Vious avons donc ce nouveau théorème

De r/uelquc manière quun corps se meu^e en tournant autour d'un point fixe, ce mouvement ne peut être autre chose que celui d'un certain cône, dont le sommet est en ce point, et qui roule actuellement, sans glisser, sur la surface d'un autre cône fixe de même sommet.

Je veux dire que le cône mobile , considéré comme attaché au corps et Tentralnant avec soi, s'il vient à rouler sur Tautre cône qui est iixe dans l'espace absolu , fera décrire à ce corps le mouvement précis dont on le suppose animé; que la ligne de contact de ces deux cônes sera , à chaque instant , Taxe autour duquel le corps tourne dans cet instant 9 ou ce qu'on appelle Vaxe instantané : d'où l'on voit comment cet axe est à la fois mobile dans le corps et dans l'espace absolu; décrivant dans l'espace la surface du cône 6xe, et dans l'intérieur du corps, la surface du cône mobile dont on vient de parler.

27. Tel est, je crois , le plus haut point de clarté où l'on puisse porter l'idée si complexe et si obscure du mouvement d'un corps qui tourne d'une manière quelconque autour d'un centre fixe. 11 n'y a point de mouvement de cette nature qu'on ne puisse exactement produire en faisant rouler un certain cône sur un autre cône fixe de même sommet; de sorte que, si l'on imagine tous les cônes possibles quon ferait ainsi rouler, l'un sur Tautre, on a l'image fidèle de tous les mouvements possibles dont un corps soit capable autour d'un point sur lequel il a la liberté de pirouetter en tous sens.

Et même, s'il s'agissait d'un mouvement de rotation qui fiit discontinu, c'est-à-dire où l'axe de rotation, au lieu de changer de position par degrés insensibles, sauterait brusquement d^ine position à l'autre par un angle fini, on pourrait également imiter le mouvement du corps^ en prenant, au lieu de deux cônes, deux pyramides de même sommet, et de faces respectivement égalés, et faisant rouler l'une sur l'autre, de manière que la pyramide mobile tournant sur la commtme arête, vint appliquer, l'une après l'autre, toutes ses différentes faces sur les foces respectivement égales de la pyramide fixe. C'est, en effet, ce qui i*êsulte de la démonstration même que j'ai donnée plus haut.

DE LA ROTATION DBS C»RPS. 19

Remarque I.

28. Au reste ^ il est bon de remarquer, dans cette démoustration , t{ue si j'ai pris , sur l'axe instantané 01 , une ligne OI de longueur constante j c'était uniquement pour mieux fixer les idées y en montrant les deux courbes décrites par le pôle instantané comme étant tracées sur une même sphère. Mais il est évident que la démonstration se ferait de la même manière en prenant sur l'axe instantané une ligne Ol de longueur variable^ suivant une loi quelconque, et considérant les deux courbes décrites par son extrémité I, l'une dans l'intérieur du corps, l'autre dans l'espace absolu. On aurait toujours les deux mêmes sur* faces coniques , mais terminées ici par ces deux nouvelles courbes qui leur serviraient de bases; et l'on verrait de même que la courbe mobile vient appliquer^ l'un après l'autre, tous ses éléments successifs sur les éléments respectivement égaux de la courbe fixe : (Pou l'on tirerait exactement le même théorème.

Remarque IL

29. Il n'est peut-être pas inutile de faire aussi une remarque sur l'idée nette qu'il faut attacher aux mots quand on dit le mouifement de l'axe instantané, ou qu'on emploie quelque autre terme qui suppose la mobilité àe cet axe, soit dans le corps, soit dans l'espace. Ce n'est ici qu'une manière de s'exprimer. L'axe instantané ne se meut point : car il est immobile de sa nature pendant un instant, et au bout de cet instant, c'est une autre ligne qui devient à son tour l'axe de la rotation. Mais en se figurant l'ensemble de toutes ces lignes, menées d'avance, les unes dans le corps et ks autres dans l'espace, et leur donnant le commun nom d'axe instantané, on peut dire naturellement la surface décrite yM cet axe, au lieu de dire la surface formée par la suite de toutes ces lignes dont chacune doit devenir à son tour I axe de rotation. Et de même, au lieu de l'angle df compris entre deux génératrices consécutives de cette surface , on peut dire l'angle décrit en un instant dt par l'axe instantané, et nommer ainsi le rap-

