X = VT', M = \J

I ; = w {T ± 6), li = r,, (T' ± 6),

si Ton admet l'inégalité des vitesses dans le vide et les milieux pondérables. On voit donc que si l'on avait, grâce à l'existence d'une dispersion dans le vide,

X Xl-L

on aurait toujours

- V T , X' Xi V T'

et que les rapports -■> p» ... donneraient encore une disper-

sion quand on passerait d'un milieu dans un autre milieu. On ne pourrait vouloir soutenir que l'on eût t? ( 1 q= ™ j = r'^, v{'i±—,\^=^v\^ ...,

V,, rj[ étant les vitesses des formules données jusqu'ici, puisque nous avons montré que l'inégalité des vitesses dans le milieu pondérable entraînerait l'inégalité dans le vide, par suite que l'on aurait en même temps V^, V{... dans la formule des indices.

Ainsi, alors que la théorie et les formules actuelles des indices ne permettaient plus de prévoir de dispersion par réfraction si l'on prouvait la dispersion par inégalité des vitesses dans le vide ; nos formules et notre théorie en admettant que la dispersion par réfraction soit due à une variation des valeurs T, T'... dans la zone d'attraction de Newton, nous montrent qu'il pourrait y avoir en même temps une autre dispersion par inégalité des vitesses dans un seul milieu.

Nous laisserons de côté la dispersion possible dans le vide, et nous admettrons, comme les auteurs, qu'elle n'a pas lieu.

D'après ce que nous venons de voir, il ne reste plus que l'hypothèse de l'égalité des vitesses dans les milieux pondérables, comme dans le vide.

Ayant les relations des vitesses égales :

nous arrivons à cette conclusion forcée que si les longueurs d'onde ainsi calculées ne sont pas celles de l'expérience, c'est que les valeurs de T, T', T" ont subi une modification passagère quand on passe du vide dans des milieux réfringents, h' invariabilité de ces valeurs admise sans preiwe aucune, dans toutes les théories actuelles de la lumière, était donc incompatible, elle aussi, avec la théorie des ondulations. Et, en effet, comment admettre que, dans la zone d'attraction admise par Newton, l'éther du vide vibrerait exactement pour la même unité de déplacement, comme l'éther, loin de cette zone ? Qu'ayant, à la suite d'un choc dans le vide, (N, T), ces deux valeurs resteraient invariables dans la zone d'attraction. C'est cependant ce que dans les théories mathématiques de la lumière, on avait admis jusqu'ici. Comme nous venons de montrer que la vitesse est la même pour toutes les lumières simples, et que l'expérience donne /,, /,', /J, au lieu de /, l\ /", il en résulte donc que l'on aura dans la zone de Newton :

l, = V (T ± 6), l', = V {T ± 6), Il = V {T' ± 6),

et que les constantes dun rayon engendré par une lumière du vide dans un milieu pondérable sera à l'entrée :

V, l\, N'i;iv', T'±e,

étant donné que l'on avait dans le vide :

et que

On voit que (N'qiv', T' ±: 6) répondait sensiblement à la lumière (N', T') du vide tandis que (N;, T'), auquel conduisait l'inégalité des vitesses s'en écartait considérablement.

Comme les théories mathématiques de la dispersion, depuis Cauchy, étaient uniquement basées sur l'hypothèse de l'inégalité des vitesses de propagation des lumières simples, nous devions donc conclure qu'il n'y avait plus de théorie de la dispersion et qu'il fallait revenir à l'ancienne méthode de Newton en l'appliquant aux ondulations. On se trouve en même temps dans la vérité expérimentale qui permet d'observer facilement la dispersion de la lumière blanche. Comme le faisait Newton, nous avons supposé que la lumière passait d'un milieu

iO THÉORIE NOUVELLE DE LA DISPERSION

dans un autre, au lieu de nous cantonner comme Cauchy dans un seul milieu. Si le premier était le vide, on avait à chaque instant, comme les auteurs l'admettent entre le déplacement d'une molécule lumineuse et la durée d'une oscillation T :

(1) e = B sin2cj pj;5

d'où l'on déduisait, comme on sait, ayant -7-^ =: Fe :

F étant la force élastique correspondant à l'unité de déplacement pour une couleur engendrée (N, T). Cette force, ainsi que la formule le montre, varie avec les diverses lumières. Mais pour une même lumière, les auteurs avaient admis qu'elle était invariable quand on passait du vide dans un milieu pondérable. A priori., c'était difficile à comprendre, car, comment admettre qu'une molécule d'éther déplacée d'une certaine longueur dans le vide de sa position d'équilibre, n'aura pas engendré une force de réaction différente pour la même longueur de déplacement, quand il s'agira de l'éther qui vibre dans la zone d'attraction de Newton ?

