THÉORIE NOUVELLE CHAPITRE III
SUR LA THEORIE DES MOMENTS d'iNERTIB [*].
DE LA ROTATION DES GORPS.< 5i
tf étant l'inclinaison mutuelle de d et A; on a donc
r» = 3* sin* 9 = a* (i — cos» f) ,
et comme on a, par la géométrie,
C08 <p =T- cos a -f- ^ C08 13 -h - cos y ,
J ou
on trouvera en substituant (et observant que l'on a toujours co8^ a -4- cos* j3 -h cos* y = i ) ,
r' = cos* a (/^ -+- ^^) -»- c^s* /3 (^* H- z*) -h cos* y {x* H- ^*)
— a (cos a cos /3 . aj^ 4- cos a cos y . a:z -f- cos ^ cos y .^z),
et, par conséquent, multipliant tout par dnij et mettant le signe/, /r* d^ii = cos* a /(j^* -h s*) rfm -h cos* j3/(j:* -f- s*) ^m 4- cos* y / ( X* -h/**) rffn — a (cos a cos ^Jxjrdm -h cos a cosyfxzdm -h cos |3 cos yffzdm),
ce qui donne le moment d'inertie relatif k l'axe proposé, par les inclinaisons a, p, y de cet axe sur les trois axes fixes donnés j:, ^9 z, et par les six intégrales
/(7" -^ *') ^''^^ ' /(^" -»- «*) dm , /(^* -t- j*) rf/iï , fjcjrdm, fxzdm, fjzdm,
relatives aux mêmes axes : intégrales qu'on peut regarder comme actuellement déterminées par la position connue du corps, et que je représenterai par les six constantes respectives
A, B, C, /, THy n;
de sorte que, en désignant simplement par H le moment d'inertie / r* dm relatif à la droite h , on aura l'équation
H = A cos* a H- B cos* j3 + C cos* y — 2 (/ cos a cos /3 H- m cos a cos y ~h n cos j3 cos y) ,
où A, B, C représentent les moments d'inertie relatifs aux axes des coordonnées Xjjr,z.
5a THÉORIE NOUVELLE
Du système des droites ou axes h, autour desquels le moment d'inertie du corps a toujours la même valeur H.
67. Si dans l'équation précédente on regarde H corame une constante donnée, et les angles a, J3, 7 comme variables, on aura évidemment l'équation de la surface conique formée par la suite des
DE LA ROTATION DES œRPS. 53
l'équation transformée les trois rectangles de ces nouvelles coordonnées. Cette transformation , comme on le ^it par la géométrie analytique , est toujours possible; et l'équation de la surface ne contient pins alors que les trois carrés des coordonnées : elle est réduite à sa forme la plus simple , et la surface conique est rapportée , comme on dit , à son centre et à ses axes ou diamètres rectangulaires.
Si donc, dès le commencement, au lieu de prendre trois axes quelconques, on avait pris les trois diamètres dont je viens de parler, et qu'on eût cherché de même la surface formée par la suite des droites d'un même moment d'inertie H, on aurait trouvé exactement la même équation , et toute réduite à la forme la plus simple. Or, par rapport à trois axes quelconques, cette équation est, comme on Ta vu, de la forme
(H - A)x' -H (H - B)j^ -h (H - C) z» -f- 2{lxx -h mxz -^ njz) = o,
oiiA,B,C,/,m,/t désignent les six intégrales J [jr^ -^ z^) Hm ^ /(x*-i- z*)dm, etc., Jxjrdm^ etc., relatives aux axes que l'on considère. Mais puisque cette équation, rapportée aux trois diamètres particuliers dont il s'agit, ne doit plus contenir les rectangles xj^ xz, jrz des coordonnées, il s'ensuit que, relativement à ces mêmes diamètres, on aurait trouvé les intégrales /, /n, /i, c'est-à-dire jxydm^ Jxzdm^ Jy-zàtm^ toutes trois égales à zéro.