port ■— la vitesse angulaire avec laquelle cet axe trace à la fois les

deux surfaces coniques dont il s'agit. C'est dans le même sens qu'on

nomme le rapport -j» ou le rapport — qui lui est égal , la vitesse avec

laquelle le pôle instantané I se meut le long des deux courbes ^ et c , l'une dans le corps et l'autre dans l'espace, quoique le point du corps qui fait en ce moment le pôle instantané n'ait de sa nature aucune vitesse. Car ce point du corps, tant qu'il fait le pôle, est immobile; et sitôt qu'il se meut, il n'est plus le pôle de la rotation.

Des différentes choses que Von peut naturellement considérer dans l'étude du mous>emcnt d'un corps autour d'un points et de la dépendance mutuelle de ces choses.

30. Si les deux courbes 5 et g*, qui servent de bases aux deux surfaces coniques, sont données, avec la vitesse angulaire $ de rotation autour de l'axe instantané 01, il est évident que le mouvement du corps sera entièrement déterminé.

Si, la vitesse angulaire étant toujours connue, une seule de ces deux courbes est donnée avec la vitesse du pôle qui la décrit, l'autre courlie sera nécessairement donnée.

Supposons, par exemple, que la courbe fixe c soit donnée avec la

vitesse -j- du pôle instantané I le long de cette courbe. Comme le

corps tourne sur OI avec ime vitesse angulaire 6 aussi donnée, il est clair que le point du corps qui , au bout de l'instant dt , doit venir tomber sur la courbe fixe a pour y être à son tour le pôle instantané, e-st un point déjà déterminé dans le corps ; et il en est de même des autres points du corps que les rotations successives doivent amener l'un après l'autre, comme pôles, sur la courbe fixe et donnée c r d'où Ton voit que l'autre courbe ^ , qui marque la route du pôle dans l'intérieur du corps, est entièrement déterminée.

Et réciproquement, si , au lieu de la courbe fixe c, on se donne la

courbe mobile j, avec le vitesse j- et la rotation fi, on verra de même

que la courbe fixe 7 se trouvera entièrement déterminée dans l'espace.

DE lA ROTATION DES CORPS. ai

5t. En général, dans l'étude du mouvement d'un corps autour d'un point fixe, il se présente naturellement plusieurs quantités simples à considérer, telles que la vitesse angulaire 9 de rotation autour de l'axe instantané OI ; la vitesse angulaire o avec laquelle cet axe trace les deux surfaces coniques S et 1 qu'il décrit en même temps, l'une dans Tintérieur du corps, l'autre dans l'espace absolu; les rayons de courbure r et p de ces deux surfaces; les mouvements angulaires ^ et tt du pôle , l'un autour de l'axe OP du cône osculateur de la surface mobile S, et l'autre autour de Taxe OII du cône osculateur de la surface fixe 2; etc. Et si, de ces différentes choses, trois quelconques sont connues, on peut dire que les autres le sont aussi , et que le mouvement du corps est entièrement déterminé.

On peut se faire une idée nette de ces relations mutuelles , en prenant sur Taxe instantané une longueur constante 01 = 1, et considérant les deux courbes ^ et a, décrites par le pôle 1, comme deux polygones sphériques d'une infinité de côtés.

Car, pendant l'instant dt^ où le pôle reste immobile en I, le côté ds Fig. io. du polygone sphérique mobile s décrit, pour venir se coucher sur le Fig. i i. côté égal dd du polygone fixe o-, un angle formé par la somme de l'angle extérieur de du polygone mobile et de l'angle extérieur de du polygone fixe, ou par la différence de ces deux angles, si les deux courbes ^ et a ont leurs convexités tournées dans le même sens. La vitesse angulaire d, autour de l'axe instantané OI, est donc exprimée par la somme ou par la différence de ces deux angles, divisée par l'élément dt du temps; de sorte qu'on a

{ïe signe ±: , selon que les deux courbes ^ et <7 ont, au point de contact I, leurs convexités opposées l'une à l'autre, ou tournées dans le même sens ).

