Les équations (i4) peuvent s'écrire sous la forme
. . di ,,, di'
dt . dt
Les forces électromotrices dlnduction dans les deux circuits sont respectivement
di ,^^ di'
L'intensité du courant dans chacun des conducteurs, lorsque les forces électromotrices sont variables, ne peut être déterminée qu'en intégrant ces équations (i6). Pour avoir une idée de la marche du phénomène, nous supposerons, par exemple, qu'il n'y ait pas de pile interposée dans le second conducteur et que la force électromotrice du premier varie proportionnellement au temps; on peut poser alors
E —\{a-\-ht).
L'intensité i^ du courant produit dans le premier circuit par la force électromotrice E est
et l'on a
Ces équations montrent qu'une diminution d'intensité du courant i fait naître dans le conducteur G' un courant de même sens que celui qui rend W positif, et qu'une augmentation fait naître un courant de sens contraire. Dès que le courant
inducteur i devient constant, i' devient nul et le courant induit cesse d'exister.
293. Supposons encore que les forces électromotrices E et E' sont constantes, mais qu'on les établit ou qu'on les supprime brusquement à des époques déterminées. Si Ton pose
les équations (i6) donnent, en substituant,
( (X — 2wa)A — WBa = o, ^'^^ 1 (X'-2(^'a)B — WAa = o.
On en déduit
( 20) \V i- — 2 (X(^' 4- V w) - -\- l^Wiv'^ W2= o.
ot oc
Les conditions nécessaires pour que les racines de cette équation soient réelles et positives,
(X^^'XV)«+XX'W*>o, sont évidemment satisfaites. Comme on a
-^ X — 2wa .
il en résulte, en désignant par aj et aa les racines de Téqualion (20), par Aj et Aj les valeurs correspondantes de la constante A,
« = --+- Ai<?-*i'-f- Aa^-V,
Considérons deux cas simples :
i*> La force électromotrice E est nulle, le premier circuit étant fermé; fermant alors le second circuit, on y introduit
PHÉNOMÈNES d'iNDUCTION. 325
brusquement la force éleciromotrice E'; on aura alors E = o, ïo==t'Q =o. Après la fermeture du second circuit, le courant a une intensité i' et il se produit par induction dans le premier un courant d'intensité U Les équations (21) donnent, pour les conditions initiales,
X — 2W0Li X — 2Çi^0L^ . E'
il en résulte, en supposant 0L^ < aj,
— Ai = -+-Aî
FWat»
XX' (aj — OL^)
et, par suite,
XX'(a2-ai/ ^'
La fermeture du second circuit produit dans le premier un courant négatif. Au bout d*un temps très court, le régime permanent s'établit et Ton a
2<» Le courant i' dans le second conducteur ayant acquis sa
E' valeur normale rj 9 on enlève la force électromotrice E', sans
changer la résistance du circuit. On a alors
EznO, E'nnO,
Les équations de conditions deviennent
Ai-h A2=o, X — 2(va, X — 2w%2 L E'
il en résulte
Al — Ai — .rr7
E'Wa,aj
et
Le premier conducteur devient alors le siège d'un courant induit positif, de môme intensité et de même forme que dans le premier cas, et l'intensité du courant inducteur l' tend rapidement vers zéro.
Action mutuelle de deux courants dans des conducteurs mobiles.
294. Nous avons cherché Taction mutuelle de deux courants d'intensités variables dans des conducteurs fixes; nous allons maintenant supposer les conducteurs mobiles. Le mouvement de la masse électrique H- m dans le conducteur C est défini par réquation s=f{t) (n*» 281); de même, le mouvement de la masse électrique -+-/w' est défini par l'équation s'z=.f^{t),
et l'on a
ds , ds'
Lorsque les conducteurs sont fixes, la distance r de deux points M et M' de ces conducteurs est une fonction des deux variables indépendantes s et s'; si les conducteurs sont mobiles, la distance r est en outre une fonction du temps, et Ton a r = <p(5, y, ^). Cette fonction des trois variables indépendantes s, s\ t est telle que, si l'on attribue à t une valeur constante, la fonction ^{s^s'yt) des deux variables indépendantes s et s' représente à cet instant la distance de deux points quelconques M et M' des conducteurs. La même fonction r = cp(5, s\ t) représentera aussi la distance des deux masses électriques -+- m et -+- m', se mouvant sur ces conducteurs
mobiles 9 si Ton y regarde s et s' comme des fonctions du
temps
s=/{t), s^=Mt).