Or la théorie que nous venons de développer nous prouve précisément que T devient (T db 6) pendant un temps très court, quand on passe du vide dans un milieu pondérable. Elle fait donc disparaître cette conséquence que l'esprit se refusait à admettre, de l'invariabilité de F pour une même lumière quand on changeait de milieu. Ayant (3) dans le vide, nous aurons donc dans l'éther de la zone :

bien entendu, et nous le montrerons, -r sera extrêmement petit, sauf

dans les corps fluorescents.

De plus F et T resteront invariables quand le rayon incident sera normal à la surface de séparation de deux milieux. Dans ce cas, en effet, la composante de l'attraction dans le plan de vibration est nulle. Il n'en serait plus de même dans la polarisation rdtatoire.

Enfin pour un rayon oblique, après un certain chemin parcouru, l'at-

traction devient insensible, et 4>, T ( 1 dz ;p ) reprennent leurs valeurs F,

T alors que la vitesse acquise t» et la longueur d'onde /, resteront les mêmes. 11 est facile de le montrer.

Un des points qui n'ont pas peu contribué à embrouiller la question de la dispersion a été l'habitude prise d'exprimer les vitesses en fonction d'autant de temps différents T, T', T"..., qu'il y avait de lumières. Si, comme en mécanique, nous adoptons une seule et même variable T, nous dirons qu'ayant dans la zone d'attraction :

l,=vT(i±^\ 1\=vtU±:yX r,=vT'(^i±^^r

à l'époque uniforme T, les longueurs respectives égales:

auront été parcourues par les diverses lumières simples avec la même vitesse V.

tLv

fiB '

FiG. 4.

Donc les choses se passent au sortir de la zone comme si l'origine des vibrations des différentes lumières était en A, B, C, ... Par conséquent, si les ondes se propagent avec la viême vitesse, elles arriveront en même temps < = MT en A', B', C, ... Ainsi, arrivant en P' à des intervalles de temps différents, ceci ne sera nullement la preuve que les ondes se seront propagées avec des vitesses différentes, mais qu'elles auront conservé intact l'intervalle de temps qu'elles ont brusquement acquis dans la zone d'attraction. Un exemple bien connu est celui des anneaux colorés de réflexion, dans lequel la vitesse des lumières simples

restant la même, les rayons éprouvent cependant des retards différents ^t

— • — ; on aurait commis une erreur, si Ton avait conclu que ces retards

tenaient à ce que les vitesses étaient devenues différentes.

Le temps mis par la première onde pour venir de A en A' sera :

t — MT,

avec une vitesse y, l'espace parcouru sera :

d'où :

On voit donc que Ton retrouve exactement la même valeur pour la longueur d'onde à la sortie, que dans la zone d'attraction, avec cette différence que, dans la zone d'attraction, on avait la formule habituelle :

If — t*T^,

qui est la formule consacrée qui lie la longueur d'onde à la vitesse et à la durée d'une oscillation.

Jamais jusqu'ici aucun physicien n'aurait pu croire que la longueur d'onde pouvait être liée à la vitesse et à la durée d'une oscillation par une autre formule. Nous démontrons pour la première fois, par la formule fondamentale (H), que la longueur d'onde sera liée à la vitesse v et à la durée T d'une oscillation, en un point d'un milieu, par une formule totalement différente de celle admise jusqu'ici.

Cola se produira toutes les fois que le rayon traversera de nouveaux milieux, où, sous l'influence de zones d'attraction, T prendra provi-

Telle est la théorie nouvelle de la dispersion que nous avons développée, dans l'hypothèse où toutes les lumières, simples se propagent avec la même vitesse dans les mêmes milieux pondérables. Cette théorie nous a conduit, pour l'indice en fonction de la longueur d'onde dans un milieu non hémiédrique, à la relation de Cauchy :

Nous montrerons que Cauchy dans sa théorie étant arrivé à la relation :

où V et / sont la viiesse et la longueur d'onde du milieu élastique n'avait pas le droit de substituer les indices aux vitesses, sa théorie ayant été établie pour mi seul milieu de densilé uniforme. Nous montrerons de plus qu'en faisant cette substitution on arrivait non pas, comme les auteurs le prétendaient, à la formule précédente donnant l'indice en fonction de la longueur d'onde du vide sous une forme vérifiée par les expériences, mais bien à :

aX- -\- b ' {a>? -\-bY ' '"'

en contradiction avec les recherches de Béer.

De plus, alors que Cauchy a été impuissant avec sa théorie à assigner au terme constant A une valeur déterminée, nous trouvons, avec notre

théorie, que ce terme est égal à — j c'est-à-dire au rapport des vitesses

de la lumière blanche dans le vide et le milieu dont n est l'indice, pour une lumière quelconque (N, T, X) du vide.

