQL'JÎ. 22 1
surfaces extérieures des couches répandues sur les corps conducteurs.
Cherchons d'abord la partie qui se rapporte à la surface de la sphère. L'élément dn de normale est égal à dK, Si l'on désigne par p la distance au centre de la sphère d'une masse électrique infiniment petite m, par /• sa distance à un point P de la surface de la sphère et par 6 l'angle des deux droites Ont
et OP, on a
/•2zz:R2 — 2Rpcose-+-p%
/• -7ÏT =:: R — pCOsO ziz R/ 1 — ^ C0S6 )>
dV dV y^mdr -^ ni dr
d^"^ dR~~~ 2d7^ dï{ ~ " 2d7' '' d\V
Sur la surface de la sphère, le potentiel V et sa dérivée sont donc des quantités infiniment petites de la forme
A ^ ii R' dl\~' W'
A et B étant des quantités finies qui dépendent de la distribution des masses électriques et du rayon R de la sphère. Quand le rayon R augmente indéfiniment, ces deux quantités A et B tendent vers une même limite, égale à la somme M des masses électriques. On a de môme, dans le second état d'équilibre,
Un élément d^ de la surface de la sphère étant égal à Wdui, la partie de la somme qui se rapporte à la surface de la sphère a pour expression
elle tend vers zéro quand R augmente indéfiniment.
211 DKLXIÈME PARTIR. — CHAPITRE I.
Considérons maintenant la surface extérieure de la couche répandue sur Tun des corps conducteurs, par exemple sur le premier. Les potentiels V et \' ont sur cette surface les valeurs constantes Vi et Vj. L'élément dn de normale devant être pris en dehors du volume considéré, c'est-à-dire vers
rlX dV' l'intérieur de la couche, les dérivées — r- et — r- sont égales et
an an
de signes contraires aux dérivées que l'on obtient quand on
prend l'élément de normale vers l'extérieur de la couche, et,
par conséquent, d'après le théorème V^, elles sont égales à
f\T.h eik ^Tzh'. La partie du second membre qui se rapporte à
la surface de la couche répandue sur le premier corps est donc
égale à
Si donc on désigne par n le nombre des corps conducteurs et par / un indice variant de i à /i, on a la relation
:200. Corollaire /. — Dans le cas des deux corps, la relation précédente devient
v,m;^v,m;zz v;m.^v;m,.
Supposons que, dans une première expérience, le premier corps communique avec une machine au potentiel V, et le second avec la terre, et que, dans une seconde expérience, le premier corps communique au contraire avec la terre et le second avec la machine ; on aura V^ = ^\ =^ o> Vj =1:: Vj, 0t l'équation se réduit à Mj =: M,. Les charges produites par influence dans les deux expériences sont égales.
201. Corollaire II. — Considérons un système de /' corps conducteurs isolés les uns des autres et possédant des charges électriques M,, M*, ...,M„. L'équilibre électrique qui s'établit peut être considéré comme la superposition de plusieurs
^'■■>';?^v %-^^ns^
ÉLECTROSTATIQUE. 223
équilibres partiels, dans lesquels un seul corps a reçu une charge M/, tous les autres étant primitivement à l'état neutre; ces autres corps sont électrisés par influence, mais leurs charges sont égales à zéro. Le potentiel V^'^ de cet état particulier d^équilibre en un point P de Tespace est évidemment proportionnel à la charge Mj-, et Ton a V^'^ =::: A/M/, le coefflcient A/ étant une fonction des coordonnées du point P et dépendant en outre de la forme et de la position des conducteurs. Le potentiel V du système proposé étant égal à la somme des potentiels partiels, on écrira
