À = VT, V := VT' À" =: VT

où les lumières simples étaient nettement définies quoique les vitesses de propagation fussent égales.

De sorte que si dans la théorie de l'émission, on ne pouvait caractériser deux lumières simples, que par la relation :

dans la théorie des ondulations, celles-ci pouvaient être caractérisées par les rapports :

c'est-à-dire être indépendantes des vitesses de propagation.

Pour le vide, on ne pouvait donc différencier les lumières simples dans la théorie de l'émission, alors qu'on le faisait nettement dans la théorie des ondulations.

D'après cela, quand la lumière passait d'un milieu dans un autre milieu, les longueurs d'onde étant fonctions de deux variables, il était tout naturel de se demander si non seulement la vitesse, mais la durée des oscillations pouvaient, soit d'une manière permanente, soit provisoirement, être modifiées. On admettait, sans même songer un seul instant à modifier cette manière de voir, que dans le voisinage du plan de séparation de deux milieux, les valeurs de T, T', T"... dussent rester a priori invariables, qu'elles n'avaient pu subir ne serait-ce que pendant un temps très court la moindre modification, même sous l'influence de l'attraction de la matière pondérable sur les molécules d'éther, phénomène admis par Newton.

Et tout cela, parce que la théorie de rémission donnant conformément au théorème de Fermât :

pour retrouver cette formule dans la théorie des ondulations exprimée comme nous y arriverons directement par :

il fallait admettre a priori que l'on eût :

À r= VT, 1= l'ï.

L'idée n'était même pas venue aux auteurs que les formules des indices données dans la théorie de l'émission pouvaient être fausses. Elles Tétaient cependant si l'on démontrait, ce que l'on n'a cessé de chercher depuis, l'existence d'une dispersion dans le vide.

Si nous nous reportons à notre figure (1), nous voyons qu'une lumière se propageant dans deux milieux avec des vitesses V et v, les chemins parcourus en une seconde représentent le même nombre N de longueurs d'onde dans le même milieu.

e =. NX = NVT, e' = m^ NtT,

Un observateur placé en 0' aura donc la même impression lumineuse que placé en 0, (NT = 1).

Si la vitesse de la même lumière T venait à changer V dans le pre-

mier milieu, lespace parcouru étant le même, on aurait nécessairement X' longueurs d'onde au lieu de N, puisque

e = NVT = N'VT = NT,

c'est ce que montre, dans la première figure, la troisième courbe des sinusoïdes.

Or, dans le second milieu, la condition fondamentale pour que la lumière perçue en O' restât la même que celle perçue enO, est que Ion obtienne toujours ÎS'T = 1.

Donc, si Ion avait Z dans le second milieu et), dans le premier milieu, on aura /' quand À sera devenu X' ;

Savoir :

e' = NT = N'uT,

et la vitesse v sera aussi devenue v' , Ainsi :

les expressions 'V] ne servant qu'à rappeler la vitesse du milieu.

Nous en concluons donc que, si Ion avait une longueur d'onde l et une vitesse v dans le second milieu, quand on a À et V dans le premier milieu, le changement de vitesse des différentes lumières dans celui-ci entraînerait le changement de vitesse et de longueur d'onde dans le second.

Ainsi il suffirait que la dispersion dans le vide ait pu être démontrée pour qu'on eût la preuve que la formule :

était inexacte. En effet, dans la théorie actuelle vi représente la vitesse

actuelle, à laquelle il n'y a rien à changer.

Dans ces conditions, si V devenait V, on aurait d'après le théorème

de Fermât :

en contradiction avec la valeur numérique ci-dessus et la démonstration donnée plus haut.

La condition fondamentale que nous avons invoquée que NT reste constant dans tous les milieux traversés, c'est-à-dire que la lumière perçue soit la même pour im observateur placé soit en 0 soit en 0' [fig. 1), nous donnera de suite la relation :

En effet, les espaces e, e' sont parcourus par les diverses lumières et l'on a :

e' = m = NnT, e' = N7' = WvyT,

d'où

La formule des indices devait donc être établie de manière à rester rigoureusement la même qu^ il y eût ou non dispersion dans le vide.