Le signe — devant ™ nous donne la dispersion normale, le signe -|-

la dispersion anomale; l'indice peut devenir plus petit que lunité,

comme dans la réflexion métallique si u ( 1 + „ ) > V, ce qui n'exige

pas que u > V, comme les auteurs étaient, bien malgré eux, obligés de le conclure dans leur théorie, sans pouvoir l'expliquer.

En ce qui concerne la vitesse de propagation des ondes, nous faisons disparaître cette anomalie d'être obligé de considérer l'éther, comme un milieu élastique, n'ayant aucune des propriétés de ceux que nous connaissons, l'air, l'eau, les solides. Newton, puis Laplace ont montré que dans les corps accessibles à l'expérimentation, la vitesse de propagation des ondes est donnée par la formule :

d étant la densité, e l'élasticité. Il semble que cette formule vérifiée par

tous les expérimentateurs aurait dû être un guide sûr. Elle nous conduit à l'égalité de propagation des vitesses des lumières simples, soit dans le vide, soit dans 'un milieu pondérable. Elle convient donc à l'éther, puisque nous avons prouvé cette égalité.

Elle nous permettra de conclure que ni Cauchy dans sa théorie de la dispersion, ni Fresnel dans la dispersion rotatoire, n'ont été dans la vérité. Cauchy arrive à la relation (Verdet, L. cCOp.^ t. II, p. 25) :

V2 =dr[A\ ©(r)].

Cette relation est-elle vraiment en contradiction avec celle de Newton? Une semble pas qu'il y ait doute, si l'on se reporte à l'esprit même qui a dirigé Cauchy et tous les auteurs qui l'ont suivi dans leurs démonstrations. Dans la formule de Newton la vitesse est indépendante de la longueur d'onde; elle en est essentiellement fonction dans celle de Cauchy. Seulement on oublie un fait fondamental sur lequel nous venons d'insister et qui est l'origine de l'idée fausse qui s'est ancrée dans les esprits. Quand nous parlons de longueurs d'onde, nous entendons celles que nous donne l'expérience et qui, dans un milieu réfringent pour lequel nous avons des indices, répond au passage de la lumière •du vide dans un milieu pondérable.

Dans le vide ou l'éther fictif de Cauchy, les longueurs d'onde sont liées aux vitesses par la formule :

■dans les corps réfringents pour lesquels la lumière a nécessairement traversé deux milieux, on a, au contraire, la relation :

Les propriétés générales de l'élasticité représentées par les formules :

ayant comme on sait F^ = — — quand on construit l'ellipsoïde de

polarisation, n'ont été établies que pour un seul milieu.

D'un autre côté, pour comparer la vitesse telle qu'elle résulte de la formule de Newton à celle donnée en fonction de la longueur d'onde, il faut commencer par s'en rappeler la définition. Si la vitesse est uni-

forme, on la mesure par Tespace parcouru dans l'unité de temps. Il en est ainsi de la vitesse exprimée par la formule de Newton. Mais, pour celle déduite de la théorie générale de l'élasticité, au lieu de prendre les espaces /, l', T, ..., parcourus dans les temps T, T', T", ..., il faut

considérer ceux parcourus dans Tunité de temps ™» ^^7» •••) et alors seu-

lement on pourra comparer la vitesse ™ à celle de Newton, v.

Dans un milieu élastique, l'expression ^^ (~j peut parfaitement

g être constante et par suite égale à la relation de Newton c* = -j savoir:

F,, /, T étant variables avec les lumières. La théorie générale de T élasticité na donc nidlement prouvé l'égalité ou V inégalité des vitesses de propagation des lumières simples. Et les auteurs qui le croient et l'enseignent, en invoquant les formules générales précédentes, ont simplement montré qu'ils ne s'étaient jamais douté que la valeur de l de Téther fictif n'avait nullement la même expression que celle de la formule (H)

où r^ est nécessairement variable^ avec les diverses lumières, à cause du

coefficient ( 1 ± ^ j

Les longueurs d'onde du milieu unique, l'éther fictif de Cauchy, ne peuvent donc être un seul instant l'image des longueurs d'onde des expériences, puisque celles-ci sont essentiellement fonctions de celles du vide comme la figure 1 nous le montrait. Et c'est une idée erronée d'avoir substitué les unes aux autres, même en pensée. Si, dans la formule de Cauchy, nous remplaçons ?par VT, T par V'T' nous avons:

V'2 AI — t- I J

Or la méthode des approximations successives consiste, ainsi qu'on le sait, à considérer dans le second membre Y, Y' comme constants ;

on aura donc:

' V^ =A4-Yi + TT + -

B^, B,' d'un côté, C^,C', de l'autre sont-ils égaux, ou différents ? Nous n'avons aucun moyen de le contrôler, puisqu'il nous est interdit de substituer les indices aux vitesses dans ces formules, et que la dispersion dans le vide ne pourra jamais être observée directement dans la théorie des ondulations, comme nous l'avons indiqué.

