I : Il
Dans chacun des corps conducteurs, le potentiel V a une valeur constante. Soit Vy la valeur du potentiel Vdans le corps caractérisé par l'indice j et aij la valeur constante dans ce môme corps de la fonction A/ des coordonnées du point P; on
aura
/ -Il
(i3) \J^^^au^^!.
Supposons maintenant que d'autres charges Mj, Mj, ... soient répandues sur les mêmes corps; on aura de môme
Si dans la relation (12)
2vyM;=^v;M,,
on remplace Vy et Vypar leurs valeurs, on a
Q 24 •nrUÈJIK PAKTIE. — IIHAPITBC I.
oii, en permutant les deux indices / et j dans le secoHd membre»
•iy
Les charire> étant arbitraires, il en résulte que a/y =:«;/, c*e>t-îi-dire que le déterminant des coefficients aij est un déterni inan i s > métriq ue^
Des A équations \io\ résolues par rapport aux quanlilés y,, Mj, ...» on déilulrait des valeurs de la forme
dans lesquelles les coefficients satisfont aussi à la relation lij 1= lyi et forment par conséquent im déterminant symétrique.
ÉlectiisatioB par ÎBflneace.
Théorèjie \V.
£Cfâ. La quantité li'êlectricité induite sur un corps conducteur communiquant ai-ec le soi par une masse électrique située à l'extérieur est moindre que la quantité inductrice.
Supposons qu'un corps conducteur A communique avec le sol et qu'une masse m d'électricité positive soit placée au point B à l'extérieur du corps. Le corps A sera électrisé par influence et il se formera à sa surface une couche électrique M. Le potentiel V du syslème est nul à l'intérieur du corps A; il a une valeur positive dans tout l'espace extérieur; car, s'il avait une valeur négative en certains points, il aurait un minimum; mais ce minimum ne pourrait avoir lieu qu'au point B (n® 173), où existe une masse agissante //i, et ceci est impossible, puisque cette masse agissante est positive. Le potentiel V est donc positif et il acquiert son maximum au point B. Quand on s'éloigne de la surface du corps A, le potentiel, qui était nul, augmente; il en résulte que la densité électrique h de cette surface est négative (n« 181). Ainsi la couche élec-
Ainsi la quantité d'électricité M produite par influence, ou électricité induite, est moindre que la masse inductrice m, en valeur absolue.
Nous pouvons remarquer que la quantité induite M reste la même quand la masse inductrice m se déplace sur une surface de niveau du corps A isolé, et qu'elle est d'autant plus petite que cette surface de niveau est plus grande.
S'il y avait plusieurs masses électriques fixes agissant sur le corps conducteur A communiquant avec le sol, on chercherait la couche induite par chacune d'elles et on les superposerait pour avoir la couche induite totale.
203. Corollaire /. — Si le corps CQnducteur A était isolé, et primitivement à l'état neutre, à la couche M induite par les masses électriques données, quand le corps A communique avec le sol, on superposerait la couche de niveau de masse — M, qui s'établirait à sa surface, s'il était isolé, sans être soumise à l'action d'aucune masse électrique extérieure.
Enfin, si le corps A était isolé et chargé primitivement d'une
B. — Chaleur, i5
ÉLECTROSTATIQUE. 225
trique M produite par influence à la surface du corps A est composée dans toute son étendue d'une même sorte d'électricité, de signe contraire à celui de la masse agissante.
Dans une seconde expérience, supposons le corps A isolé, \
et le corps infiniment petit B à l'état neutre ; puis imaginons l
que le corps A soit électrisé par une machine au potentiel V'^ \
et soit chargé d'une couche M' d'électricité positive. Le corps i
B, isolé, sera électrisé par influence ; mais, à cause de ses di- }'
mensions infiniment petites, les deux quantités égales et de signes contraires d'électricité qui s'y développeront n'auront pas d'influence sensible. La couche M' formera donc sur la |
surface du corps A une couche en équilibre d'elle-même; son |
potentiel positif V ira en diminuant graduellement à Textérieur de V^ à zéro; sa valeur Vj au point B sera donc plus petite que Vj. Appliquons le théorème précédent à ces deux états d'équilibre relatifs aux mêmes corps A etB; nous aurons la relation Vj M -h V, /ni= o ; d'où
quantité d'électricité donnée Mi, à la charge induite M on superposerait la couche de niveau de masse Mi — M.
204. Corollaire IL — Considérons maintenant Finfluence réciproque de deux corps conducteurs A et B isolés, extérieurs Tun à l'autre, et chargés primitivement de quantités d'électricité données Mi etMj. On ramène ce cas général à des cas plus simples par la méthode de Murphy. Soit m^ la couche de niveau qui, répandue sur A, y produit le potentiel i ; cette couche, supposée fixe, induira sur B, communiquant avec le sol, une couche — m^. La couche — m^, supposée fixe, induira à son tour sur A, communiquant avec le sol, une couche Wg; cette dernière, supposée fixe, induira sur B, communiquant avec le sol, une couche — m^, et ainsi de suite indéfiniment. Superposons ces diverses couches, nous aurons sur A une couche
sur B une couche
— M j = — mj — m4 — mg — ... ;
il est facile de voir que les deux couches Mj et — Mg ont ensemble un potentiel égal à i sur A, à zéro sur B, et par conséquent sont en équilibre sous leur action mutuelle.