Or, si les longueurs d'onde dans le vide et les milieux réfringents étaient exprimées par les formules :

X = VT, À' = VT' ou X; =-- V'T'

l = vi:{i±~\. 1' = vtU±^\ ou l[=v'T U±~\

c'est-à-dire par des formules indiquant l'égalité ou l'inégalité des vitesses de propagation dans le vide et les milieux réfringents, comme pour une même lumière

e = NX

= NVxT,

e = NT

= N'VxT',

e' v\ vy

on voit que l'on aura :

= jy =n,

c est-à-dire que l'indice restera le même dans notre théorie que l'avenir prouve ou non la dispersion dans le vide. Au contraire, avec les formules actuelles, il faudrait tout changer si les expériences arrivaient à démontrer cette dispersion.

D'un autre côté, il faut remarquer que la formule actuelle des indices

n'a été acceptée que comme conséquence du théorème de Fermât. Or, dans la théorie des ondulations, nous démontrerons que la propagation des têtes de Tonde dun point à un autre ne représente nullement la durée qu'il a fallu à la force vive qui caractérise la lumière pour s'établir à une certaine distance du centre de vibration, nous voyons que le théorème de Fermât parfaitement rationnel dans la théorie de l'émission, n'a plus aucun sens dans l'hypothèse des ondulations.

Et alors nous arrivons à cette conséquence incroyable qu'une formule invoquée à chaque instant en Optique ;

Savoir :

n'a jamais été démontrée. Nous verrons, en effet, que Cauchy, dans sa théorie de la dispersion, invoque cette relation, sans avoir essayé, comme l'avait fait Newton, d'en démontrer l'exactitude.

En vain, l'on dira que cette relation devait être exacte, puisque Cauchy, en s'en servant, arrive à sa formule fondamentale :

vérifiée par l'expérience.

En premier lieu, nous ferons remarquer que Cauchy n'aurait jamais pu déduire cette formule de sa théorie, s'il n'avait pas raisonné avec l'idée préconçue de la retrouver quand même. En effet, la véritable formule à laquelle on arrive avec sa théorie est la suivante :

''^ ~ ~^ al' + ^ "^ («À^ + àf "^ •*■

C'est ce que nous allons montrer.

Cauchy, en substituant les indices dans sa formule de la vitesse, ne peut exprimer l'indice en fonction de la longueur cfonde du vide que par la relation (Verdet, L. d'Opt., t. II, p. 17) :

1 i / , è«2 , cn^ , \

Comme n est variable avec la longueur d'onde, on ne peut donc considérer celte formule que comme empiri(jue. Et, en effet, on com-

mence, dans le second membre, par supposern = o, d'où w^ = — i

valeur que l'on substitue.dans le second membre, et c'est ainsi que, par des approximations successives, on établit, avec les valeurs connues des indices pour un milieu réfringent, les valeurs des constantes.

Remarquons que cette manière de faire est absolument illusoire ; en effet, comme on aurait pu, avec beaucoup plus de raison, en remarquant que dans les expériences de Béer, qui ont servi à la vérification des indices en fonction de la longueur d'onde w > 1, réduire le second membre à deux termes et non à un et faire «= 1, ce qui est plus rationnel que de supposer n ^ o, comme première approximation on aurait eu :

1 1 / . hn^\ „ . .. V-Â

- = ^ a+— ; d'où

À^y ""^" " - aX'^h

et

n^ — Y* r ^ aX- -f è "^ [cù:' -f hf ^ •■-)

Ainsi donc, on devait conclure que la formule de Cauchy conduisait à une relation de la forme :

'^ = ^ + aX'^h + [clX' + by + •••' qui donne :

^ - "' rie

aX- + h aX'^ -\- b en contradiction avec les expériences de Béer

Nous retrouverons encore une autre démonstration prouvant qu'en substituant les indices aux vitesses, on ne vérifie pas les expériences de Béer.