Mais, dans le vide, on admettait sans conteste que l'on eût V = V = Y"..., il en résulte donc que toute l'analyse de Cauchy se ramenait à cette formule :

donnant la vitesse en /'onction du temps ; Savoir :

Il ne semble pas que Cauchy se soit aperçu de ce résultat, d'après lequel dans le vide, avec des vitesses de proj^agaiions égales^ l'expression de la vitesse était nécessairement différente, quand on changeait l'unité de temps avec les diverses lumières.

On voit donc le lapsus commis par Cauchy, lorsqu'il spécifie que, dans le vide la vitesse à laquelle sa formule conduit doit être indépendante de la longueur d'onde, ce qui revenait à nier, après l'avoir établie, la relation entre la vitesse et le temps. Comme on ne peut savoir si, dans l'éther fictif, B^, C, sont égaux à B(, C|, ou inégaux, on voit donc qu'il est impossible de dire que la relation des vitesses en fonction du temps à laquelle Cauchy est arrivé était en contradiction avec la formule de Newton ; il faut supposer, au contraire, que, dans le milieu pondérable de Cauchy comme dans le vide on avait B^ =B{, C, = C|, ce qui entraînait l'égalité des vitesses de propagation. C'est uniquement, en effet, en admettant l'exactitude de la formule de Newton que Young puis Fresnel ont établi les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière polarisée. Le quatrième des principes fondamentaux admis par Fresnel dans son mémoire de 1823 est que les vitesses de la propagation dans les différents milieux sont en rai-

son inverse des racines carrées des densités de léther dans ces milieux. Or Cauchy arrive à la raison directe. Comme l'expérience a vérifié les formules de Fresnel, la conséquence forcée est que la théorie de Cauchy conduisait à une relation intéressante entre la vitesse et le temps, mais dont on ne pouvait rien tirer, pour l'étude de la dispersion par réfraction.

Il nous reste, pour terminer, à expliquer la contradiction apparente surlaquelle les auteurs ont prudemmentfait le silenceentreles vitesses de Cauchy et de Newton. Dans le premier cas, V- est proportionnel h la densité de Tétheret, dans le second, r^ est inversement proportionnel à celle-ci.

Les auteurs concluaient, d'après la formule de Cauchy, que la densité de Téther était plus petite dans les milieux pondérables que dans le vide, alors qu'elle est plus grande d'après la formule de Newton.

La contradiction est apparente, comme nous allons le montrer. De

même que nous n'avons pu comparer que „ de Cauchy à v de Newton,

c'est-à-dire deux vitesses exprimées dans l'unité de temps, de m.ème, lorsqu'il s'agira de la vitesse en fonction de la densité, seule l'expres-

sion — r sera comparable au v- de Newton, regardé comme la force vive

e de l'unité de masse. Avant, sachant que F = — —■, comme nous le verrons

plus bas,

V2 = dra\ o {rv = X x2 ^ , ^ .

si l'on prend comme milieu élastique léther du vide pour lequel on a sans conteste V^ :^ C'^, savoir pour les différentes lumières

— ^— 7 =; ... , il viendra:

\^ = ke=kv^d, donc

Ainsi Ton ne pouvait comparer la force vive des formules de Cauchy à

celle de Newton qu'à la condition d'avoir préalablement posé — = V*.

Et, dans ces conditions, comme on voit, V'^ est en raison inverse de la densité, ainsi que l'indiquait la formule de Newton.

Nous avons donc montré que, dans léther fictif de Cauchy, il n'y avait aucune contradiction entre la formule des vitesses telle (ju'elle résulte de la théorie générale de l'élasticité et celle de Newton.

THÉOKIF. XOrVELLE DE LA DISPERSION.

Mais comment admettre que les auteurs qui ont fait usage de la formule de Newton, comme Fresnel et Young, formule applicable aux ondes sonores, pour lesquelles la vitesse de propagation est indépendante de la hauteur du son, aient admis linégalité des vitesses des lumières simples ?

