CHAPITRE IL

Travail des forces électriques. — Énergie électrique. — Décharge d'une bouteille de Leyde. — Décharge d'une batterie. — Théorème de Maxwell.

Travail des forces électriques.

206. Le jeu des machines électriques développe des quantités égales d'électricité positive et d'électricité négative. Quand les corps électrisés sont bons conducteurs, si on les met ensuite en communication les uns avec les autres et avec le sol, toute électricité libre disparaît, et le système revient à rétat neutre. Lorsque, par une cause quelconque, il y a déplacement des fluides électriques, ou mouvement des corps électrisés eux-mêmes, ce changement dans l'état du système est accompagné d'un travail des forces électriques. Si Ton appelle m et m' deux masses électriques infiniment petites, r leur distance mutuelle, le travail élémentaire des forces électriques a pour expression

mm' , ,v^ m.m/

d^ = ^'^-dr=-d^

le signe somme s'étendant à toutes les combinaisons des masses électriques deux à deux. Nous poserons

mm'

ce qui donne

Lorsque le système passe d« l'état i à l'état 2, le travail des forces électriques est

■^f^.iv

Énergie électrique.

207. La valeur de la fonction W, dans un état quelconque du système, est le travail que développeraient les forces électriques si le système revenait à Tétat neutre ; car on aurait, dans ce cas, Wa^^o et, par suite, ^ = Wi. Le système revenant de lui-même à Tétat neutre quand on établit la communication des conducteurs entre eux et avec le sol, on en conclut que la quantité W a toujours une valeur positive. Nous rappellerons, par analogie, énergie potentielle du système électrisé, ou, plus simplement, énergie électrique.

Inversement, pour électriser le système par le mouvement d'une machine, il faut dépenser une quantité de travail moteur égale à l'énergie potentielle qu'on veut lui communiquer. En général, le travail des forces électriques, pour un changement qiielconque, est égal à la variation qu'éprouve l'énergie potentielle, quand on passe du premier état au second.

L'énergie électrique est une nouvelle forme de l'énergie. Lorsqu'on charge une batterie électrique, on transforme une certaine quantité de travail, ou d'énergie mécanique, en une quantité égale d'énergie électrique, et, réciproquement, dans la décharge de la batterie, une certaine quantité d'énergie électrique se transforme en une quantité égale d'énergie mécanique ou d'énergie calorifique.

208. On peut exprimer l'énergie potentielle W d'un système de masses électriques à l'aide de la fonction V, que nous avons nommée le potentiel du système. La somme

mm'

renferme les combinaisons de toutes les masses élémentaires deux à deux. Considérons les combinaisons d'une masse élémentaire déterminée m avec chacune des autres masses, nous obtiendrons la somme partielle

Mais "V — est la valeur du potentiel V de tout le système au

point où est située la masse m ; la somme partielle est donc Y m. De même les combinaisons d'une autre masse déterminée m' avec chacune des autres donneront la somme partielle w' V, y étant la valeur du potentiel au point où est placée la

masse m'; on a ainsi mV -nm'V -h. . . ou ^mV. Mais, de

cette manière, chaque combinaison a été répétée deux fois; par exemple, la combinaison des deux masses m et m' est entrée, une première fois, dans la somme partielle /nV, une seconde fois dans /n'V. Il faut donc prendre la moitié du résultat, et Ton a la relation

209. Considérons un système de corps conducteurs A, B, C, ..., sur lesquels sont l'épandues des charges électriques Ml, Ms, Ma, .... L'équilibre électrique étant établi, le potentiel a une valeur constante Vj dans le corps A, une autre valeur constante Va dans le corps B, . . . . Dans la somme V /w V,

les termes qui se rapportent aux différentes masses électriques répandues sur le corps A donnent une somme partielle

Vi V /n ou ViMi ; de même, les termes qui se rapportent aux

masses électriques répandues sur le corps B donnent la somme partielle VjMj, . . .; la relation (i) devient ainsi

(2) Wz:=-(ViMi-f-V2Mj-h ...).

Remarquons que, si un corps est resté complètement isolé pendant qu'on a chargé le système, et par conséquent n'a été électrisé que par influence, ce corps contenant des quantités égales d'électricité positive et d'électricité négative, sa charge M est égale à zéro, ainsi que le terme correspondant de l'énergie. Si l'un des corps communique avec la terre, le potentiel y étant nul, le terme correspondant dans l'expression de l'énergie est aussi nul. Ainsi, les corps électrisés par influence

et ceux qui communiquent avec la terre donnent des termes nuls dans l'expression de Ténergie potentielle du système.