De même, %o\lm\ la couche de niveau qui, répandue surB, y produit le potentiel i. Cette couche, supposée fixe, induira sur A, communiquant avec le sol> une couche — m^ (n** 200); celle-ci, supposée fixe, induira sur B, communiquant avec le sol, une couche /Wg, et ainsi de suite indéfiniment. Les deux
couches
— Mj = — /Wj — m^ — . . . ,
répandues sur A et sur B, ont ensemble un potentiel égal à 1 sur B, à zéro sur A, et, par conséquent, constituent un nouvel état d'équilibre.
Concevons maintenant que l'on multiplie la densité en chaque point dans le premier état d'équilibre par Vj, la densité en chaque point dans le second état par Vj, les quantités
ÉLECTROSTATIQUE. 227
Vi et Vj satisfaisant aux deux équations
Distribution de l'électricité sur une sphôre ou un ellipsoïde.
'ri'.
' JfcVl"
î et que Ton superpose les deux nouveaux états d'équiJibre i ainsi obtenus, on aura l'état d'équilibre réciproque des deux [ quantités d'électricité données Mi et Ma, répandues sur A et B. fi
Le potentiel de l'ensemble aura les valeurs constantes Vi sur A, V2 sur B. Si Ton donnait les valeurs Vi et Vj du potentiel sur A et B, les mêmes équations détermineraient les couches *
Mt et Mj. I
205. La recherche de la loi de distribution de l'électricité libre à la surface d'un corps conducteur isolé, soumis ou non J
à l'action d'un autre corps électrisé, présente de grandes dif- ■%
ficultés mathématiques; cette question spéciale s'écartant du v'v^
plan de ce cours, nous nous bornerons à en citer quelques i
exemples simples.
Il est évident que sur une sphère isolée et soustraite à toute action extérieure une masse M d'électricité se distribue suivant une couche uniforme; si donc on appelle a le rayon de
la sphère, la densité de la couche sera h := -. — -• Le potentiel
(n® 166) est — à l'intérieur, et — à l'extérieur, p désignant la
distance du point P au centre. La pression électrique est égale , JVP
Considérons maintenant un corps conducteur également isolé ayant la forme d'un ellipsoïde ; imaginons une seconde surface ellipsoïde, concentrique et homothétique à la première, très voisine et extérieure, et concevons que l'espace compris entre ces deux surfaces soit rempli d'un fluide de densité constante k. On sait qu'une couche ellipsoïde homogène telle que celle-là n'exerce aucune action sur un point
n.^-r.^zrz tr ? ' -i*:— . ^ * iiiir-^r^ir ^rjoc :tj«i>laLOt, celle * .11. 1^^- ^ iTTTi --^r » i-r:r-r u "i te diKi"Inn5oi«i de Télec- I' - . u. -iir^» *- L-r * -.!;>- . .»*. >Mr - — x j^ rt.?port de si- ^.^o^:: .'- L— i-»i7. -^ir^» --'î-, r -»iair *r-fs itf^..':- a|*pe!ons/> la T-r^r-»! :i :,:•'- li »i u?^--^ m -*•llr^^ sir -«^ 7 It:: tangenl au 7 -iiii ? *^ "•.:'- , -Li:;^--ir : ir ii rnuat^ f-z. P est la dis- -iii, - ?H ,^-^ v^i:- u:i,:^-i-.> ' ;i-^»ilt*'— r- VIT. ^îm-^-j^ ÎK^iiiologues ? *" ?". ii?^;ai- -^ --r.i- i »-r; m t D»a«: i ^= <£=ri-x/^; ainsi a ifr-»ir^'»* * i»* u -..i' •»»- --r-'T*inw -!a :îiii«rn>^ point P est
p»Mjir. L j»f i-:ae t— -tkh ît.-'ixc^ r?^ ji j,nte ■i'* contact d'un piiin •ai;£*:"j.c 1 Jii^j:?»jr«:ii e* i ri»^ <^.'à«^*re crcciMalrique doni^hî- Si r :a îeîSLTj'f 7iir t^ K ." V^ «. •î.ir:'?*^?^ i^*< Jerai-axes de
•:a 2*^c:>;:L-^îiieii: xt^jcx^ sa mji:?^** c»::: Ii jàarw électrique
Oq a 'raillecrs
vï* «>^
Si Ton soppose qoe c devienne très pellt, rellii»soûle se trans-
ÉLECTROSTATIQUE.
rorme en un plateau elliplique infiniment n
limi: =
les lignes d'égale densité sont des ellipses concentriques liomothétiques. La densité électrique augmente à mesi *[Q'on s'éloigne du centre sur un rayon.
23o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
