JJ

-—A^^^dt I I V as ds' , ^^^^,

J J dt

Posons

il en résulte

d^ = **' dW.

Le travail des forces magnétiques / qui s'exercent entre

2g6 DBUXifeME PARTIE. — CHAPITRE VII.

deux feuillets magnétiques homogènes s'exprime ainsi par une intégrale double s'étendant aux deux contours.

L'énergie potentielle relative des deux feuillets a pour valeur 4>4>' W. Si Ton compare cette expression avec celle qui a été trouvée au n* 258, on voit quMl en résulte

La fonction W est donc égale et de signe contraire à la quantité de force émanant d'un feuillet qui traverse l'autre lorsque les deux intensités sont égales à Tunité.

269. La fonction W peut être mise sous plusieurs formes différentes. On a d'abord

On a vu plus haut (n* 266) que l'angle ô que fait la droite cd ou r avec l'élément ds donne la relation

COS0=: r- :

os •

appelant de même 6' l'angle que fait cette droite avec Télément ds'y on a aussi

cos6' = -r-,, as'

d'où l'on déduit

(i6) W=ff^

cosô' , , , — ds as'.

On peut écrire encore

W ^= I 1 f-T- -n ds ds'.

' ' as os'

En intégrant cette expression par parties par rapport au contour C, il vient

\ r^SJlds' J ds ds' "^

^ ^ I 1 AJilds'.

ds ./ r ds'

Le premier terme du second membre, intégré ensuite par rapport à s, donne une somme nulle quand on l'étend au contour G ; on a donc

J J r ds'

La projection S de la distance r sur la tangente à l'élément ds est

5 =zz r cos 6 HZ — /• -^ .

os

Si l'on fait varier l'arc s' de ds' en laissant ds constant, Taccroissement de la projection 5 de la distance des deux points considérés sera

di=z -^.ds'.

os'

D'autre part, cet accroissement représente la projection de rélément ds' sur la direction de l'élément ds. En appelant e Tangle que font les deux éléments, on a

dl = ds' cose =: -T-; ds'

os'

et, par suite,

cosê=x7 = -

ds' ~ as'

En substituant dans la valeur de W, il vient

dsds'.

298 DEUXIÈME PàKTIE. — CHAPITRE VIII.