Il faut conclure que, confondant la force élastique F^ avec Télasticité e, ils ont cru que la formule de Newton devait sécrire :

a sachant que F^ = -tjtj* Or tout état oscillatoire représenté parla rela-

tion (1) qui correspond à — = Fs = Fa . - est un mouvement pendulaire, quand on suppose e assez petit pour coïncider avec un arc décrit avec un rayon égal à a, et alors - est assez petit pour pouvoir être

considéré comme substitué à sin-> ce qui permet de retrouver le mouvement pendulaire Fa = — e; de sorte que les divers états vibratoires :

£ := B sin 2r7 7p' t = o sin 2r7 npr,' •*•

correspondant aux différentes valeurs T, T', ... des lumières simples, peuvent être regardés comme représentés par des oscillations de pendules de longueur a, a\ a'\ ..., sous l'influence d'une même force e. Comme on a, dans le cas de mouvement pendulaire :

Tzz.2n\/-% T' = 2r7\/-, T"=2nTi/-

et d'un autre côté que

il en résulte les relations

On voit donc que les différents mouvements oscillatoires T, T', T", ..., pouvaient se produire sous l'influence d'une force constante, qui est précisément l'élasticité, et qu'à ces mouvements devaient correspondre des forces élastiques F^, F|, FJ, ..., sans qu'on fût autorisé à confondre ces forces avec l'élasticité.

Et, par suite, du moment que l'on admettait, comme Fresnel et Young, la formule de Newton, on devait nécessairement conclure à légalité des vitesses de propagation des lumières simples. Et, en effet, les forces F,, F{,Fî|',...,sont essentiellement fonctions, et de l'élasticité e et du choc initial qui déplace une molécule de sa position primitive. L'élasticité ne dépend que de l'attraction ou de la répulsion moléculaire.

Dès que le déplacement le plus petit se produit, le mouvement se transmet, l'onde se propage, indépendamment des élongations maxima

S, 0', S", ..., que trace la molécule dans les temps —t — > — < etc..

C'est ce que Newton et Laplace ont parfaitement indiqué dans leur formule, indépendante de la longueur d'onde, comme on a pu le vérifier pour les ondes sonores.

La vitesse dans les milieux pondérables étant plus petite que dans le vide, Cauchy déduisait de sa formule que la densité de l'éther emprisonné dans les corps était plus petite que dans le vide. Nous déduisons exactement le contraire avec la formule de Newton, à l'exemple de Fresnel, du reste.

Or, si les molécules d'élher se repoussent, elles sont attirées, comme les auteurs l'admettent, par les molécules pondérables ; il en résulte donc que, dans un même volume contenant une molécule pondérable, il y aura plus de molécules d'éther que dans le même volume dans le vide. La densité de l'éther dans les corps est donc plus grande que dans le vide, comme l'indiquait la formule de Newton, et comme l'attraction admise entre les molécules pondérables et les molécules d'éther devait le faire conclure.

Fresnel, pour expliquer le pouvoir rotatoire d'un liquide, admet que ses deux rayons circulaires, gauche et droit, se propagent avec des vitesses inégales.

Ceci permet d'expliquer la rotation du plan primitif de polarisation, mais non de retrouver la formule de la dispersion rotatoire si, comme nous l'avons prouvé, les lumières simples de même sens se propagent avec la même vitesse.

Suffira-t-il, dans la nouvelle théorie que nous donnerons, d'imiter ce que nous avons fait pour la dispersion ordinaire, de remplacer T par t

dans les formules des rayons circulaires gauche et droit à l'entrée? Nous verrons que la modification doit être plus profonde. En invoquant, comme l'avait fait Fresnel, un pur artifice de calcul pour substituer analytiquement à l'entrée deux rayons circulaires de rotation inverse à un rayon polarisé- rectilignemcnt, on n'avait tenu aucun compte, dans le nouveau milieu, des propriétés les plus élémentaires de l'élasticité admis pour le rayon incident. Ce sujet s'écartant des considérations dans lesquelles nous sommes jusqu'ici entré, nous renvoyons à un autre mémoire cette nouvelle théorie de la dispersion rotatoire.

FiG. 0.

Ayant admis que la dispersion était uniquement due au passage de la lumière blanche d'un milieu d'une certaine force F dans un milieu (la zone d'attraction) d'une autre force <ï>, nous avons été ainsi ramené à l'ancienne manière de faire de Newton, C'est-à-dire que, quand le rayon lumineux arrive dans la zone cF attraction de la matière pondérable sur les molécules d'éther, cette attraction se fait sentir de la manière suivante. Dans la théorie de l'émission, cette attraction ne pouvait quaccélérer la chute de la molécule d'éther. Ce résultat était en contradiction avec l'expérience. On ne peut donc admettre que la résultante effective de l'attraction de la matière pondérable avait la direction mP. Dans la théorie des ondulations, les molécules d'éther vibrant dans un plan perpendiculaire à la direction du rayon incident, les composantes de l'attraction perpendiculaires à ce plan sont détruites par la résistance du milieu élastique et sont sans action sur le mouvement oscillatoire. Il n"en est plus de même pour les composantes de l'attraction dans le plan de vibration. Et quand le mouvement oscillatoire est en AB, où se fait sentir l'attraction, si AO est la plus grande