70. Donc, par la même raison qu'il y a pour une surface conique du second ordre , trois axes rectangulaires par rapport auxquels les coefficients des trois rectangles xjr^ xz , jrz sont nuls dans l'^uation de cette surface, il y a dans un corps de figure quelconque, et en tel point de l'espace qu'on voudra considérer, trois axes rectangulaires par rapport auxquels les trois intégrales Jxydm^ Jxzdin^ f jrz dm, relatives à ces axes, sont égales à zéro.
Et ces trois axes, qu^on nomme les axes principaux du corps, ne sont autre chose que les trois diamètres rectangulaires de la surface conique du second ordre formée autour de l'origine, comme sommet , par la suite des droites autour desquelles le corps a toujours 1^ même moment d'inertie.
54 THÉORIE KOUVELtX
Comment on détermine les axes principaitx.
71. On peut donc déterminer la position dés trois axes principaux d'un corps, exactetoent comme on détermine celle des trois axes ou dinmétres rectangulaires d'une surface du second ordre.
PX' -h Qjr' -i- Rz'
DE LA ROTA'nON DES CORPS. 55
disparaisse de l'équation transformée. Si l'on désigne par o) TincUnaison de .r' à jr, on a
X •= x' cos w — ^' sin w ,
jr =z x' sin w 4-^' cos co ,
et substituant ces valeurs dans l'équation, on trouve pour le coefficient du rectangle x'jr\
(A — B) a sin w cos w -h a Z (cos* ck) — sin* w) ,
ou bien
(A — B) sin a &> -h a / cos a co ,
lequel, étant égalé à zéro, nous donne, pour déterminer u, Téquation très-simple
taug 1 « = 5^.
Ainsi, relativement aux trois axes x\jr' et z qui sont rectangulaires entre eux, l'équation de la surface conique sera réduite à la forme
et ces trois axes seront ainsi les trois axes principaux du corps que l'on considère, de sorte qu'on aura
fx'jr'dni = Of fx'zdtn = Oy Jjr'zdni=: o.
On voit que les deux dernières équations s'accordent avec les deux qu'on avait supposées, savoir fxzdm = o, Jyzdm = o : car par la forme des expressions ci-dessus de x etjr, en x' eljr\ ou réciproquement, il est facile de voir que J x'zdm = o etjyzdm = o entraînent les deux équations fxzdm = o et fjzdm = o, et réciproquement; et cela même, indépendamment de l'inclinaison tùàe x kx'.
Propriétés des trois axes pnncipaux.
74. Si nous rapportons toutes les particules du corps aux trois ^nes principaux y nous aurons donc, en nommant toujours H le moment d'inertie relatif à une droite h menée par l'origine &ous les angles a , ]3 , 7 avec ces mêmes axes ,
H = A cos* a -h B cos* ]3 -h G cos* y ,
56 IBÉORIE NOUVELLE
où Ay By C sont les valeurs des moments d'inertie du corps relatifs aux trois axes principaux.
75. De cette expression très-simple, il résulte d'abord que le moment d'inertie H sera toujours une quantité moyenne entre les moments principaux A, B, C. Car, supposez qu'on range Ces trois quantités par ordre de grandeur^ A < B < C; je dis que A est la plus petite valeur que puisse obtenir H , et que C est la plus grande.
En effet , à cause de
cos^ a -I- cos^ p -h cos* V = * »
on peut mettre l'expression précédente sous la forme
H = A -î- (B — A) cos* ^ 4- (C - A) cos'7;
or (B— A) et (C— A) sont tous deux positifs par hypothèse; donc on a toujours
Si l'on suppose que H passe à cette valeur minimum A, il vient
o = (B — A) cos* /3 -4- (C — A) cos^ 7,
équation qui ne peut subsister à moins qu'on n'ait
cos /3 = o, cos 7=0, et partant cos a = i ,
ce qui fait tomber h sur Taxe principal lui-même du moment A.
Ainsi 9 entre tous les axes qu'on peut mener par l'origine , l'axe du moment d'inertie minimum est unique, et c'est le premier axe principal.