11 était donc inexact de dire que la formule des vitesses de Cauchy conduisait à une formule des indices vérifiée par l'expérience. En effet, Cauchy trouvait directement avec sa théorie :

oii V et l sont les vitesses et les longueurs d'onde dans son éther fictif. Et, pour obtenir l'indice en fonction de la longueur

d'onde du vide À, il se servait de la relation parfaitement exacte n ^ -■,

et par conséquent l'on devait conclure : ou la formule des vitesses établie par Cauchy était inexacte, dans un milieu réfringent, ou ayant été établie pour un seul milieu, il n'était pas permis de substituer les indices aux vitesses, substitution qui suppose l'existence de deux milieux de densité différente, pour lesquels la théorie de Cauchy n'avait pas été établie. Dans cette dernière hypothèse, on ne pouvait donc pas invoquer, ni retrouver, comme nous venons de le voir, les expériences de Béer.

Et par suite, Cauchy n'avait pas en réalité établi la théorie de la dispersion par réfraction, comme on l'a cru jusqu'ici, mais la seule théorie de la dispersion dans le vide. Seul le vide, en effet, convient à la propagation de la lumière dans un seul milieu, condition même posée par Cauchy.

Or, là encore, nous ne pouvons conclure comme ce savant.

Celui-ci a invoqué l'absence de dispersion dans le vide, pour déterminer la loi de répulsion des molécules d'éther. 11 a trouvé la quatrième puissance de la raison inverse de la distance, Briot la sixième puissance. Ceci montre que ni Cauchy ni Briot, ni tous ceux qui les ont précédés ou suivis, n'ont songé, comme nous l'avons indiqué pour la première fois, que l'on ne pouvait invoquer l'existence ou la non-existence d'une dispersion du vide dans la théorie des ondulations. Parce que, dans cette théorie, on perd le bénéfice des espaces immenses traversés.

Ainsi des ondes pouvaient se propager avec des vitesses inégales sans que l'on fût dans la possibilité absolue de le constater par la décomposition de la lumière blanche. La décomposition, observée sans contestation possible par un observateur au repos, serait la preuve de l'exactitude de la théorie de l'émission.

Ni Fizeau, ni Foucault, ni M. Cornu ni M. Perrotin plus récemment,

TIIÉOKIE NOUVELLE DE LA DISPEIISIOX. 3

n'ont signalé la décomposition de la lumière blanche dans leurs expériences.

Quant aux recherches de MM. Young et Forbes qui, en prenant comme source lumineuse une lampe électrique, ont cru constater, la vitesse de la roue dentée allant en croissant, une coloration des images en rouge quand elles augmentaient d'éclat, en bleu quand elles s'affaiblissaient, on ne saurait en conclure avec les auteurs que la vitesse de propagation était moindre pour les rayons rouges. En effet, en opérant directement avec un verre rouge ou une solution de nitrate de cuivre, les résultats sont contradictoires. Comme le dit M. Mascart, « la lecture attentive du mémoire de MM. Young et Forbes, où les différences varient de 0,7 à 4,6 0/0, ne paraît pas de nature à entraîner la conviction... La coloration des images était peut-être due simplement à des effets de diffraction sur les bords de l'orifice. »

En tous les cas, elle ne fut jamais signalée par les observateurs français.

La conséquence du rappel que nous venons de faire des recherches sur la vitesse de la lumière dans l'air (vide) et dans l'eau montre que ces recherches et les conclusions n'ont porté avec certitude que sur le rapport des vitesses de la lumière dans deux milieux.

Si donc V est la vitesse d'une lumière dans le vide, v la vitesse de la

même lumière dans un milieu pondérable, on a prouvé que l'on avait

— > 1 ; mais on na pu directement montrer jusqu'ici, même après les

recherches de MM. Young et Forbes, que l'on eût:

ou:

Si l'on rapproche cette insuffisance à prouver directement l'inégalité des vitesses des différentes couleurs, de la démonstration que nous avons donnée dans notre introduction, montrant que l'hypothèse de l'égalité dans le vide et l'inégalité dans les milieux réfringents, conduirait ainsi à des lumières perçues dans les milieux réfringents totalement différentes de celles propagées dans le vide, nous devons donc conclure que, dans 1 es milieux pondérables et le vide, on a simultanément des vitesses égales ou inégales.