élongation de la molécule non soumise à l'attraction, OB > OA sera Télongation quand lattraction se fera sentir. Par suite, le centre du mouvement, qui était en O, est reporté en d . On voit donc que, comme Newton, nous montrons l'influence directe de l'attraction de la matière pondérable non plus sur une molécule lumineuse lancée suivant ml, mais sur le déplacement d'un centre d'oscillation, entraîné d'un autre côté dans la direction m\ avec la vitesse des ondes qui se propagent. Le tracé du centre d'oscillation sera donc celui que Newton donnait à sa molécule lumineuse. Il permet d'expliquer la réfringence des milieux pondérables.

La propagation de la lumière, du moment que l'on n'est plus en présence que d'ondes lumineuses, s'effectue conformément à la formule

de Newton pour les milieux élastiques v- = -• Par conséquent, si

Newton avait songé aux ondulations, sa formule de la propagation des ondes dans les milieux élastiques lui aurait de suite donné le rapport de la vitesse dans l'étlier du vide, et d'un milieu pondérable, dans le même sens que l'indiquait le théorème de Fermât. En effet, grâce à l'attraction de la matière sur les molécules d'éther, celui-ci est nécessairement i^lus dense dans les milieux pondérables; par suite, la vitesse de propagation devait être plus petite, comme les expériences de Foucault l'ont prouvé. La méthode de Newton n'aurait donc pas été en contradiction avec l'expérience, si elle avait été appliquée à des molécules d'éther en vibration.

En ce qui concerne le théorème de Fermât, nous sommes arrivé à cette conséquence qu'il ne pouvait s'appliquer qu'à la théorie de l'émission et qu'il n'avait aucun sens dans le cas des ondulations. Nous avon§ montré en effet que la propagation du front de l'onde ne donne nullement le temps qu'il faut à la force vive qui constitue la lumière pour se propager d'un point à un autre. Comme nous l'avons vu précédemment, ce n'est pas quand le front de l'onde arrive en un point que celui-ci prend l'état vibratoire final qui constitue la lumière, mais bien quand la tête et la queue de l'onde ont passé par ce point, ce qui a lieu dans un temps NT et au minimum si N ^ 1 dans un temps T. De sorte que

* ce li si y -}- - est le temps mis par le front de l'onde pour parcourir le

chemin [x -f- y), le temps mis par la force vive pour s'établir sera égal

à y -f- - + NT. Le théorème de Fermât ne pouvait donc s'appliquer

dans ces conditions.

Or c est unique ment sur ce théorème que l'on s'est basé pour admettre

la relation fondamentale de toute l'Optique :

Cauchy, dans sa théorie, admet cette relation, qu'il ne pouvait naturellement démontrer, n'ayant étudié la lumière que dans un seul milieu. Si le théorème de Fermât, comme nous venons de l'indiquer, n'a aucun sens dans la théorie des ondulations, il en résulte qu'une des formules les plus importantes de l'Optique attend encore sa démonstration. Ce que celle donnée jusqu'ici valait, on s'en rendra compte en se reportant à l'appréciation de Billet.

Voici ce qu'il dit [Traite d'Optique physique ^ t. I, p. 64-65) : « Fermât, dans sa démonstration théorique de la loi des sinus, prend pour point de départ l'harmonie qui règne dans la création. Quand la lumière doit aller sans condition d'un point à un autre, elle va en ligne droite. Si on l'astreint à toucher une surface ou une ligne, à aller, par exemple, d'un point A en un point B, en se réfléchissant sur une droite, elle choisit, pour s'y réfléchir, un point C qui donne la ligne brisée, AC -(- CB, la plus courte et, dans ces deux cas, l'économie porte sur le chemin décrit. Quand il y a changement de milieux, la route suivie n'étant plus la droite AB, il s'ensuit que l'économie doit porter sur autre chose que sur la longueur de la route. Fermât a trouvé juste en supposant qu'il y avait économie de temps, et en faisant consister

AP CW

la loi de la réfraction dans un minimum de l'expression ~r^ -\ »

a Le seul reproche qu'on puisse faire à la méthode employée par Fermât est d'être, la plupart du temps, hors de la portée de l'intelligence humaine... Aussi, tout en applaudissant aux succès qu'obtiennent quelquefois, dans cette voie, des intelligences supérieures, nous ne voyons, dans la méthode des causes finales, qu'un procédé scientifique exceptionnel. »

Ceci revient à dire, en bon français, qu'il n'existe pas, en réalité, de démonstration de la loi des sinus, puisque la seule scientifique, celle de Newton, basée sur l'attraction des molécules lumineuses par la matière pondérable, conduisait à un résultat en contradiction avec l'expérience dans la théorie de l'émission.

