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^r^, . COS 27:^ f - — pp W- a - aM — COS 27ri^~ + ^j-f-a-ha' .
L'intégrale du second membre est une somme de sinus, et la valeur moyenne de cette intégrale pour un intervalle de temps 6, très grand par rapport à la durée de chaque période, est négligeable. On trouve ainsi, pour la valeur moyenne de la force vive du point matériel m.
(,7) -J^ —dt^m.^-^
On conclut de là que : L'énergie moyenne d'un mouvement vibratoire quelconque est égale à la somme des énergies moyennes des mouvements vibratoires simples qui le composent.
27. Supposons maintenant que le corps soit animé en même temps d'un mouvement sensible et d'un mouvement vibratoire. Les coordonnées d'un point matériel m à un instant quelconque sont encore j? h- ?, j + r^, ^H-î; mais les coordonnées Xy y y z de la position moyenne sont ici des fonctions du temps. Les composantes de la vitesse de ce point sont
dx dt
^~dV
dt
' dt'
dz dt
' dt
Pour le point considéré, la composante -j- de la vitesse sensible peut être regardée comme constante pendant la durée d'une période T, si le mouvement vibratoire est simple, ou, plus généralement, pendant un intervalle de temps 6, petit en valeur absolue, mais très grand par rapport à chacune des périodes qui entrent dans un mouvement vibratoire complexe. On a donc, approximativement,
fi A tp
1 r dx d^ ^ i dx r dl j^ I dx -y^f.
6 / dt dt 6 dtj^ dt ^ dt ^ ^^
On a d'ailleurs
2 , m(dx^ dy^ dz^
2\dt^ dt^ dt^
I /* fdxd\ dy dr\ dz dX\^ Vo ^\^di~^'Èidi~^didi)
Les trois termes de la dernière intégrale étant négligeables, comme nous venons de le voir, il reste
I /* nn^^ m/dœ^ dy^ dz^
êj, T" ^ "'^ \dF ~^ 'dt^ ~^ dt^
d^^ dr,^ dX;^
La première partie du second membre est la force vive du mouvement sensible, la seconde est la force vive movenne du mouvement vibratoire. On dira donc que :
Uénergie cinétique d'un corps est égale à la somme de l'énergie du mouvement sensible et de l'énergie du mouvement vibratoire.
Influence du mouvement vibratoire sur l'énergie potentielle.
28. Considérons un corps sans mouvement sensible et animé d*un mouvement vibratoire. L'énergie potentielle, qui est une fonction des distances des différents points matériels, dépend du mouvement vibratoire et varie aussi d'une manière périodique; nous nous proposons de calculer sa valeur moyenne. Représentons toujours par a;, y, z les coordonnées de la position moyenne du point mx s'il n'y avait pas de mouvement vibratoire, l'énergie potentielle aurait pour valeur
Pendant la vibration, les coordonnées du point m sont x-\-\y 7 + 7), ^ H- Ç; alors l'énergie potentielle a pour valeur
Les projections 5, ri, K du déplacement vibratoire sont très petites par rapport à a?, j, z; on peut donc développer celte fonction en série rapidement décroissante et écrire, en se bornant aux termes du second degré,
w 17/ t , , . dF, dF dF ^
W = F{œ,y,z,œ',y,z\.,.)-^^l-^^r,^—li-^,.,
La fonction W ayant une valeur minimum dans Tétat d'équilibre, les dérivées premières j^ ' ;/-' ;7r' ' ' ' ^^^^ nulles, et la
seconde partie est positive. Ainsi la vibration augmente l'énergie potentielle. La valeur moyenne de l'augmentation est
^'^^ '^W^^'-^dy^^^dF^'-'-'d^
On conclut de là que la vibration augmente la valeur moyenne de V énergie potentielle , sans que les positions moyennes des molécules soient changées, c'est-à-dire sans que Vétat apparent du corps soit modifié. On peut expliquer ainsi la dilatation des corps par la clialeur.
Cas où il y a des forces extérieures.
29. Nous avons trouvé l'équation des forcés vives dans le cas le plus général (17) :
Si le corps a passé de l'état [i] à l'état [2], on a (n<» 20)
2sFint.=./2-/i:=rn,-n„
et l'équation (20) devient
^^'^-r-{li,-^,)^^^FQxU
OU bien
AV + AW^z^^Fext.,
c'est-à-dire
(21) AC=:2^Fext.