Arrivons maintenant à la marche des ondes.

Si nous nous reportons à ce que nous avons indiqué dans l'introduction nous voyons {/îg. 6) que le front de l'onde étant en aB, le rayon (1)

entre dans la zone d'attraction de Newton et parcourt le chemin oAA' pendant que le rayon (2), lui, trace le chemin Bfl'B'. L'épaisseur de la zone étant très petite par rapport à la longueur d'onde, on peut donc

FiG. 6.

considérer le rayon (1) comme ayant été uniquement soumis à la zone d'attraction pendant son parcours, alors que le rayon (2) ne subissait pas cette attraction, pendant le même temps, B'p' étant très petit par

FiG. 7.

rapport à B^'. Autrement dit cette figure revient à celle-ci [fig. 7), dans laquelle, pour (1), on aura une durée d'oscillation (T — 6) et une vitesse ?j, celle du second milieu, et, pour (2), une durée d'oscillation T et une vitesse V, cçlle du premier milieu.

Donc, par le seul fait que le front de l'onde aB pénètre dans la zone obliquement les différents rayons du front de Tonde prendront des durées doscillation :

dont l'intervalle maximum sera égal à 0. Et cest avec ces valeurs différentes, comme des rayons de lumières différentes qu'à l'époque T, si l'on a pris AB tel que BB' = X, le rayon (l) de lumière (T — 6) sera en A' ayant parcouru dans le même temps T le chemin AA' avec sa vitesse vde propagation. Dans l'air poUrun rayon qui n'a pas subi l'attraction de la zone, la longueur d'onde est liée à la durée dune oscillation qui est égale à la durée de propagation par la formule X = VT. Au contraire, comme nous l'avons vu dans l'introduction, pour la zone d'attraction la durée de propagation de l'onde n'est pas égale à la durée d'oscillation. Pour (1), T est la durée de propagation et T^ =; T — 0 la durée d'oscillation, et v étant la vitesse de propagation, la longueur d'onde ly sera donnée par la formule :

l<^ •= vï^ = y (T — 0) = y ( 1 — rp ) T, à l'époque T,

puisque n = -: que celui-ci et tous les auteurs commettaient une erreur

On voit, notre longueur d'onde étant égale à celle de Huyghens

en regardant u ( 1 — Pp ) et représentant cette expression part;', comme

donnant la vitesse de propagation de l'onde.

Les choses se passaient donc, par suite du changement de force élastique dans la zone d'attraction, comme si des lumières différentes

arrivaient enmême temps en A'B' à l'époque T.

Une fois arrivées en même temps en A'B' hors de la zone d'attraction, toutes ces lumières reprennent leur valeur commune T, la force élastique étant redevenue ce qu'elle était dans l'air.

Mais la longueur d'oîide reste ce qu'elle a été dans la zone d'attraction, et l'on ne peut plus la trouver liée à la vitesse v et à la durée des

oscillations T pour la formule l = uT, le coefficient (1 ± r-p) qu'elle

THÉORIE NOUVELLE DE LA DISPERSION PAR RÉFRACTION 37 a acquis dans la zone d'attraction persiste, et l'on a :

Tel est le point capilal qui différencie les longueurs d'onde des rayons qui n'ont parcouru qu'un milieu de ceux qui, en traversant deux milieux, ont subi les effets de l'attraction de la matière pondérable.

On voit donc que, comme on le faisait jusqu'ici, nous avons montré que tous les points du front de l'onde AB se sont trouvés transportés en vième temps en AB'. Mais la différence fondamentale est que nous avons tenu compte de l'attraction admise par Newton, sur les molécules d'éther vibrant dans le plan AB.

Comme nous démontrerons directement, en tenant compte de cette attraction, que l'on a :

sin i X

sin i l^

il en résulte que 1^ a la même valeur que dans les constructions d'Huyghens. Seulement, alors qu'Huyghens et tous les auteurs ont cru

que V ii zt-rrAi qu'ils représentaient par u', exprimait la vitesse dans

le second milieu, nous voyons qu'il n'en est rien, que celle-ci était égale à t', mais que la durée de l'oscillation du rayon (1), au lieu d'être égale à T. comme les auteurs le croyaient, se trouvait ramenée à (T — 6) dans la zone d'attraction.