On aura de même
C'est à ce point de vue qu'il faut se placer pour appliquer la formule de Weber.
295. En différentiant une première fois, on a d^ d\/r ds ds/r ds' ds/r
ou
dt ds dt ds' dt dt
(24) d^ ^ JJ?- ^ ^, d^fr . d^fr
dt ds ds' dt
Chacune des dérivées partielles -r— ? — tt-' — t- de la fonction
^ ds ds' dt
sfr = cpi (5, 5', t) doit aussi être considérée comme une fonction
des trois quantités 5, s' ^ t. On aura donc, en différentiant une
seconde fois,
d'sfr /aVr ds d^\fr d^ , d^s/r
dt^ \ ds^ dt dsds' dt dsdt^
d^sfr ds d^sfr ds' d^\fr
ds' ds dt ds'^ dt ds' dt d^sfr ds d^sjr ds' d^\fr
dt ds dt dt ds' dt dt^ d\/r du ds/r du'
ds dt ds' dt
ou
d^\fr , d^sJr d^sJ7
dt ds dt ds' dt
fd\/r du ds/r du' \ ds "di "^ "W li
Lorsque la section est inégale et l'intensité variable, u est une fonction de s et ^, comme nous Tavons expliqué précédemment (n<» 282), ce qui donne
du du ds du du du du' , du' du'
dt as dl Ot ds dt dt ds' dt
On a ainsi
d}\f? ( .d^s/7 ,d^sj7^ „à^s/r
— — ■" ' W — T^^:: h 2 UU' . \ , -h U'^ -^\-
dt' V ds^ ds ds' ^ ds'
d^\/r , d^sfr d^\/r
dt ds dt ds' dt
du dsft' , du' dJr
ds os ds' ds'
f dsjr du d\Jr du'
Xâi 'dt "^ W 'dt
Quand on considère les actions réunies de -+- m' et de — m'
sur H- m, comme il faut changer le signe de m' et celui de u\
d^i/r les seuls termes de ,;^ qui subsistent dans le résultat sont
les trois termes
, d^'Jr d\fr du' , d^\fr
2 UU' , \ ; H fr r h 2 m' , \ ■ y
ds ds' ds' dt dt ds'
qui changent de signe avec u'; tous les autres se détruisent. On trouve ainsi que Taction des deux masses -f- m' et — m', contenues dans l'élément ds'^ sur la masse -+- m est
(\a?'mm' ( .d^sfî' dsJr du' .d^sfr
( 2 UU' ^ \ , H f-r -. h 2 m' -r-^c-7
^r \ as ds' ds' dt dt ds'
L'action des deux mêmes masses 4- /w' et — m' sur la masse — m sera
__ /ja^mm' f , dh/? ds/? du/^ ^ , dh/r\ ^/7 y^^dJds' W It ^" 'dtds')"
Les deux premiers termes de ces expressions reproduisent
PHÉNOMÈNES d'iNDUCTION. 829
les deux forces - et zt^i obtenues précédemment (n"285), et la mobilité des conducteurs introduit une troisième force
(III) ^.= — ;^r~3^"
qui est indépendante de la direction de l'élément ds. La somme des actions exercées par Téiément ds' sur les deux masses -h m et — m contenues dans l'élément ds est toujours égale à ^; c'est la force éiectrodynamique dont l'expression reste la même. Nous avons maintenant deux forces électromotrices : l'une due à la variation de l'intensité, l'autre due au déplacement des conducteurs.