Ainsi :
Théorème VIII. — La variation de V énergie d'un système est égale à la somme des travaux des forces extérieures,
30. Nous avons vu que le théorème des forces vives subsiste dans le mouvement relatif à des axes de directions constantes passant par le centre de gravité (n° 19), et Ton a
G' désignant le travail dans le mouvement relatif. Le travail des forces intérieures étant le même dans le mouvement relatif que dans le mouvement absolu, cette équation peut être mise sous la forme
ou
Ainsi :
Théorème IX. — La variation de Vénergie intérieure d'un système est égale à la somme des travaux des forces extérieures dans le mouvement relatif à des axes de directions constantes passant par le centre de gravité,
31. Outre Taction des forces extérieures proprement dites, le corps peut recevoir une certaine quantité d'énergie calorifique qui lui vient du dehors, ou bien il peut perdre une certaine quantité d'énergie calorifique qu'il communique aux
corps extérieurs. Cet échange de chaleur a lieu par rayonnement ou par conductibilité, et voici comment on conçoit qu'il s'effectue :
Quand un corps est animé d'un mouvement vibratoire moléculaire, réther que possède le corps participe au mouvement; ce mouvement se communique à Téther ambiant, dans lequel il se propage par ondes successives, et l'éther ne conserve rien du mouvement vibratoire qu'il a servi à transmettre; c'est là ce qui constitue le rayonnement de la chaleur.
Inversement, quand une onde calorifique rencontre un corps, elle communique une partie de son énergie à l'éther que renferme le corps et aux molécules elles-mêmes; le corps entre alors en vibration, ou bien le mouvement vibratoire qu'il possédait est augmenté; le corps a absorbé une certaine quantité de chaleur.
Enfin, quand une molécule d'un corps est en vibration, elle communique cette vibration aux molécules voisines, et le mouvement se propage ainsi de proche en proche : il y a alors communication de chaleur par conductibilité, 11 est probable que l'éther intervient encore dans ce dernier cas.
Nous appellerons quantité de chaleur la quantité de force vive qui^se rapporte aux mouvements vibratoires, et, plus généralement, à tous les mouvements qui produisent les phénomènes calorifiques; de sorte que l'unité de chaleur sera l'unité mécanique de force vive ou de travail, c'est-à-dire le kilogramme tre.
32. Supposons donc qu'une certaine quantité de chaleur Q, venant du dehors, pénètre dans le corps; elle augmentera d'autant l'énergie du corps, et l'équation (21) deviendra
(23) AUmiyCFFext. -+-Q.
Si au contraire le corps dégage une quantité de chaleur Q', son énergie sera diminuée d'autant, et l'équation (21) deviendra
AUi=^^yGFext.-Q'.
On a ainsi le théorème général suivant :
Théorème X. — Dans tout système, la variation de V énergie est égale à la somme des travaux des forces extérieures, plus ou moins la quantité de chaleur absorbée ou dégagée.
Mais on peut comprendre les deux cas dans la même équation (23); il suffit de regarder une quantité de chaleur ahsorhée comme positive, dégagée comme négative.
On peut répéter les mêmes raisonnements en considérant, non plus le mouvement absolu, mais le mouvement relatif à des axes de directions constantes passant par le centre de gravité. Si une quantité de chaleur Q est absorbée ou dégagée par le corps, elle augmentera ou diminuera d'autant son énergie intérieure, et l'équation (22) deviendra
(24) AU,=2^'^^^t--^Q-
Théorème XI. — Dans tout système, la variation de V énergie intérieure est égale à la somme des travaux des forces extérieures, estimés dans le mouvement relatif à des axes de directions constantes passant par le centre de gravité, plus ou moins la quantité de chaleur absorbée ou dégagée.
Travail des pressions extérieures.
33. Ordinairement les forces extérieures consistent en pressions normales s'exerçant sur la surface du corps. Le corps A reçoit d'un autre corps une pression P et réagit sur lui avec une force égale et contraire — P; il est clair que la somme des travaux des pressions extérieures que supporte le corps A est égale et de signe contraire à la somme des travaux des réactions exercées par le corps A sur les corps extérieurs. Si donc on appelle S la somme des travaux des réactions exercées par le corps A sur les corps extérieurs, la somme des travaux des pressions extérieures s'exerçant sur le corps A sera — S; l'équation (23) devient