Dans les théories actuelles on avait :

Ir = V,lr, Iq = t^ûTo, •••, h = î'/T/,

et comme dans le vide :

>- > ^0 > '^i\ d'où : T, > To, ..., > T„

par suite ;p- < ;jr- ..., < y* I^ en résulte donc que, dans la dispersion

normale, pour obtenir w,- > «„, ..., > /?,., savoir:

avec la formule :

il faut prendre le signe — . On le voit facilement. Dans la dispersion anomale où au contraire :

n,. > w^, ..., > Ui

d'où dans les théories actuelles :

il faut prendre- le signe -\- en étante en outre, obligé d'admettre pour

retrouver la relation des vitesses que ™- > ^j •••j > ^» c'est-à-dire

que X,. < Xo, ..., < h-

Ainsi, dans la théorie actuelle, on est obligé d'admettre une interversion complète des longueurs d'onde pour expliquer le changement des vitesses de propagation correspondant au changement des indices dans la dispersion anomale.

Dans notre théorie, les vitesses restant les mêmes, les valeurs de t^-»

ft >

7jp-5 •••' restent invariables, ^slt suite invariables les longueurs d'onde, et

c'est simplement l'addition ou la soustraction de „-? ..., qui permet d'expliquer que l'on a :

n, ^ Wfl.

Inutile de vouloir soutenir que l'on n'arrive à cette conclusion que parce que les vitesses ont été supposées sous la forme ci-dessus. En effet, dans la théorie actuelle, on a :

V,. = lr—1 Vi = </ r '

et dans le cas de dispersion normale ou anomale, on doit avoir : v,. ^ V,; savoir : ^'" ^ ^' ( >T )'

comme r-^ est une constante, qui convient au vide, on voit donc que,

dans la dispersion normale, on admettait que Ton eût, ce qui restait rationnel, les relations simultanées (1) et (2) suivantes. Milieu réfringent :

(4) Ir > lo^ ..., > li,

vide :

(2) X, > Xo, ..., > X,;

tandi que

(3) h < lo. ..., < h.

(2) X, > Xo, ..., > X,;

dis que, dans la dispersion anomale, on était obligé d'admettre Ton eût simultanément (2) et (3), qui sont contradictoires :

Cette simple remarque aurait dû, depuis longtemps, montrer l'inexactitude de la formule des indices.

Les dispersions normale et anomale s'expliquent donc très facilement. De plus, dans la réflexion métallique, si l'on avait admis que / > X, ce qui exigeait que l'on eût le signe -f- devant 6, on trouvait :

sint X V 1

sin i' l^ ^' i i A '

il aurait donc suffi pour que n fût plus petit que Vunité que :

Donc il n'était nullement nécessaire que v > V. On arrivait en effet à cette énormile àdins l'ancienne théorie qu'ayant, d'après les recherches de Béer (réflexion métallique) :

Indice de réfraction Cuivre. Métal des miroirs.

Rouge 0,8865 1,2006

Orangé 0,9478 1,1631

Jaune 1,1140 1,1290

Vert 1,3057 1,1597

Bleu 1,3052 0,9876

Indigo 1,3151 0,9117

Violet 1,3090 0,9117

on devait conclure que, pour le même milieu^ la vitesse de propagation des lumières pouvait être plus grande^ puis 2iIus petite que dans le vide ou inversement.

On aimait mieux admettre cette conséquence et dire avec Verdet {Opt., t. II, p. 597) :

« Ces résultats sont de nature à surprendre et à jeter du doute sur la théorie (de la réflexion métallique), car il semble étrange que, dans les métaux, Tindice de réfraction soit inférieur à l'unité, c'est-à-dire que la vitesse de propagation soit plus grande que dans le vide. »

On préférait écrire ces lignes plutôt que de supposer qu'une idée fausse, celle de l'inégalité des vitesses des différentes lumières, quand on avait admis l'égalité dans le vide, eût pu survivre à la théorie de l'émission, dont elle en était la base fondamentale. Elle devait bien être fausse cependant, puisqu'elle était incompatible avec la théorie des ondulations, ne pouvait expliquer la dispersion anomale et la réflexion métallique, était en contradiction avec l'absence supposée exacte de dispersion dans le vide, qui n'avait jamais pu être démontrée expérimentalement par Fizeau, Foucault, M. Cornu, ni même avec certitude par les recherches plus récentes de MM. Young et Forbes.