Or l'angle extérieur de du polygone sphérique s n'est autre chose que l'angle extérieur dièdre, formé par le prolongement d'une face avec la face suivante, dans la pyramide centrale dont ce polygone sphérique est la base; et cet angle dièdre étant égal à celui que font entre elles les deux perpendiculaires élevées sur les faces voisines, a

a^ THÉORIE NOUVELLE

pour mesure — » si Ton nomme r le rayon de courbure de la surfiaice conique au point I que Ton considère. On a donc

et l'on a de même

> lis

en nommant p le rayon de courbure de l'autre surface au même point I : d'où résulte, en substituant ces valeurs dans l'équation précédente,

on a

rdt pdt

Mais ^ [ou ~ qui lui est toujours égal u marque la vitesse angulaire

avec laquelle l'axe instantané OI trace à la fois les deux surfaces coniques; en faisant donc

ds du

ce qui donne une relation très-simple entre la rotation 9, le mouvement angulaire cj de Taxe instantané , et les rayons de courbure r et p des deux surfaces coniques qu'il décrit.

Fi G. 12. 32. Si l'on suppose menés ces deux rayons de courbure IP = r, m = p, et qu'on joigne OP et OK , on aura les axes des deux cônes droits et circulaires osculateurs des deux surfaces; et les deux perpendiculaires abaissées àï\ pôle I sur ces deux axes OP et On , seront les rayons a et a des cercles qui servent de bases à ces cônes osculateurs.

Or on a, par la f^iire,

Ainsi l'on peut introduire dans Téquatioii précédente, au lieu des rayo»» de courbure r et |9 des deux cônes , les rayons ^ et a des deux cercles

DE LA HOTATION DES CORPS. a3

qui leur fervent de bases; et l'équation devient

iMais (k) étant la vitesse angulaire de l'axe instantané sur la surface du

oône , il est clair que - est la vitesse angulaire de la projection de cet

axe OI sur la base, et, par conséquent , c'est le mouvement angulaire

du pôle I autour de Taxe OP de ce cône ; et ^ de même , - est son mou-

vement angulaire autour de Taxe OIÏ de l'autre cône. Si donc on désigne ces deux mouvements angulaires par p et n^ ou qu'on fasse

- =^ Pf - = TT ) on en tire d'abord la proportion

et ensuite , d'après l'équation précédente ,

= ^ v'i — a* ±: TTy I — a^.

D'où l'on voit que les mouvements angulaires du pôle , autour des axes des cônes osculateurs, ne sont autre chose que la rotation 6 décomposée en deux p et ;r autMir des mêmes axes : car, OI étant égal à I, il est clair qu'en nommant x ét^ les inclinaisons de OI sur les axes OP et O II , on a

a = sin X et a = sin ^ ;

de sorte que les deux relations précédentes équivalent à cette suite de rapports égaux :

p :n : d : : sinH : sin ar : sin (x -h Ç) ;

ce qui montre que p etn sont les deux côtés d'un parallélogramme dont 9 est la diagonale.

33. On voit donc comment ces diverses quantités sont liées entre elles y et peuvent se trouver quand on en connaît trois en fonction du temps.

Si ces trois quantités dotmées sont constantes, toutes les autres le sont aussi; et le mouvement du corps est celui d'un cône droit k base

a4 THÉOBIE NOUVELLE

circulaire qui roule uniformément sur un cône fixe également droit et circulaire.

Ainsi, la terre tourne en un jour sur son axe OI, tandis que cet axe décrit, en sens contraire, un cône droit autour de Taxe On de l'écliptique, sous un angle Ç de 26^ 8\ et avec une vitesse angulaire n mesurée par le mouvement rétrograde des équinoxes , et qui est d'environ 4^ tierces centésimales par jour. On connaît donc la rotation 9 autour de Taxe instantané, le cône fixe 2 que cet axe décrit dans l*espace , et la vitesse angulaire n qu'il a dans ce mouvement. On peut donc déterminer dans la terre le cône S qui , roulant sur le premier 2 , et en dedans de sa surface, ferait décrire à la terre le mouvement précis qu on y observe. Car, en prenant le jour pour unité de temps , on aura