296. Évaluons le travail des forces dans les conditions actuelles. Appelons v et v' les vitesses des points M et M' des conducteurs, 8 l'angle de la vitesse v avec la direction MM', 8' l'angle de la vitesse v' avec la direction WU{fig. 88).
La masse électrique -nm a un double mouvement; elle se meut sur le conducteur C avec la vitesse w, et participe au mouvement du conducteur qui l'entraîne avec lui ; son déplacement pendant le temps dt est la résultante des deux déplacements MN =: u dt, MP = V dt. Le déplacement de la masse — m est la résultante des deux déplacements — u dt et v dt.
Les masses électriques H-- m' et — m' ont de même un double mouvement : leur mouvement propre sur le conducteur G' et le mouvement du conducteur qui les entraîne avec lui; le déplacement de la masse + m' dans l'espace pendant le temps dt est la résultante des deux déplacements WW =:u'dt et
33o DEUXIÈME PARTIE. —' CHAPITRE IX.
W^' =^v'dt; le déplacement de la masse — m' est la résultante des deux déplacements — u'dt et v'dt.
Or on sait que le travail d'une force pour un déplacement résultant est égal à la somme des travaux relatifs aux déplacements composants. Nous avons vu (n*â8i) que la résul-
tante des forces -> qui agissent sur la masse ■+- m, et qui proviennent des différents éléments du conducteur fermé C, est normale au conducteur C, et que, par conséquent, le travail de cette résultante pour le déplacement u dt est nul. Pour le déplacement vdt^ le travail est égal à
/ ï 7 ^* rd^sjlr cos8 — Lœ-muivdt I -c— V-: — :=- ds.
J dsds' sjr
La résultante des forces - qui agissent sur la masse — m, étant
égale à la première en grandeur et en direction, donne aussi un travail nul pour le déplacement -— udt, et le même travail pour le déplacement v dt. Il en résulte que le travail des
forces -> qui agissent sur les deux masses -i- m et — m,
contenues dans Télément ds, est
o 9 7 j, C d^\fr cos8 ,
ds ds ^r
f 8 -7 ^,^ rd^sjr cosô , = — Lia^u'çdtds I ^r-V-i — r- ds.
J dsds' ^r
Le travail des forces -> qui agissent sur toutes les masses électriques contenues dans le conducteur C, est donc
(26) d^^C=z-^aHi'dc r f^, "^.^dsds'.
Le travail des mêmes forces qui agissent sur toutes les masses électriques contenues dans le conducteur C est
(27) dS^C = - ia'-u'dlff^^ "-^losàs:
PHÉNOMÈNES d'iNDUCTION. 33 1
Il est évident que la somme de ces deux travaux est le travail des forces électrodynamiques dans le système des deux conducteurs, travail dont nous avons trouvé la valeur ii'dW au n*2T7. Il est d'ailleurs facile de le vérifier; on a, en effet,
dr
ç cos8-i- (^'cos8'=: ^9
ot
et la somme des travaux précédents a pour expression
d^ ^C + d^ ^a — ^aHi'dt f f-^ ~ ^^, ds ds\
J J \Jr àt dsds'
Or, d'après les transformations des n°^ 268 et 269, on a
il en résulte, avec la définition de la fonction W donnée précédemment (n'>287),
(28) d^^C-\-d^^C'=u'dW.
Les forces ^i et — 4^1, qui agissent sur les, masses h- m et — m, donnent, pour le déplacement i>dt, des travaux égaux et de signes contraires; on peut donc, dans l'évaluation du travail de ces forces, faire abstraction du mouvement des conducteurs, et Ton est ramené au cas que nous avons traité au n**287. Ainsi le travail pendant le temps dt des forces ±^1 est — Widi' sur le courant C et —Wi'di sur le courant C; en tout— Wt/(u').
