Évaluons d'abord le travail de la force — m -7- > qui

agit sur une masse électrique infiniment petite m, décrivant dans le conducteur une ligne ab {fig» 62) orthogonale aux

Fi g. 62.

surfaces de niveau. Pendant le temps infiniment petit dt, la molécule électrique parcourt un élément dn =z MM' normal à une surface de niveau V; le travail élémentaire de la force

est donc

dV — m -r- dn=z — m dV.

et le travail total pour le déplacement ab est

m(V,-V,), Vi et V2 étant les valeurs du potentiel en a et ù.

THÉQRIE DES GOURANTS ÉLECTRIQUES. 253

On voit que ce travail est le même que celui d'un poids m descendant du niveau Vj au niveau Vj.

227. Considérons maintenant un courant dans un conducteur de forme allongée, et entouré d'un milieu isolant. Soient ab et cûf les sections du conducteur par deux surfaces de niveau Vt et V2 {fig^ 63); cherchons le travail effectué pendant

Fig. 63.

un temps infiniment petit dt par les forces électromotrices qui agissent sur la masse électrique comprise entre ces deux surfaces. Au bout du temps dt, cette masse sera venue en a'b'c'd'. Une molécule quelconque m a parcouru un petit arc MM', et le travail élémentaire de la force qui agit sur cette molécule est m(V — V), V et V étant les valeurs du potentiel aux points M et M'. Pour la masse entière, le travail est

le signe somme s'étendant à toute la masse considérée. Dans cette expression, V est la valeur du potentiel au point où se trouve une molécule électrique m au temps t, Y' la valeur du potentiel au point m' où se trouve la même molécule au temps ^ -h ^^ La première somme s'étend donc à l'espace rt6c<i, la seconde à l'espace a' 6' c'ûf'. Puisque le potentiel est indépendant du temps, il est clair que les termes qui se rapportent à la partie commune a' b'cd sont égaux; on peut donc borner la première somme au volume infiniment petit aba'b', la seconde au volume infiniment petit cdc'd'. Le potentiel ayant des valeurs sensiblement constantes V, et Vj dans ces

volumes infiniment petits, les deux sommes ont pour expressions

Vt]^m, Vj^m.

Mais les masses comprises dans les deux volumes sont égales; c'est la quantité ic?^ d'électricité qui traverse une section dans le temps dt. On a donc

Tel est le travail pendant le temps dt des forces électromotrices qui agissent sur les masses électriques comprises entre les deux surfaces de niveau Vj et Vj ; le travail pendant Tunité de temps est

Ce travail est le même que celui d'un poids i descendant du niveau Vt au niveau Vj.

228. D'après le théorème général des forces vives, le travail d^ des forces électromotrices pendant le temps dt est égal à la variation de force vive de la masse électrique considérée abcdy plus le travail extérieur accompli. Or ce travail extérieur consiste en une certaine quantité de chaleur communiquée au conducteur, plus le travail nécessaire pour faire varier l'énergie potentielle du conducteur, si celui-ci éprouve quelque changement d'état ou une transformation chimique, plus enfin le travail mécanique extérieur proprement dit, si les pièces du conducteur sont mobiles et accomplissent un travail extérieur. Nous supposerons, pour le moment, que le conducteur n'éprouve aucune variation d'énergie potentielle et n'accomplit aucun travail extérieur. D'un autre côté, comme nous l'avons déjà remarqué (n® 220), la force vive de la masse électrique paraît être très petite et négligeable. On dira donc, dans ce cas, que le travail des forces électromotrices est égal à la quantité de chaleur développée dans le conducteur.

Pour un conducteur linéaire, si l'on remplace V, — Vj par sa valeur tirée de Téquation (7), on a

(9) (B^UK

La quantité de chaleur développée dans le conducteur est proportionnelle à la résistance du conducteur et au carré de l'intensité du courant. C'est la loi que M. Joule a trouvée par Texpérience.

229. Nous avons vu que le travail des forces électromo- Irices, pendant chaque unité de temps, est égal à celui d'un poids i descendant du niveau Vi au niveau Vj; ceci nous conduit à une manière très simple de représenter le phénomène. Imaginons le conducteur linéaire rectifié suivant M1M2 {fig, 64),

Fig. 64.

et par chaque point M élevons une ordonnée MA égale à la valeur du potentiel en ce point ; nous obtiendrons une courbe Al A Aj sur laquelle nous pourrons concevoir que s'accomplit le mouvement du poids i. Lorsque la section w du conducteur est constante, la variation Vj — Vj du potentiel étant proportionnelle à la longueur MiM (n<> 224-), le courant est figuré par le mouvement du poids sur une droite AiAj.

230. Pour compléter cette étude, considérons le mouvement de rélectricité dans un conducteur quelconque ; la masse électrique enveloppée par une surface fermée S à l'intérieur du conducteur se déplace et occupe, après le temps dt, une position infiniment voisine S' (/ig.6S). Le travail des forces électromotrices qui agissent sur cette masse est

la première somme s'étendant au volume S, la seconde au volume S'; comme on peut supprimer la partie commune, il suffit d'évaluer les termes relatifs aux parties restantes ASB,

AS'B. Dans la première somme, m est la quantité d* électricité qui entre dans le volume S par un élément ah de la partie ASB de la surface; dans la seconde somme, m est la quantité d'électricité qui sort du volume S par un élément a' h' de la partie ASiB. Si donc on affecte du signe -H ou du signe — la

Fi(;. 65.

quantité d'électricité qui traverse un élément quelconque de la surface S, suivant qu'elle sort ou qu'elle entre dans le volume enveloppé par cette surface, on aura

<iG=— ^mV,

la somme s'étendant à la surface entière. Mais si Ton mène la normale H à chaque élément d^ de la surface vers Textérieur, et si l'on appelle dn un élément de cette normale, la quantité d'électricité qui traverse cet élément dans le temps dt sera exprimée avec le signe convenable par la formule (n* 221)

On aura donc

ïn^=^ — adt -j- a<j, dn

c?5 — a <f ^ V V -7- <^cr

Le travail pendant l'unité de temps est

c=«2:^ii.,.