Mais si l'on remarque, en outre, que la démonstration de Fermât, basée sur « l'harmonie de la création », « hors de la portée de l'intelli-

gence humaine», invoquant <« la méthode des causes finales» et d'un « procédé scientifique exceptionnel » s'appliquait, en réalité, à la seule théorie de rémission et non à celle des ondulations, nous pouvions dire, avec raison, qu'une des formules les plus importantes de l'Optique moderne attend encore sa démonstration.

Nous nous sommes chargé de la faire et de prouver que cette relation (3) était inexacte, que les indices étaient fonctions de quatre variables, les vitesses de la lumière dans les deux milieux et la durée des oscillations dans ceux-ci et la zone d'attraction, et que l'on avait :

Bien entendu, si l'on admettait, comme les auteurs, que la force élastique fût la même dans les deux milieux et la zone d'attraction, on retrouverait, comme cas particulier, les indices en fonction des seules vitesses. Mais la méthode de Newton, appliquée aux ondulations, introduit d'elle-même le rapport des deux longueurs d'onde, c'est-à-dire quatre variables. C'est une démonstration directe que nous avons pour la première fois donnée, sans évoquer, comme Fermât, une cause finale qui, du reste, ne s'appliquait qu'à la théorie de l'émission.

En résumé, la théorie actuelle de la dispersion était uniquement basée sur l'inégalité des vitesses de propagation des lumières simples dans les milieux pondérables et l'invariabilité de la durée dune oscillation T qui caractérisait une lumière, disait-on, soit dans le vide, soit dans tous les corps traversés. Nous avons substitué à cette théorie l'égalité des vitesses de propagation des lumières simples dans un même milieu, non pas par analogie avec ce qui existe dans le vide, mais parce que l'autre hypothèse conduirait à des lumières totalement différentes de celles du vide. Par contre, nous avons montré que la durée d'une oscillation T, qui caractérise une lumière, est essentiellement variable, T^, avec les milieux réfringents dans la zone cC attraction admise par Newton, mais dans celle-ci seulement, et que l'on a, "/ étant la longueur d'onde dans le vide :

'^•^^-ïV^v*^'

c'est cette variation passagère de la durée des oscillations, dans la zone de Newton qui permet d'expliquer la dispersion par réfraction.

Ici:

m! — ni .

XZT'

C est la constante de Béer dans un milieu réfringent, v et V sont les vitesses de la lumrière blanche dans ce milieu et le vide. Le signe — correspond à la dispersion normale, le signe -f" à la dispersion anormale. Par suite, les longueurs d'onde, au lieu d'être représentées par la formule : l^ = t;),T, le seront par les formules :

ayant toujours : n = —•

Ce sont ces longueurs d'onde, que nous substituons aux vitesses dans les constructions d'Huygliens, qui restent les mômes dans ces conditions.

Nous avons donc fait disparaître cette anomalie que l'on admettait l'inégalité des vitesses dans les milieux pondérables, sans avoir pu jamais être arrivé expérimentalement à la démontrer, et l'égalité dans le vide.

Nous avons, en outre, ramené Téther à jouir des mêmes propriétés que les milieux élastiques soumis à l'expérimentation, et reconnu satisfaire à la relation de Newton, où la vitesse est indépendante de la

g longueur d'onde : w^ = -•

Ayant, de plus, retrouvé la formule fondamentale de la dispersion donnant l'indice en fonction de la longueur d'onde dans l'hypothèse de l'égalité des vitesses de propagation des lumières simples dans les milieux réfringents, quand on admet cette égalité dans le vide, nous devions donc la considérer comme exacte.

Par suite, il ne restait plus rien des théories actuelles de la dispersion que cette constatation :

Elles avaient été développées en partant uniquement d'une hypothèse que l'expérience n'avait Jamais pu véri/ier, incompatible, comme nous l'avons montré, avec la théorie des ondulations, et qui n'avait de raison d'être que dans la théorie de l'émission dont elle était la base fondamentale et à laquelle, sans raison aucune, elle avait survécu. C'est ce que nous allons démontrer dans ce mémoire.

Théorie nouvelle de la dispersion par réfraction

La dispersion, dans les théories actuelles, est la décomposition de la lumière blanche consécutive à l'inégalité des vitesses de propagation des lumières simples.

Daprès cette définition des auteurs, on ne fait aucune différence entre la dispersion dans un seul milieu et celle qui se rattache au passage de la lumière blanche d'un milieu moins réfringent dans un milieu plus réfringent.