Il est clair que la quantité de travail nécessaire pour communiquer à un corps une charge électrique donnée est minimum lorsque le corps est parfaitement conducteur; car, si l'on imagine une autre distribution à Taide de résistances intérieures, telles que celles qui existent dans les corps imparfaitement conducteurs, et que Ton suppose ensuite que ces résistances diminuent peu à peu, le fluide reviendra à la première distribution, en surmontant les résistances, et par conséquent accomplissant un travail positif.

Lorsqu'un système est isolé, ou forme un système complet, Télectrisation de ce système par les actions mutuelles des corps qui le composent développe des quantités égales d'électricité positive et d'électricité négative, et l'on a

Ml -4- Mj -H . . . = o.

Appelons V le potentiel de ce système. Supposons qu'à l'extérieur existent des masses électriques, mais à une distance assez grande pour que leur potentiel ait une valeur sensiblement constante Vo dans l'étendue occupée par le système; ces masses extérieures n'exerceront pas d'action sensible sur le système. L'addition du potentiel constant Vo du champ électrique dans lequel est plongé le système au potentiel relatif V/ de ce système ne change pas l'expression de son énergie ; car on a

Décharge d'une bouteille de Leyde.

210. Considérons une bouteille de Leyde à armatures complètes. On met l'armature intérieure en communication avec une source d'électricité qui possède un potentiel Vi, et l'armature extérieure avec le sol; quand la bouteille est chargée à refus, l'armature intérieure a acquis le même potentiel V,, et s'est chargée d'une quantité 4- Mi d'électricité. Il s'est produit sur l'armature extérieure une charge égale — Mi d'électricité contraire, et sur cette armature le potentiel V2 est nul.

La bouteille présente alors un état particulier d'équilibre que nous avons étudié au n<» 191; son potentiel à Textérieur étant nul, elle n'exerce aucune action sur les corps environnants et se comporte à leur égard comme un corps neutre. Cependant elle renferme une quantité d'énergie égale à

Nous avons trouvé (n° 184)

si l'on désigne par X le rapport -ô— S qui est une constante pour la bouteille donnée, on a

Vi=:XMi

et, par suite.

W=zixMÎ.

Ainsi V énergie potentielle d' une bouteille de Ley de est proportionnelle au carré de la charge.

Cette énergie se manifeste lorsqu'on réunit les deux armatures par un excitateur; la bouteille se décharge complètement, et il y a production d'une quantité W de travail, qui se traduit par une étincelle et par un échauffement du fil de communication. Une partie de l'énergie intérieure est employée à vaincre la résistance de l'air, c'est-à-dire à produire l'étincelle; le reste se change en énergie calorifique. Quand le fil de communication est gros et court, l'étincelle est énergique, et réchauffement du conducteur très faible. Quand le fil est long et fin, l'étincelle est faible, mais le fil s'échauffe davantage.

Plusieurs expériences confirment les résultats de celte théorie. M. Riess a interposé une lame de mica ou une carte sur le passage de l'étincelle, et il a constaté qu'alors réchauffement du fil est plus faible. La résistance à vaincre étant plus grande, l'étincelle a absorbé une plus grande partie de l'énergie.

Si l'on réunit les deux armatures par un fil très long et très

fin, rétincelle devient très faible et le travail correspondant négligeable. En opérant dans ces conditions, M. Riess a trouvé, bien avant la théorie, que, si Ton donne à une même bouteille des charges différentes, la quantité de chaleur dégagée est proportionnelle au carré de la charge.

Décharge d'une batterie.

211. Considérons une batterie formée de n bouteilles identiques. On les charge séparément avec une même source; chacune d'elles prend une charge mj, et Ton a, en appelant Vi le potentiel de la source,

Vi =:Xmi.

Si Ton réunit alors toutes ces bouteilles, Téquilibre subsiste, puisqu'elles n'exercent aucune action les unes sur les autres et que le potentiel est le même sur toutes les armatures intérieures. Là charge totale est la même que si la batterie avait été mise directement en relation avec la source. L'énergie potentielle de la batterie est donnée par la formule

Ml désignant la charge totale de la batterie.

Une batterie électrique de n bouteilles égales est donc équivalente à une bouteille unique de même épaisseur, dont la surface serait n fois plus grande que la surface de chacune des bouteilles qui la composent.

On en déduit aussi

U énergie d^une batterie est proportionnelle au carré de la charge et en raison inverse du nombre des bouteilles. Cette loi a été découverte expérimentalement par M. Riess.

212. Étudions maintenant les décharges incomplètes. Prenons deux batteries. Tune de n bouteilles, l'autre de n' bouteilles, toutes identiques. Chargeons la première batterie à

refus, comme à Tordinaire; Ténergie potentielle de cette batterie est alors

La deuxième batterie étant à Tétat neutre, on réunit les armatures intérieures des deux batteries; un nouvel état d'équilibre s'établit; la charge n/Wj se répand alors sur les n-\-n' bouteilles, et chacune d'elles prend une charge

i- n-hn'

On a maintenant une nouvelle batterie composée de n-\-n' bouteilles; sur les armatures intérieures le potentiel est

son énergie potentielle est

Le travail accompli pendant cette transformation est égal à la diminution W — W d'énergie potentielle

Cette formule avait été trouvée aussi expérimentalement par M. Riess.