Maintenant , si l'on met l'expression de H sous la forme
H = C -h (A — C) cos^ a -4- (B — C) cos* j3 ,
on voit de même que (A — C) et (B — C) sont tous deux négatifs par hypothèse; donc on a toujours H < C. Ainsi la valeur générale de H est toujours intermédiaire entre A et C , comme je l'avais avancé. Si l'on suppose que H arrive à cette valeur maximum C , il vient
o = (A — C) cos' a -h (B — C) cos^ /5,
équation qui ne peut subsister à moins qu'on n'ait
cosa = o, cos j3 = o, et par conséquent, cos 7 = 1,
ce qui fait coïncider h avec Taxe principal du moment G.
Ainsi Taxe dju moment d'inertie maximum est aussi un axe unique; et c'est le second axe principal du corps.
Enfin y si l'on met TexpressioA de H sous la formé .
H = B 4- (A - B) cos* a 4- (G - B) cos* 7,
on voit que (A — B) étant négatif et (G — B) positif, la valeur de H peut se trouver au-dessus ou au-dessous de B , selon que (G — B) cos* 7 sera plus grand ou plus petit que (B — A) cos* a. Si l'on suppose que H prenne la valeur B , il vient
o = ( A — B) cos* a -h (G — B) cos* 7 , équation qui donne simplement, entre les angles a et 7, la condition
22L1 — -h i /HEÂ)
cosa ^ V (C-B)'
ou bien , entre les coordonnées z et x d'un point quelconque pris sur la droite h, l'équation
Il y a donc une infinité d'axes du mojren moment d'inertie B ; et l'on voit que tous ces axes forment deux plans conduits par l'axe principal des y ou du moment B , et faisant à droite et à gauche
sur le plan xjr deux angles égaux dont la tangente ~ est i/ *
Entre tous ces axes de même moment d'inertie B, il y en a un distingué de tous les autres; c'est celui qui est à la fois dans l'un et l'autre des deux plans dont je viens de parler, ou qui est à la fois perpendiculaire aux deux premiers axes principaux : c'est le troisième axe principal du corps.
Get axe, comme on voit, ne jouit pas, comme les deux autres, d'une propriété de maximum ou de minimum. Il n'est pas un axe unique quant à la grandeur du moment d'inertie qui s'y rapporte, P. 8
mais il est unique quant à sa position particulière entre lous ceux du
iiiènie moment d'inertie B.
Équation la plus simple de la surface conique formée par la suite des axes autour desquels le moment d'inertie du corps a la même valeur.
DE LA nOTA/nON fîSS GORPS. 59
principal, et inclinés sur l'axe x du moment minininm d'un angle
dont la tangente - est K/q^^^ ce qui s'accorde parfaitement avec ce
qu'on a dit plus haut.
Ces deux plans, dans les quatre coins qu'ils forment aulMir de l'axe du moyen moment d'inertie B , comprennent toute la surface du corps, ou plus généralement comprennent tout 1 espace. Dana les deux coins opposés au sommet où passe l'axe du moment mimnrnm A , tous les axes menés à la sur£sice ont des moments H inférieurs à B et su^ périeurs à A, qui est le plus petit de tous.
Dans les deux autres coins , où passe l'axe du moment maximum C, tous les axes menés du centre à la surface ont des moments H supé* rieurs à B et in(erieurs à C , qui est le plus grand de tous.
Enfin, dans les plans mêmes qni forment les quatre coins, tous les axes ont des moments d'inertie égaux à B.
Si l'on avait, comme cela arrive dans les corps de révolution et dans une infinité d'antres, deux des trois moments d'inertie A , B, C, égaux entre eux, les surfaces coniques dont j'ai parlé seraient celles de cônes droits à base circulaire autour du troisième axe principal , et les deux autres plans se confondraient en un seul perpendiculaire au même axe : de sorte que tous les axes possibles menés dans ce plan seraient des axes principaux d'égal moment d'inertie.
Si l'on avait les trois moments d'inertie A , B , C égaux entre eux , comme dans la sphère et dans une infinité d'autres corps, tous les axes possibles seraient des axes principaux de même moment.