Nous allons donc reprendre la théorie de la dispersion sur cette nouvelle base, l'égalité des vitesses de propagation des différentes lumières. Or, comme la théorie développée par Cauchy était fondée sur cette inégalité, nous allons analyser son mémoire en montrant le point faible de sa théorie. L'expérience prouve que la dispersion s'observe avec la plus grande facilité à la surface de séparation de deux milieux différents, quand la lumière blanche passe obliquement de l'un dans l'autre, de l'air dans l'eau, par exemple, c'est la loi de Descartes.

Vide

Milieu pondérable

Conformément à la manière de faire de Newton, mais en la modifiant pour la théorie des ondulations, nous aurons dans deux plans infiniment

rapproches du plan de séparation de deux milieux de forces élastiques F, à étudier Tattraction (fig.o) de la matière pondérable sur les molécules en vibration.

Seule la composante /", dans le plan de vibration, interviendra pour modifier dans une zone infiniment petite la valeur de F, qui,, dans une oscillation complète, passera par des valeurs F — /*, F -f- /". En admettant, en outre, que les ondes se propagent, conformément

à la formule de Newton V- = - dans le premier milieu, i-^- = -y, dans

le second milieu, d, d' étant les densités de l'éther, on constatera que le centre d'oscillation se déplacera dans cette zone, précisément comme Newton l'admettait pour sa molécule lumineuse.

Telle sera la nouvelle théorie de la dispersion que nous développerons; on voit qu'elle ne ressemble en rien à celle donnée par Cauchy et tous les auteurs modernes, et la seule qui existe aujourd'hui.

C'est dans un seul tntlieu que les lumières se propagent avec des vitesses de propagation fonctions de la longueur donde. Telle est l'unique hypothèse admise aujourd'hui. On voit pourquoi Cauchy et tous les auteurs modernes se sont rattachés désespérément à cette inégalité des vitesses des lumières simples de l'ancienne hypothèse de l'émission. Car, sans cette inégalité, plus de théorie de la dispersion.

Si:

(1) e=. ôsin-™- i,

est le mouvement vibratoire en un point et, si l'on adniet qu'à celui-ci répond une onde qui se propage avec une vitesse fonction de la longueur d'onde, savoir :

il en résultera que l'on aura en un autre point distant du premier par la longueur œ un mouvement vibratoire :

(3) e = Ssin2ci(^-0.

Si F est la force élastique pour l'unité de déplacement d'une molécule vibrante, supposée constante dans le milieu, par suite la même à une distance x de l'origine, on aura :

d'où, en différentiant deux fois s par rapport à t :

et par suite (Verdet, L. dOpt., t. I, p. 493),

Telleest la formule fondamentale, telle est la démonstration à l'aide de laquelle les auteurs depuis Fresnel dans la double réfraction, Cauchy dans la dispersion jusqu'à nos jours, ont établi la relation qui existe entre la vitesse de propagation d'Orne onde plane et la force élastique dans un seul milieu de densité uniforme.

Arrivons au mémoire de Cauchy.

Cauchy considère l'éther emprisonné dans un corps pondérable, comme un éther fictif dé densité constante, différente, par conséquent, de l'éther du vide. Il avait parfaitement le droit d'agir ainsi dans sa théorie pour simplifier le problème. Il admet encore que cet éther a la constitution du milieu qu'il remplace. Cela posé :

Soit :

a;, y, ^, la position d'une masse w, X -}- Aa?, y -f- A?/, z -f- Az, celle d'une masse voisine [x,

« l'attraction ou la répulsion (nous verrons qu'elle sera répulsive) d'une masse éthérée sur une autre sera, sachant que r^ =: Aa;^ -{- At/^ -|- Az^ :

ma/"(r),

et mL]xf[r) celle de toutes les masses qui entourent m; à l'état d'équilibre :

mSfx/" [r) = o ; d'où : Sa/^(r) — = o, Sa/'(r) — = o, ...