213. Étudions encore la charge par cascade. Supposons plusieurs batteries réunies en cascade, la première comprenant ni bouteilles, la seconde /ij, la troisième n^, .... Toutes ces bouteilles sont identiques; l'armature extérieure de la dernière batterie communique avec le sol, l'armature intérieure de la première avec une source dont le potentiel est Vi. L'armature intérieure de la première batterie prend une charge ■4- Ml ; il se produit une charge — Ma sur l'armature extérieure de la première batterie et une charge -4- M2 sur l'armature intérieure de la seconde, le potentiel sur ces deux conducteurs

mi K

réunis étant Vj ; de même, il y a une charge — M3 sur Tarmature extérieure de la seconde et une charge -h M3 sur l'armature intérieure delà troisième, le potentiel étant V3, , . .; le potentiel sur la dernière armature est nul. On aura donc

W zzr i ( ViM, - V2M2 + V2M2 - V3M3 -h V3M3 - . . .)

ou

ce qui est évident a priori, d'après une remarque faite au n« 209.

Pour une bouteille de la première batterie, on a (n<» 18i)

Les charges des batteries successives sont donc

Mp= r- n,,(V;, — o).

On en déduit

Supposons encore les bouteilles parfaitement fermées; alors les charges des deux armatures de chacune d'elles sont égales, et l'on a

Ml = Ma = Ms = . . . j d'où

et

Vi =1 XMi ( — + -- + — 4- . . .

2 2 * \/li Tlj 713 /

Telle est l'énergie potentielle de l'ensemble des batteries; c'est le travail qu'il faut dépenser pour les charger, ou la chaleur dégagée pendant la décharge. M. Riess avait trouvé, par l'expérience, pour deux batteries.

;s relations

fin

/Il /^2

/Il /l2

déterminent les valeurs décroissantes du potentiel dans les batteries successives. Lorsque toutes les batteries contiennent le même nombre de bouteilles, c'est-à-dire lorsqu'on a /ij izz /ij =z /i3 =: . . . , ces relations se réduisent à

Vl — Vj :=: Vj — V3 ^= ... ^= V^-i Vp =:^ Vp = — J

Ir

le potentiel décroît en progression arithmétique.

Théorème de Maxwell.

214. Considérons un système de n corps conducteurs isolés les uns des autres et possédant des charges électriques Mi, Mj, . . ., M„. L'énergie du système est donnée par la formule

On a d'ailleurs, d'après la formule (i3) du n* 201,

les coefficients aji dépendent uniquement de la forme et de la position des corps. ,

Supposons que les corps, restant isolés, éprouvent un dé-

placement ou une déformation infiniment petite ; les charges M/ resteront constantes, mais les coefficients aji varieront; par suite, les valeurs V/ du potentiel dans les différents corps éprouveront les variations

7=1 il en résulte une variation de l'énergie

Supposons maintenant que, pendant le déplacement ou la déformation, on entretienne sur chaque corps le potentiel à une valeur constante, en ajoutant ou en retranchant de Télectricité. 11 suffit pour cela de concevoir que les corps proposés communiquent avec des corps très éloignés, mais de dimensions relativement très grandes, sur lesquels le potentiel ait les valeurs Vi, Vj, . . ., V„. La variation de l'énergie dans cette seconde expérience est

Le potentiel

conservant une valeur constante, on a

2 {ttij^i + MMij) = o.

et, en multipliant les deux membres de cette dernière égalité

24o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. — TRAVAIL, ETC.

par la quantité constante My,

2 «/y My 8M/ = -2 M/My 8«,y.

Si maintenant on attribue à rindicey successivement les nvaleurs I, 2, 3, . . ., 71 et si Ton ajoute membre à membre les n égalités correspondantes, on obtient l'égalité

j = n i= n j zz n i — n

Le premier membre peut se mettre sous la forme

mais, à cause de la relation a/y = aji, on a

2 ttij My =2 «y/ My = V, ; /• = 1 ;• = 1

il est donc égal à

Si le déplacement est le même dans les deux expériences, on a ^aij = dttij =: dajiy et le second membre est égal à 2â?W. On obtient ainsi la relation

On conclut de là qu'à un même déplacem,ent ou à une même déformation d'un système de corps électrisés, soit que les charges restent constantes, soit que le potentiel dans chaque corps reste constant, correspondent des travaux égaux et de signes contraires.