297. Les forces h- 4^j et — <^j qui agissent sur les masses -hm et —m donnent de même, pour le déplacement vdt, des travaux égaux et de signes contraires, et Ton peut encore faire abstraction du déplacement du conducteur G. La somme des projections sur la trajectoire G des forces ^^ produites.par les différents éléments ds' du circuit G' est
J' ^2 cos 6 = 4 nia^ V 1 —= (C) «^(C) yf
ds'
dtds'
r rii/r
ma'-i
J,g,, ds dt ds'
et le travail de cette force sur la masse m est, pour le déplacement udty
Sa^mui'dt f ^ P^ds'^ l^aUi'dsdt f ^ ,^^.^
Le travail exercé sur la masse — m a la même valeur, de sorte que le travail, pendant le temps dt^ des forces 4^* sur le courant i tout entier est
dlB^^C:=:%aui'ds r r^^^dsds'.
D'après les transformations des n°* 268 et 269, on a encore
il en résulte
(29) d(^^iC——u'dW.
Le travail des forces ^^ sur le courant t' a aussi pour expression — m' dW'
En résumé, le travail pendant le temps dt des forces électriques que le courant C exerce sur le courant C est
d^ ^C — Widi'—u'dW; celui des forces que le courant C exerce sur C est
d(B^C' — W i' di — m ^W.
La somme de ces travaux, c'esi-à-dire le travail de Taction mutuelle des deux courants, est, en tenant compte de Téquation (28),
(30) — ii' (TN ~y^ i di' —y^ i' di — - d{ii'V^),
On peut encore écrire l'expression du travail sous la forme
(3i) — d{ii'M^) =: ii'dW — id{i'W) — e d{iW).
Le premier terme du second membre est le travail des forces électrodynamiques, le second — id{i'W) le travail des forces électromotrices dans le circuit G et le dernier — i'd{iW) le travail de ces forces électromotrices dans le circuit C.
PHÉNOMÈNES d'induction. 333
Induction d'un courant sur lui-môme par le changement de forme
du conducteur.
298. Les considérations précédentes peuvent être appliquées à Faction d*un courant sur lui-même, quand le conducteur change de forme, comme un fil flexible, tout en conservant une longueur constante, ou quand il est composé de plusieurs parties solides et mobiles les unes par rapport aux autres. Supposons, comme au n*»288, que les deux courants deviennent égaux et coïncident, et remarquons que le travail de chaque couple d'éléments est compté deux fois; en remplaçant W par 2w et divisant par 2, nous aurons, pour le travail des forces électrodynamiques, i^dw^i^ouT le travail des forces électromotrices, — 2 id{iw)y et, pour le travail de toutes les forces que le courant exerce sur lui-même, — d{ i^w). Nous conserverons toujours à la quantité i^w le nom à' énergie potentielle du courant. Si Ton conçoit le conducteur replié sur lui-même de manière à former deux courants égaux et de sens contraires, Ténergie est nulle, parce que ^ = 0. On peut regarder cet état comme Tétat initial d'un courant d'intensité i.
Les forces électrodynamiques doivent être regardées comme appliquées au conducteur; à ce conducteur sont appliquées aussi des forces extérieures. Le mouvement sensible du conducteur étant déterminé par les forces électrodynamiques et les forces extérieures, on a
( 32 ) <iB =r. i* d^v -i- d^ ext.,
B désignant la force vive sensible du conducteur. D'autre partf, si l'on considère l'ensemble du courant et du conducteur, on a, en négligeant la force vive des masses électriques,
d^-^\i^dt — Eidt — d{ i^w) 4- d^ ext., ou, en vertu de l'équation précédente,
li^-dt — Eidt — d{i^w) — i^ dw, ce qui donne (33) 'E.idt — X i^ dt 4- di^i^w) -h i} dw.
334 DEUXIÈME PARTIE. — GBAPITftS IX.