Supposons que la masse w, sous l'influence d'une force étrangère aux masses, soit déplacée de s, dont \, tj, ^, seraient les composantes;, alors la position de la masse m devient :

et celle de la masse jjl :

en même temps que la distance ?- devient r -f- p, sachant que :

d'où, en négligeant p* et A;^ :

r» -f 2/-p = ^x- + 2ArA; + ...,

savoir :

rp = Aa;A; -f" ^V^"^ ~\~ -^--^^i

par suite l'action de toutes les masses sur m, X, Y, Z, étant les composantes de la force élastique pour l'unité de déplacement, sera :

Xe = mSa/-(r + p) ii^-+il, i / \ 1 r/ r -f- f

Zs=.«S|x/-(r + p)^|iiî'-,

les composantes de la force élastique qui tend à ramener m dans sa position déquilibre étant d'autant plus grandes que e est plus grand. Si l'on borne le développement de /" (r -j- p) au premier terme en p, très petit par rapport à r, il vient :

et

Xs = mS5x j [/-(r) + ça" (r)] ^^±^ (l - ^)|,

d'où, en négligeant les termes en p' et pAç du même ordre de grandeur

et se rappelant que Su./" (r) — = o :

avec : p = ^"^^ + ^""-^ + ^'^\

d'où:

Si l'on pose :

il viendra :

R = [rw-^']^-f|-^,

f{r)l \ooAz

AyA^

m ^ = Xe = mS[x [LAç + RAt) + QA^j m ^ = Ye = mS-i. [RA^ + MA-r| -f- PAC]

in

Lz = mXfx i QA^ + PAti + NAî:]

;, T,, C, étant les composantes du déplacement infiniment petit s.

Telles sont les formules générales.

Supposons, pour simplifier, comme Cauchy, que l'onde se propage suivant l'axe de a?, et que le mouvement vibratoire soit parallèle à l'axe de y, les formules ci-dessus, d'après les auteurs, deviendront, sachant alors que e se réduit à sa composante vj :

'dt^' ^ ^'"^ "^ '''^^ • ^^■^'

avec

qui donne

■ri = 8 sm^ y—yP

d\ 4ct2 ^ . 2nT / x\

- = __osm-;^(^^-^j,

d'où (Verdet, L. fVOpt., t. I, p. 493) :

sachant que : X =: VT.

D'un autre côté

7J-f-AT, = 0Sin-7ïrl t r: j = TjCOSTpy Aj-^-oCOS-^rU — -rr)^'"xv'^*^'

d'où :

A/j = £( costîttv ^x — 1 ) + 1 cos-™- [t — — j sin;^ Aa-, et

At, ^ 2yi sin TîTVT A.r + y o — '^ siii ^irrr A./- cos ™rT Aa;.

Comme on doit prendre des sommes aMATj, il est bien clair, dit Cauchy, que, si le milieu n'est pas hémiédrique, la somme des valeurs répondant à rt Aa? sera nulle, autrement dit que l'on aura :

At) = 2t, Sm TyTr Ad7.

Et comme il viendra :

d'où :

Telle est la démonstration de Cauchy et de tous les auteurs.

Si, avec Cauchy, on met pour M sa valeur, et que l'on remplace TV par la longueur d'onde X, la formule précédente devient (Verdet, Leçons d'Optique, t. 11, p. 25) :

d étant la densité de l'éther fictif dans lequel se propage la lumière.

Voyons comment Cauchy traite maintenant le problème.

Pour tenir compte de l'absence de dispersion dans le vide, il commence par poser :

[rY(r)]„=o,

de manière à faire disparaître dans [b) le terme en 1^. Or l'on peut s'étonner de cette manière d'opérer, attendu qu'ayant posé aussi bien dans le vide que dans un éther fictif :

1 = VT, on en tire :

Y2 — Il ^ p