Les lois de Descartes sur la réflexion et la réfraction donnent en particulier pour un rayon réfracté :

sin i

sine

i étant l'angle d'incidence, i' celui de réfraction. Ce rapport constant, quel que soit i, pour une lumière simple, varie, au contraire, pour une même valeur de i avec les différentes lumières simples incidentes, et donnent lieu à des indices différents représentés par >jx> ^ représentant la longueur d'onde du vide, si le rayon en venait.

Dès l'orig^ine, la sagacité des savants s'est appliquée à retrouver les lois de Descartes.

Et c'est alors que s'est introduite, grâce à Newton et à Fermât, cette notion qui s'est perpétuée comme un article de foi jusqu'à nos jours, que, seules les vitesses différenciant les lumières simples, l'indice ne pouvait être fonction que des vitesses dans deux milieux inégalement réfringents.

En vain la théorie des ondulations s'est substituée à celle de l'émission, Fresnel, Cauchy et tous les auteurs modernes, pour arriver à la dispersion ne se sont occupés que d'établir des relations entre la vitesse de propagation d'une onde lumineuse et cette notion nouvelle, la longueur d'onde.

L'existence possible d'une dispersion dans le vide prouvait-elle que ce n'était peut-être pas à une telle relation qu'il fallait attribuer un tel phénomène. Cauchy ne s'embarrassait pas pour si peu et voyait de suite comment on devait choisir la fonction des forces dans le vide (répulsive et en raison inverse de la quatrième puissance de la distance) pour que sa formule générale devînt indépendante de la longueur d'onde,

quand on admettait Tabsence de dispersion dans le vide. Il montrait ainsi que Timposeibilité de constater la dispersion par simple inégalité des vitesses de propagation dans la théorie des ondulations lui avait échappé. Et comme on l'observe facilement dans la réfraction, on devait de suite conclure que la. dispersion par réfraction devait être attribuée à un autre phénomène qu'à l'inégalité des vitesses des lumières simples dans les deux milieux.

Plus tard, les recherches de M. Le Roux sur le renversement du «pectre, de Béer sur la réflexion métallique, prouvaient en vain Texistence d'une dispersion anomale inexplicable, et montraient que les indices pouvaient être p?Ms petits que l'unité. On n'en continuait pas moins à admettre que les indices étaient représentés par la relation :

nx = — >

d'où l'on devait conclure, dafts le cas de la réflexion métallique, que Î7X > V, comme l'admettait Newton.

Enfin lia possibilité d'une dispersion dans le vide, et les expérimentateurs n'ont cessé d'y songer, devait, dans le cas où l'on aurait cru pouvoir répondre affirmativement, changer les valeurs des indices actuels, et par suite montrer qu'ils ne pouvaient expliquer la dispersion ; malgré cette accumulation de preuves, la relation ci-dessus est la base de toutes les théories de la lumière.

Or nous avons déjà montré que cette relation, qui donne l'indice en fonction des seules vitesses, aurait dû disparaître quand la théorie des ondulations a remplacé celle de l'émission.

Nous allons maintenant montrer que l'on avait, dans le cas le plus général, c'est-à-dire si les lumières simples avaient une vitesse propre dans le vide comme dans les milieux pondérables :

ni ^ — — —

^ VI (T ± b)'

que si l'on admettait qu'il n'y eût pas de dispersion dans le vide, on

avait :

V. V étant alors les vitesses de la lumière blanche. Et comme :

li^Yi^ Y,

VI Vx' '" u'

il en résultat que notre valeur de l'indice restait la même, qu'il y eût ou non dispersion dans le vide. Tandis que, dans la théorie actuelle, il ne resterait rien de la formule adoptée pour représenter la dispersion, le rapport des vitesses ne pouvant plus conduire qu'à la même réfraction. Dans la théorie de l'émission, la loi qui régissait la propagation de la lumière était donnée par la seule relation, e étant l'espace, t le temps, r la vitesse:

e = vt^

de sorte que les lumières ne pouvaient être différenciées les unes des autres que par des vitesses propres de propagation, et par suite l'inégalité des vitesses de propagation était intimement liée à l'existence de lumières simples et inversement.

Dans la théorie des ondulations, il n'en était plus de même; les lumières simples pouvaient être différenciées les unes des autres par les durées T, T', T"... des oscillations propres à chacune, si bien que deux lumières simples pouvaient se propager avec la même vitesse et cependant celles-ci être nettement caractérisées, précisément par les espaces parcourus dans ces durées d'oscillation, ce sont les longueurs d'onde; c'est ainsi que, dans le vide, on avait admis que l'on était en présence d'un milieu élastique, tel que l'on eût: