CHAPITRE II

DES FORCES CAPABLES d'UN MOUVEMENT DONN^.

37. Après avoir considéré le mouvement des corps en lui-même, il faut chercher les forces capables de le produire, afin de voir réciproquement quel est le mouvement que doit prendre un corps en vertu de forces quelconques données, ce qui est le problème naturel de la Dynamique.

Et d'abord je rappelle l'idée précise qu'il faut attacher au mot de force dans la théorie du mouvement. J'entends ^div force toute cause capable d'imprimer un mouvement uniforme et rectiligne à un corps libre, copsidéré comme un point matériel, c'est-à-dire comme un point où Ton conçoit qu'une certaine quantité de matière se trouve concentrée. La' direction et le sens du mouvement de ce point font la direction et le sens de la force ; et la grandeur de cette force a pour mesure le produit de la masse par la vitesse imprimée.

38. Cette définition de la force étant posée, je dis que, quel que soit le mouvement d'un corps dans l'espace , il y ^ toujours des forces qui, étant appliquées à ce corps supposé en repos, sont capables d'y produire le mouvement qu'on y observe. Et en effet, dans ce mouvement , chaque molécule dm du corps ayant dans l'espace une certaine vitesse ^^, il est évident que cette molécule pourrait être regardée comme en repos, mais animée tout à coup par une force udm qui produirait sa vitesse. Donc, si l'on considère l'infinité des forces semblables udm appliquées à toutes les molécules respectives du corps, on aura certainement des forces capables de produire sur le corps le mouvement donné. Donc , si l'on imagine que, par les lois statiques de la composition des forces, on ait réduit toutes ces forces élémentaires udm à d'autres P, Q, R, etc., on aura un autre système de forces également capables du mouvement donné.

59. Mais il y a une différence essentielle à remarquer entre Je système des forces udm appliquées à tous les éléments du corps , et les forces P» Q, etc«, auxquelles on les aurait réduites par la compo-

sition. Si le mouvement produit est le même dans les .deux cds, Tétat intérieur du corps ne sera pas le même au premier instant. Car il est évident que les forces élémentaires udm^ étant individuellement appliquées ^ chacune à chacune des molécules de ce corps, sont capables d'y produire le mouvement donné, même en supposant que ces molécules ne soient pas liées entre elles au premier instant; et par conséquent^ sans exciter d'abord, dans les liens qui les unissent, aucune compression, ou traction brusque qui tendrait à les rompre. Sous l'action de ces forcer élémentaires udm^ le mouvement du corps est donc comme spontané; c'est-à-dire que les liens du corps ne sont pas nécessaires au premier instant; et si , dans la suite du mouvement, ces liens se trouvent tendus, ce ne peut être que par les forces centrifuges qui naissent des mouvements curvilignes que les molécules sont obligées de suivre à cause de leur liaison mutuelle.

Mais si, au lieu de ces forces élémentaires udm, on applique au corps leurs réduites P,Q, etc., il faut nécessairement supposer que les molécules soient liées entre elles dès le premier instant, afin que ces forces P, Q, etc., puissent réellement se décomposer dans les forces élémentaires udniy seules capables du mouvement spontané du corps. Ainsi , sous l'action des forces P, Q, etc., les liens du corps sont nécessaires au premier instant; car ils commencent par ressentir une action brusque et finie à laquelle ils doivent d'abord résister : et tout se passe ensuite comme dans le premier cas , où les liens ne souffrent plus que les tensions qui naissent à chaque instant des forces centriftiges.

40. Cette distinction qu'on vient de faire, qui est nulle quant an mouvement produit sur le corps, est donc es.sentielle quant à l'état intérieur initial de ce corps : car il peut être aflecté , au commencement, d'autant de manières différentes qu'on peut lui appliquer de différents systèmes de forces, également capables de lui imprimer le mouvement qui l'anime. Mais, si l'on ne considère que le mouvement du corps, sans s'occuper des secousses ou tractions brusques qu'il peut ressentir dans son intérieur, et qu'il doit détruire par sa solidité, il est permis de composer les forces élémentaires i/^/it, et de les réduire ainsi à d'autres, comme, par exemple, à une seule force et à

DE LA ROTATION DES CORPS- ag

un seul couple, dont l'ensemble sera également capable du mouvement donné : c'est ce qu'on va faire dans les articles suivants ; après quoi on réduira de même les forces centrifuges qui naissent de la rotation.

Des forces capables d'un pur mouvement de translation.

41. Si un corps n'a dans l'espace qu'un pur mouvement de translation, de sorti! que toutes les molécules s'avancent dans le même sens, avec la même vitesse Uy suivant des droites parallèles, il est clair que toutes les forces élémentaires udm dont ces molécules sont animées sont aussi parallèles, de même sens et proportionnelles aux masses respectives dm de ces molécules. Or on sait que de telles forces sont toujours réductibles à une seule R, parallèle et de même sens, égale à leur somme f udm, et passant par le centre dé gravité du corps.

Donc, réciproquement, si une force quelconque R est appliquée au centre de gravité d'un corps solide, comme elle pourra toujours se décomposer en forces parallèles et de même sens, appliquées aux molécules de ce corps, et pmportionnelles aux masses de ces molécules, V effet de cette force R sera de transporter toutes les parties du corps, suivant sa propre direction^ et avec une commune visesse w = R : m , c'est-à-dire égale à la grandeur de cette force divisée par la masse entière m du corps dont il s'agit. Ce qui était, pour ainsi dire, évident de soi-même.

42. Si cette force R, passant toujours par le centre du corps, changeait de direction et de grandeur à chaque instant par l'action de quelque force accélératrice étrangère passant par le même centre , le mouvement du corps n'en serait pas moins un pur mouvement de translation, je veux dire que le corps n'aurait aucune rotation sur luimême. Tous les points de ce corps décriraient , il est vrai , des lignes courbes; mais tous Tes éléments simultanés de ces courbes décrites seraient égaux et parallèles entre eux : de sorte qu'en regardant un plan quelconque attaché au corps, et par conséquent mobile avec lui dans

3o THÉORIE NOUVEIXE

l'espace, on trouverait ce plan toujours parallèle à lui-même dans la suite du mouvement.

Desjorces capables d'une pure rotation sur un axe donné.

Fu;. i6.

DE LA ROTATION DES CORPS. 3i

appliquées en O suivant ]es axes mêmes OX et OY ; ensuite , trois couples L, M, N autour des trois axes respectifs des x^ jr., z, et dont les moments sont exprimés par (Yz — Zj^), {Zx — Xz), (X^ — Y j:) ; ce qui donne, en mettant pour X, Y, Z leurs valeurs,

L = — dxzdniy M= — Ojrzdm, N = dij^ -h x^) dm = dr^dm.

Donc, si Ton fait pour chaque force 6rdm la même transformation , et qu'on indique par le signe / la somme de tous les termes semblables à celui qu'on écrit sous ce signe y toutes les forces 6rdm capables de la rotation donnée se trouveront réduites aux forces et aux couples suivants , savoir :

I®. Deux forces X = Qfjrdnij Y = — Qfxdtrij Tune suivant OX, l'autre suivant OY, forces qu'on peut réduire à une seule P, perpendiculaire à OZ, et dont la valeur sera

P = d \J{fxdmy -+- {fjrdm)\

ou , si l'on veut , en nommant D la perpendiculaire abaissée du centre de gravité du corps sur l'axe OZ, on aura, pour la valeur de cette force , l'expression plus simple

P=:ôwD;

a**. Deux couples L= — Ofxzdm, M = — QJjrzdm^ autour des deux premiers axes OX et OY, couples qu'on peut réduire à un seul K, dont le plan passe par OZ^ et dont le moment est

K = Ô >j{Jxzdmy -h {fjrzdm)^ ;

3^. Et enfin on aura le couple N dont le moment est

N = df{x^'hjr^)dm = ejr^dm, .

et qui agit dans un plan perpendiculaire à Taxe donné OZ. Ainsi, en prenant les cinq intégrales

/ xdm , fjdm, fxzdm , fjzdm , / (^* + /*) dm , qu'il faut étendre à la masse entière m du corps, on déterminera conv-

32 THÉORIE NOUVELI^

plétement la force P, le couple R et le couple N dont l'ensemble P, K, N est capable de la rotation $ autour de l'axe donné OZ.

45. Si cet axe OZ passe par le centre de gravité du corps, on aura fxdm = o, jjrdm = o, d'où P ^ o;

angle dont le cosinus y^r= ne peut être nu! à moins qu'on n'ait K = o.

Corollaire II.

couple Q .Jr^dm de même grandeur et de même position que le couple donné N.

On a donc ce théorème simple et facile à retenir :

Si un couple est appliqué sur un corps libre dans un plan perpendiculaire à l'un de ses axes principaux, son ejfèt sera défaire tourner le corps sur cet ojce lui-même avec une vitesse angulaire égale au moment de ce couple, diwsé par le moment d'inertie du corps autour de cet axe principal.

COROLLÀIBE III.

47. Par ce seul théorème particulier, on peut trouver sur-le-champ Feffet d'un couple G appliqué au corps dans tel plan qu'on voudra. Car en décomposant ce couple donné en trois autres L , M , N perpendiculaires aux trois axes principaux du corps « et nommant A, B y C les trois moments d'inertie qui se rapportent à ces axes , on aura

pour les trois rotations respectives p^ q, r que ces couples tendent à produire autour des mêmes axes : de sorte que si l'on compose ces trois rotations en une seule d, on aura Taxe et la grandeur de la rotation à laquelle le couple proposé G tend à donner naissance au premier instant; ce qui est, comme on voit, de la plus grande simplicité.

Corollaire GinfÉRAh.

Des forces capables d'un moui^ement quelconque; et, réciproquement, du moui^ement que prend un corps en vertu de forces quelconques données.

48. D'après ce qu'on vient de dire ^ il est bien facile de trouver la force et le couple dont l'ensemble est capable d'un mouvement quelconque donné. Car, quel que soit ce mouvement, vous pouvez toujours le concevoir comme décomposé en deux : l'un , qui consiste dans une pure translation égale et parallèle au mouvement du centre de gravité du corps; et l'autre, dans une simple rotation autour d'un axe passant par le même centre. On n'aura donc qu'à prendre la

34 THÉOBIE NOUVELLE

force R capable du premier de ces deux mouvements, et le <x>uple G capable du second , et le problème sera résolu.

49. Réciproquement, quelles que soient les forces appliquées à un corps, imaginez qu'on les transporte toutes parallèlement à ellesmêmes au point qui fait le centre de gravité de ce corps : elles viendront s'y composer en une seule R, et tous les couples qui proviennent de leurs translations se composeront en un seul G.

ce 9ont de petits arcs à^héiices fontes décrites du même pas sur des cylindres concentriques autour d'an certain axe O'S, qui n'est point Taxe instantané OI, inais qui lui est toujours parallèle, et que j'ai nommé Vcure spontané glissant.

Des forces centrifuges qui naissent de la rotation.

51 . Nous avons considéré plus haut (n^ 43) les forces finies 9 rdrn , dont toutes les molécules d'un corps sont animées quand ce corps tourne avec une vitesse angulaire Q autour d'un axe donné OZ.

Mais de cette rotation même il naît, à chaque instant, pour chaq*je molécule </m, une force infiniment petite , qui tend à éloigner cette molécule du centre de sa rotation, et qu'on nomme ainsi la force centrifuge.

52. Pour se faire une idée nette de cette force, il faut d'abord remarquer qu'une molécule libre dm^ animée de la seule force udm suivant la tangente d'un cercle, ne peut en rigueur décrire un arc de ce cercle, quelque petit qu'on le suppose, à moins qu'elle ne soit à chaque instant attirée vers le centre par une certaine force qui la retienne sur la circonférence; sans qtioi cette molécule s'en irait par la tangente avec la vitesse u qui lui est imprimée. Cette force, qu'on nomme centripète y est du même genre que la gravité , et elle se mesure de la même manière, c'est-à-dire par la vitesse y qu'elle ferait acquérir au mobile dans l'unité de temps, si elle agissait toujours également sur lui ; je veux dire si , à chacun des instants égaux , elle ajoutait un égal degré de vitesse au mobile. Dans un mouvement de cette nature, la vitesse acquise est donc proportionnelle au temps, de sorte qu'on a/*, t pour l'expression de cette vitesse acquise au bout du temps t ; et \f, t^ pour l'espace dont le mobile serait descendu vers le centre au bout de ce même temps t.

Quant à la grandeur y de cette force centripète, elle dépend évi« demment de la vitesse u suivant la tangente et du rayon /* du cercle décrit; et il est bien facile de la déterminer. Car, sans l'accession de cette force accélératrice, le point matériel s'en irait en un instant sur

séquent, sans que cette rotation pût affecter en rien l'état intérieur du corps.

Dans la question qui nous occupe, chaque molécule dm n'est poussée que par la force tangentielle dm . ôr, et il n'y a point de force centripète — dm , Q^rdt qui intervienne pour la faire tourner librement autour de l'axe OZ. Mais je considère que si cette force -- dm.B^rdt n'y est point, rien n'empêche de la supposer, pourvu qu'on en suppose une autre égale et contraire -h dm . d' rdt. Ainsi , à la seule force d'impulsion dm . Q r, il est toujours permis de substituer l'ensemble des

trois forces

Qrdm, — dm.d^rdt, -\- dm.Q^rdt,

Mais alors on peut imaginer que pendant l'instant dt , les deux premières forces sont employées à faire tourner librement la molécule par un arc de cercle Qrdt , tandis que la troisième force -K dm.O^rdt tire cette même molécule dans le sens 011 elle tend à l'éloigner du centre; et voilà précisément ce que j'appelle la force centrifuge née de la rotation du corps. Toutes les molécules sont donc tirées à chaque instant par des forces semblables , uniquement dues au mouvement de rotation : forces réelles, qui affectent l'état intérieur du corps par les tensions qu'elles produisent sur les liens , quels qu'ils soient , qui retiennent les molécules.

Réduction des forces centrifuges à une seule force et à un seul couple.

^. Toutes les forces centrifuges qui naissent de la rotation Q étant Fio. 1 8. ainsi représentées par dm.Q^rdtj elles ont, au facteur près 6dt, la même expression que les forces finies Qrdm, dont les molécules sont actuellement animées. Mais, au lieu d'agir suivant les tangentes j elles agissent suivant les rayons des cercles décrits; et elles sont ainsi perpendiculaires à ces premières forces Qrdnij et à Taxe donné OZ. Si donc on les réduit de la même manière, en les transportant au même point O, elles donneront pour leur résultante tt, analogue à la résultante P des premières forces,

TT = Ô* yJ{fxdmf-^{fjrdmY = ÔP, et pour leur couple résultant ;(, analogue au couple R, et pasi»ant de

38 THÉORIE NOUVEI.LE

même par Taxe donné OZ,

et ii n'y aura point de couple analogue au couple N autour de OZ, puisque les directions de ces forces centrifuges passent toutes par l'axe OZ lui-même.

S5. Telles sont donc les valeurs de la force accélératrice et du couple accélérateur qui résultent des forces centrifiiges. Quant à la position de cette force tt, et à celle du couple ;f, elles se voient presque immédiatement. Car, comme toutes les forces centrifuges dm.O^r, qui donnent la résultante tt, sont respectivement perpendiculaires et proportionnelles aux forces d'impulsion 6rf/m qui donnent la résultante P, il est évident que n est perpendiculaire à P.

Par la même raison, l'axe du couple accélérateur /^ est perpendiculaire à celui du couple K ; et comme il est perpendiculaire à OZ qui est l'axe du couple N , il est aussi perpendiculaire à Taxe du couple G, qui est le résultant de N et K : on peut donc dire que Vojce du couple /^ dû dux forces centrifuges est perpendiculaire h la fois sw l^axe de la rotation & et sur celui du couple d'impulsion G.

Ainsi, P et G éiant deux lignes qui, partant du point O, représentent, l'une la direction et la grandeur de la force P, l'autre l'axe et la grandeur du couple G , dont l'ensemble P et G est capable de la rotation d autour de l'axe libre OZ; si l'on nomme / l'inclinaison de G à l'axe de cette rotation 6 (ce qui donne R = Gsinz), on a, pour là force et le couple accélérateurs tt et ^ qui naissent des forces centrifuges, ces expressions très-simples

n = ev. /=:ÔGsin/,

TT étant perpendiculaire à la fois à P et à l'axe 6 . et ;f étant perpendiculaire à la fois à G et au même axe 6.

Remarque.

SB. Quant aux sens de ces forces et de ces couples, ils sont bien faciles à reconnaître. Car on peut remarquer que si la direction de chaque force centrifuge faisait un quart de révolution dans le sens même où le corps tourne, elle deviendrait de même sens que la force d'impulsion. Donc les deux lignes On et O/, qui répondent à la ré-

DE LA ROTATION DES CORPS. Sg

sultarite et au couple résultant des forces centrifuges , doivent être tellement posées par rapport aux lignes OP et OR qui répondent aux forces d'impulsion y que si 0;r et O^ venaient à tourner d'un angle droit dans le sens même de la rotation 9^ la ligne Ott viendrait se coucher sur OP, et la ligne O;^ sur OK. D'où Ton voit avec clarté les positions précises qu'il faut donner aux lignes qu'on emploie dans la figure, pour représenter complètement les forces et les couples que l'on considère. On voit que si 6 change de signe , comme P et K en changeront aussi , n et /^ n'en doivent pas changer : et c'est en effet ce qui doit être, car il est évident que les forces centrifuges sont les mêmes, soit que le corps tourne dans un sens, soit qu'il tourne dans le sens contraire.

Corollaires.

57. Lorsque l'axe OZ de la rotation passe par le centre de gravité du corps , on a

fxdm = o et Jydni = o, . et partant, tt = o,

et toutes les forces centrifuges se réduisent au couple x-

Si, de plus, l'axe OZ est un des trois. axes principaux de ce corps, on a

fx9din = o et fjrzdm:=o, et partant, ;( = o,

et toutes les forces centrifuges se font équilibre.

Et réciproquement, il n'y a qu'un tel axe autour duquel les forces centrifuges nées de la rotation puissent se contre-balancer mutuellement. Car pour l'équilibre, il faut avoir tt = o et ;f = o : or i*' tt ne peut être nul à moins qu'on n'ait à la iois fjcdm = o et fjrdm = o, c'est-à-dire à moins que l'axe OZ ne passe par le centre de gravité; 2" f^ ne peut être nul à moins qu'on n'ait à la fois Jxzdm = o et Jjzdm = o, c'est-à-dire à moins que l'axe OZ ne soit un des axes principaux.

Remarque.

58. On voit par là qu'en Mécanique on peut chercher les axes principaiix d'un corps par deux considérations différentes, mais qui mènent sur-le-champ aux mêmes équations : car on peut demander.

4o THÉORIE NOUVELLE

autour (te que] axe un corps doit-il tourner pour que les forces actuelles Brdm qui animent ses nnolécules se réduisent à un couple N perpendiculaire à cet axe? ou bien, autour de quel axe le corps doit-il tourner pour que les forces centrifuges 5* rdm qui naissent de la rotation se fassent mutuellement équilibre?

En représentant cet axe inconnu par ta ligne OZ, et considérant

deux autres axes quelconques OX et OY perpendiculaires entre eux

que, dans l'un et l'autre cas, il faut avoir

ydin = o, d'où résulte que l'axe inconnu

de gravité du corps; et ensuite, qu'il faut

:f^m = o, d'où l'on tire la direction de cet

axe. Ainsi les deux problèmes ne peuvent conduire qu'aux mêmes

axes. Au reste, on verra plus loin, par la géométrie, que, dans un

corps quelconque, il existe toujours trois axes de cette nature et qui

sont rectangulaires entre eux.

DE LA ROTATION DES CORPS. 4i

frouver Texpression du moment d*inerHe du corps autour d*un autre axe mené comme on voudra par le même centre; et de là on peut passer, par une autre expression encore plus simple , au moment dMnertie relatif à un axe quelconque parallèle à celui-là. C'est une théorie purement géométrique que je développerai avec quelque détail dans le chapitre suivant.

Mais . avant de terminer celui-ci, je veux dire deux mots de la rotation d'un corps sur un axe fixe, afin de montrer, d'une manière nette, i^ les percussions que cet axe doit ressentir, au premier instant, de la part des forces d'impulsion qui ont été appliquées au corps; o? les pressions que cet axe devra soutenir, dans tout le cours du mouvement, pour résister aux forces centrifuges qui naissent à chaque instant de la rotation.

Enfin, revenant aux propriétés générales du mouvement d'un corps entièrement libre, je montrerai, dans un nouveau paragraphe, que le principe de la conservation des forces et le principe de la conservation des couples auraient pu être tirés , comme corollaires , de la théorie des forces centrifuges.

Du mouvement d'un corps autour d'un axe fixe,

61. Quelles que soient les forces appliquées à ce corps, on peut toujours les réduire à une seule R appliquée en un point quelconque de l'axe fixe, et à un seul couple G.

Or il est évident que la force R passant par un point de l'axe fixe y est détruite, et que, par conséquent, cet axe OZ reçoit d'abord au point O une percussion représentée par la force donnée R ; ou , si l'on veut, en nommant a l'inclinaison de R à OZ, cet axe fixe reçoit deux percussions, l'une R cos a dans le sens de sa longueur, et l'autre R sin a dans une direction perpendiculaire.

Ensuite, en désignant par v l'inclinaison de Taxe du couple G au même axe fixe, on peut décomposer ce couple en deux : l'un N = Gcosv, perpendiculaire à l'axe fixe; l'autre N' = G sin v, dans un plan conduit par cet axe. Or il est visible que ce dernier couple N'

43 THÉORIE NOUVEJJLE

se trouve détruit : de sorte que l'axe fixe doit encore ressentir la

percussion d'un couple N' = G sin v.

Ainsi, TOità deux percussions tout à fait inutiles au mouvement du corps, et qui ne peuvent qu'ébranler l'axe 6xe : d'où l'on voit q.ie si l'on n'a d'autre objet que de faire tourner le corps, en menagtiant les appuis , il est bon de n'employer que des forces qui aient

Fk;. 19.

comme frappé par le seul couple donné N , je puis le considérer comme frappé à la fois par les trois couples N , K , K' et les deux forces P et P.

Or, par hypothèse, les couples N, R, et la force P, combinés ensemble, sont capables de faire tourner le corps sur Taxe OZ avec une

vitesse angulaire Q = ^ , sans causer à cet état fixe la moindre

percussion. Donc, i^ le corps prendra réellement cette rotation déterminée 9 ; car la force et le couple restants P' et K% passant tous deux par l'axe fixe , peuvent être regardés comme détruits par la résistance de cet axe. Donc, 2^ cet axé fixe ressentira deux percussions représentées Tune par la force P' appliquée au point O, l'autre par le couple K^ dont le plan passe par le même axe; et Ton aura, pour ces deux espèces de percussions :

P' = - P = - fl yj{fxàm)^-h{fjdm)\

K'= - K = - ô ^{Jxzdnif'^{Jfzdin)\

Ce qu'il fallait d^ abord trouver.

65. Si l'axe OZ , au lieu d'être fixe dans toute sa longueur, était simplement retenu par deux points fixes A et B, et qu'on voulût trouver les deux percussions individuelles ressenties par ces points, on décomposerait la force P en deux antres parallèles appliquées, l'une au point A , l'autre au point B; ensuite on changerait le couple K' en \m autre équivalent appliqué à angle droit sur AB; et, réduisant alors à une seule les deux forces qu'on trouverait en A , et de même à une seule les deux forces qui agiraient en B , on aurait les deux percussions individuelles que le couple proposé N produit au premier instant sur les deux points fixes A et B.

64. Il est évident que les percussions dont il s'agit ne sont ressenties par Taxe fixe qu'au premier instant : car une fois que l'axe a détruit la force P' et le couple K', le corps n'est plus sollicité au mouvement que par les couples N, R et la force P. Or ce système de forces étant capable de faire tourner spontanément sur OZ, c'est-à-dire quand bien même OZ ne serait pas fixe, il est manifeste que la résistance de cet axe n'a plus rien à détruire, et qu'il ne reçoit plus aucune percussion.

On Toit, par la , que si Ton veut ménager le plus possiUe Taxe fixe de rotation, sans regarder à la dépense des forces, il £iut appliquer des forces qui se réduisent d^Iles-mémes à la force P et au couple G résultant de N et K. Cet ensemble P et G, ou son équivalent P, N , K , feront tourner sur Taxe fixe sans lui causer aucune percussion. On peut se représenter que , dans le cas dont il s'agit, la chose se passe de c^^tte manière : on peut voir le couple N comme étant employé à Êiire tourner sur Taxe , tandis que la force P et le couple K sont employés à soutenir cet axe, ou , si Ton veut, à détruire les deux percussions — P et ~ K qui lui viendraient du couple N, si ce couple agissait tout seul.

Ainsi , quand on veut ménager le plus possible la résistance de l'axe, il faut appliquer le système de forces représenté par N, P et K : mais si Ton veut ménager la dépense des forces, il faut appliquer le seul couple N; et alors Taxe reçoit deux percussions — P et — K , qu'il est obligé de détruire.

65. Après la destruction du couple K' et de la force P par Taxe fixe, le coq>s tend donc à tourner librement sur cet axe avec la vitesse angulaire d. Mais de cette rotation naissent alors les forces centrifuges 0* rdnif dont il faut examiner Tefifet ; ce qui est le troisième point de notre démonstration. Or il est évident que toutes ces forces étant dirigées vers l'axe fixe , y seront détruites à chaque instant : d^oû je conclus d'abord que la rotation d du corps sera uniforme; que, dans toute la suite du mouvement, l'axe fixe n aura plus qu'à supporter les pressions dues aux forces centrifuges; et que cet axe devra être retenu dans tous les sens, pour résister à ces pressions qui changent continuellement de directions par le mouvement même du corps. Or on a vu que les forces centrifuges Q^rdm sont réductibles à une seule

w = ô P = e» si[SxdmY'^ Ur^^Y^

et k un seul couple

de sorte que l'axe est chargé, à chaque instant dt, d'une pression ndt appliquée en O, et d'un couple )(^dt passant continuellement par cet

axe : pressions qu'on pourra réduire, comme ci-dessus, à deux forces appliquées aux points A et B si Taxe n'est retenu que par deux points fixes; etc., etc.

Remarque,

Dans le mouvement que je viens de considérer, il est bien clair que la force P et le couple G, dont .le corps est à chaque instant animé, restent toujours les mêmes de grandeur et de position dans Yintérieur du corps. Les deux lignes OP et OG qui les représentent ne font, pour ainsi dire, que tourner avec le corps et du même mouvement angulaire d, autour de l'axe fixe.

Si tout à coup cet axe devenait libre , et que le corps fût ainsi abandonné à lui-même, on sait, par les principes généraux de la Dynamique, que P et G seraient également conservés de grandeur et de position, non plus dans l'intérieur du corps, mais dans V espace absolu. Or je veux faire voir ici que ces principes, qu'on peut nommer la conservation des forces et la conservation des couples, auraient pu être tirés, comme de simples corollaires, de la théorie des forces centrifuges : déduction délicate et qui me parait assez curieuse pour n'être point omise dans un Mémoire de Mécanique rationnelle.

Conservation de^ forces et conservation des couples dans le

mouvement d'un corps libre.

De l'analyse exacte des forces centrifuges , on peut tirer ces deux belles conséquences : c'est que les forces centrifuges qui naissent du mouvement d'un corps ne peuvent jamais altérer ni la grandeur ni la direction des forces primitives d'impulsion qui ont mis le corps en mouvement. Je veux dire que si^ à une époque quelconque, on vient à rechercher la résultante et le couple résultant des forces finies qui animent le corps à cette époque, on retrouvera la même force et le même couple, et situés dans les mêmes lieux de l'espace. Ces propriétés ne sont, il est vrai, qu'un corollaire de ce principe, ou de cette loi générale de la Dynamique, par laquelle les forces qui ani-

ment toutes les molécules d'un système quelconque, variable ou non, donnent toujours , relativement à un même point de l'espace, la même résultante R et le même couple résultant G, pourvu que le système soit abandonné à lui-même, c'est-à-dire considéré comme libre de tout obstacle et de toute force accélératrice étrangère. Ce principe général

couple Y^dt qui ne sopt point nul» d'eux-mêmes. Il n'est donc pas inutile d'entrer ici dans une explication plus complète, et de montrer comment cette force et ce couple , nés des forces centrifuges , ne peuvent jamais troubler ni la grandeur ni la position dans l'espace , de la résultante R et du couple résultant G. Et cela même nous parait d'autant plus curieux à examiner, que non-seulement ces forces cen* trifiiges ne troublent ni R ni G, mais qu'elles sont même nécessaires à leur conservation: de sorte que si, à chaque instant, on venait à détruire la force ndt et le couple x^^» R et G ne se conserveraient plus dans l'espace absolu.

Démonstration.

Quel que soit le mouvement d'un corps, nous avons vu que ce mouvement peut être considéré, à chaque instant dt^ comme composé d'une rotation Q autour d'un certain axe déterminé ON , et d une translation u parallèle à cet axe que nous avons nommé l'axe spontané glissant.

Soient donc P, K , N la force et les deux couples capables de cette FiG. 20. rotation sur l'axe. ON , el Q la force qui , appliquée au centre de gravité g, est capable de la translation u suivant la direction du même axe.

En nommant m la masse du corps, et faisant gO = r/, on aura

P = maô et Q=mM,*

comme on Ta dit plus haut.

Cela posé, au bout d'un instant dt^ le corps sera descendu le long de ON, par un espace 00"^= udt^ et en même temps il aura tourné autour de ON par un angle Qdt. Supposons donc que dans ce mouvement il ait entraîné avec lui toutes les lignes OP, OK, ON , Og que l'on considère dans la figure. Il est clair qu'en vertu du premier mouvement , toutes ces lignes seront d'abord descendues dans les positions parallèles O'P', O'K', O'N', O'g'; et qu'en vertu du second, elles auront tourné ensemble d'un même angle Qdt^ pour venir, dans les positions O'P*', O'K.*', O'N', O'g'': de manière que les extrémités P',

K', g' auront décrit les arcs semblables

P'P^ = P9flt, K'K'= Kerf(, g'g'—addt.

Mais, au bout de cet instant, il sera provenu des forces centrifuges: i°une force ntlt = PSiY*, peipendiculaire à P', et qui, com-

On peut même voir comment la chose se passe d'un instant à l'autre. Car au bout d'un instant, le corps ayant changé de position dans l'espace, et les forces ayant gardé la leur, le corps ne s'y présente plus de la même manière, et son mouvement va changer, c'est-àdire qu'il va se faire autour de quelque autre axe spontané glissant on. Mais comme ce mouvement sera dû au même système (P, K, N, Q) , ce système est nécessairement réductible à un système semblable [p^ kj n^ q) capable dé ce mouvement autour du nouvel axe on dont il s'agit. Or, par la même démonstration qui précède , ce second système serait aussi conservé durant un instant : donc puisqu'il est réductible au premier (P , K , M , Q) , celui-ci se conserve de même , c'està-dire qu'il peut représenter les forces et les couples qui animent le corps, non-seulement au bout du premier ^ mais encore au bout du ^econ^ instant, et ainsi de suite à l'infini: d'où l'on voit comment cette conservation des forces et des couples doit s'étendre à tout le cours du mouvement.

Et réciproquement, si l'on voulait partir de ce principe général (dont la démonstration directe est très-facile), on serait conduit, par une marche inverse, à reconnaître que , du mouvement même d'un corps solide, il doit nécessairement provenir de certaines forces infiniment petites , telles que , étant combinées à chaque instant avec les forces acquises, le principe de consen^ation dont il s'agit soit rigousement observé : et l'on retrouverait ainsi pour ces forces infiniment petites les mêmes expressions ndt^ X^^' qu'on a tirées de la théorie des forces centrifuges. Au reste, il n'est pas surprenant qu'on arrive au même résultat par les deux méthodes, puisque l'une et l'autre partent également de cette loi fondamentale qu'on appelle la loi d'inertie.