De l'expression générale

H = A cos* a H- B cos* ^ H- C cos' y,

il résulte encore des conséquences faciles et très-importantes pour simplifier la considération du mouven^ent d'un corps de figure quelconque. On voit, en effet, par cette expression que si deux corps quelconques avaient les mêmes moments d'inertie A^ B, C par rapport à leurs axes principaux x^jr^ 2, ces deux corps auraient aussi le même moment d'inertie H par rapport à toute autre droite h faisant les mêmes angles a, ]3, 7 avec les axes principaux. Donc quand on ne considère que les moments d'inertie, on peut toujours faire abstrac-

6o THÉORIE NOUVELLE

tion de la figure du corps, on plutôt on peut toujours la supposer réduite à celle de quelque corps plus régulier tel qu'un ellipsoïde, ou même un simple parai iélipipède rectangle, qui aurait les mêmes moments principaux d'inertie.

Supposons, par exemple, deux corps libres qui auraient le même centre de gravité , les mêmes axes principaux et les mêmes moments d'inertie par rapport à tous les axes possibles menés par le centre. Et si deux couples de même grandeur et de même sens les frappaient à la fois, leur rotation, qui ne dépend à chaque instant que des moments d'inertie relatifs aux différents axes qui passent par le centre de gravité, serait exactement la niéme dans tout le cours du mouvement : de sorte que ces deux corps suivraient les mêmes rotations sans se nuire ou se favoriser en aucune manière. Ainsi le mouvement d'un corps irrégulier projeté d'une manière quelconque dans l'espace est le même que celui d'un simple rhomboïde rectangle, on de l'assemblage de trois verges rectilignes qui se croisent à angles droits dans leurs milieux, ou de tout autre corps régulier qui aurait les mêmes moments principaux d'inertie. Par cette considération , on éclaîrcit le problème de la rotation des corps, en substituant une figure plus simple et plus facile à concevoir, comme dans le mouvement de translation on réduit le corps à un seul point qui est le centre de gravité.

Mais il y a encore une expression plus claire de tout ce qui regarde les moments d'inertie d'un corps, comme nous le verrons dans la seconde partie de cet ouvrage.

En attendant , il faut montrer comment on peut trouver le moment d'inertie d'un corps autour dun axe quelconque, quand on connaît les axes, et les moments principaux d'inertie A, B, C , qui se rapportent au centre de gravité de ce corps.

77. Nous avons déjà vu que, pour un axe quelconque h qui passerait par le centre de gravité, le moment d'inertie H serait exprimé

par la formule

H = A cos* a -»- B cos* /3 -h C cos* y,

a, |3, 7 étant les inclinaisons de cet axe sur les trois axes principaux du corps. Or il est facile de trouver le moment d'inertie d'un corps autour d'un axe quelconque h'j par le moment d'inertie H autour d'un axe parallèle mené par le centre de gravité de ce corps.

DE LA ROTATION D£S CORPS. 6i

Et» en effet, soit r' la distance d'une molécule dm du corps à l'axe h que l'on considère , r sa distance à l'axe parallèle mené par le centre, et D la distance mutuelle de ces deux axes ; on aura , dans le triangle formé par les trois lignes r% r et D,

r'*= r*H- D* — tnDrcosf ,

(f étant l'inclinaison de r à D. On aura donc

Jr'^dm ^sz fr^dm-k- mD* — aDjdm.rcosfj

ou bien

H'= H-H //iD" — 2Dfdin.rcos(p.

Mais /' cos f marque la distance de la molécule dm au plan qui serait mené par le centre de gravité perpendiculairement à la ligne D ; on a donc, puisque ce plan passe par le centre, fdm. rcosf = o, et partant,

c'est-à-dire que te moment d^inertie d'un corps autour d'un axe mené comme on voudra dans V espace se trouve en prenant le moment d'inertie autour d'un axe parallèle mené par le centre de gravité^ et y ajoutant le produit de la masse par le carré de la distance de ce centre à l'axe extérieur que l'on considère.

78. On voit par là que les moments d'inertie d'un corps sont égaux pour tous les axes parallèles h' qui sont à égale distance D du centre ' de gravité de ce corps , ou qui forment la surface d'un cylindre droit et circulaire autouc de ce centre.

Si l'on conçoit ce cylindre décrit , et qu'on le fasse tourner autour du même centre, dans une infinité de positions différentes, les moments d'inertie du corps relatifs aux génératrices h' auront bien la même valeur sur chaque cylindre, mais ils varieront de grandeur d'un cylindre à lautre. Mais si l'on fait tourner le cylindre dont il s'agit de manière que son axe décrive la surface conique qui répond à l'équation

A cos* a H- B cos* j3 -h C cos* y = H = constante ,

les moments d'inertie du corps seront égaux par rapport à toutes les génératrices de cette infinité de cylindres.

Mais le système de toutes ces droites n'épuise pas encore l'infinité

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des axes autour desquels le corps peut avoir un même moment d'inertie donné. Car si ïon fait Varier à la fois H et D de manière que la somme H + mD^ reste constante ^ on Toit qu'on aura encore une in* finité de systèmes d'axes tels que les précédents, et autour desquels le corps aura le même moment d'inertie.

Quand on ne considère que des axes qui se croisent en un même point quelconque O^ tous tes axes d'un moment d'inertie donné forment une surface conique du second ordre décrite autour de ce point. Quand on ne considère que des axes parallèles entre eux , tons les axes d'un moment d'inertie donné forment 1^ surface d'un cylindre droit à base circulaire autour du centre de gravité du corps. Mais quand on regarde indistinctement tous les axes possibles de l'espace, il y en a une infinité d'infinités qui répondent au même moment d'inertie donné. Toutes ces droites, néanmoins, ne remplissent pas tout l'espace; car H' étant donné, et H étant nécessairement compris entre !e plus petit A et le plus grand C des trois moments principaux A, B, C, il est clair que la ligne D ne peut varier qu'entre certaines limites, qui sont

Ainsi, en concevant autour du centre de gravité du corps deux sphères décrites des rayons D et D', aucun des axes qui peuvent répondre au même moment d'inertie H' ne peut entrer dans la sphère au rayon D , ni sortir de la sphère au rayon D'.