Q = ^n = 4oo**, n = 4a*^ et sin Ç = sin 26*» 8%

et les équations précédentes donnent

wml 4^*" sin afr 8'

tang X — e^^cosç "" 400» + 4»*' cos 26^' ''

d'où l'on conclut le rayon sin x du petit cercle qui sert de base à ce cône mobile S : ce qui donne à peu près i™,684 àe longueur à la petite circonférence que le pôle instantané de rotation de la terre décrit chaque jour à sa surface (tout ceci, d'ailleurs, dans l'hypothèse d'une rotation et d'une précession diurnes parfaitement uniformes).

Idée du mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans

Vespace absolu.

FiG. i3. 34. Considérez un point quelconque O du corps, et la vitesse actuelle u qu'il a dans l'espace ; il est clair que tout le mouvement du corps, quel qu'il soit, peut être vu, dans cet instant, comme composé : 1^ d'une simple translation qui emporterait toutes les molécules avec la même vitesse u suivant des lignes parallèles à la direction de cette vitesse; et a^ d'une simple rotation autour d'un certain axe OI passant par le point O que l'on considère. Car, en vertu du premier

DE LA ROTATION DES CORP^. a 5

de ces deux mouvements , le point O sera porté dans l'espace au lieu même où il doit être au bout d^un instant; et par le second autour d'un axe OI bien choisi, le corps pourra venir dans la position quelconque qu'on lui suppose au bout du roéroe instant.

Or, s'il arrivait que la direction OU de la translation u fut perpen- FiG- i4diculaire à l'axe 01 de la rotation 9 , tout le mouvement pourrait se réduire à une simple rotation Q autour d'un certain axe O'S parallèle à OI. Car menez suivant OI le plan perpendiculaire à OU , et supposez que dans ce plan, et du coté de l'axe où la vitesse de rotation des molécules est de sens contraire à leur vitesse de translation , on prenne

un point O' à la distance x = - de cet axe 01; il est évident que ce

point O' aura dans l'espace une vitesse nulle xB — w , et qu'il en sera de même pour tous les points du corps situés sur la ligne O'S parallèle à OI. Donc, dans le cas particulier -de OU perpendiculaire à l'axe instantané 01 , le double mouvement du corps se réduit à une simple rotation autour d'un certain axe déterminé O'S, et qu'on nomme Vaxe spontané de rotation.

Actuellement, si OU n'est pas perpendiculaire à OI (ce qui est le Fie. i5. cas le plus général), imaginez qu'on décompose la vitesse u de translation en deux , l'une v perpendiculaire à 01 , et l'autre s^ parallèle au même axe. La première p, combinée avec la rotation 9, donnera lieu à une rotation spontanée autour d'un certain axe parallèle à OI, comme on vient de le voir tout à l'heure; et la seconde s/ transportera tous les points du corps dans une direction parallèle à cet axe spontané. Donc, dans le cas le plus général, tout le mous^ement d'un corps se réduit à tourner sur un certain axe et à glisser en même temps le long de cet axe : de sorte que ce mouvement est exactement le même que celui d'une vis qui tourne dans son écrou. Tous les points du corps décrivent donc, sur des cylindres concentriques, de petits arcs d'hélices qui ont toutes le même pas. Dans l'instant suivant , c'est une autre vis, d'un autre axe et d'un pas différent; et ainsi de suite d'un instant à l'autre : d'où l'on voit comment se forment les courbes simultanées que décrivent tous les points du corps, et le long desquelles ils se meuvent comme en autjint de canaux curvilignes où ilr* seraient enfermés.

a6 • THÉORIE NOUVELLE

3£». On conçoit parfaitement le mouvement de translation , par lequel tous les points d'un corps sont portés suivant des lignes égales et parallèles dans l'espace; on conçoit avec autant de clarté le monvenient de rotation autour d'un axe qui demeure immobile : mais on ne voit pas si bien le mouvement unique et réel qui vient de la combinaison de ces deux-là pour chaque point du corps; et c'est la coexis-

DE LA ROTATION DES CORPS. %j