De la même relation

H'=H-hllîD^

on tire encore la démonstration la plus simple d'un théorème assez curieux [^] qui peut être utile dans quelques applications.

fin donnant, pour abréger, le simple nom d^axes égaux aux différents axes par rapport auxquels le corps a un égal moment d'inertie, on demande si , dans un corps quelconque , il pourrait y avoir quelque point ou centre O autour duquel tous les axes possibles seraient des axes égaux, comme il arrive dans la sphère, les corps réguliers, etc., relativement aux axes qui partent de leur centre.

Soient donc O un tel point s'il est possible, g le centre de gravité du corps : faisons la ligne g O = D , et menons au point O le plan MN perpendiculaire à cette ligne. Il est clair que tous les axes menés du

[*] Ce théorème est dû à M. Binet qui l'a donné, en i8i i, dans un Mémoire présenté à la première classe de llnstitut.

64 THÉORIE NOtJVELLE

point O dans ce plan sont des axes ^aux , puisque cela même est vrai , par hypothèse, de tous les axes possibles émanés de ce point. Cela posé, tous les axes menés du centre de gravité g, dans un plan parailèle à MN, seront aussi des axes égaux entre eux, comme étant à la même distance D des premiers^ situés dans le plan MN.

Donc , en premier lieu , le point cherché O ne peut exister à moins que le corps n'ait deux de ses axes principaux, relatifs à son centre de gravité g, égaux entre eux; et si ce point O existe, il est situé sur ia perpendiculaire gO au plan de ces deux axes égaux, et, par conséquent, sur la direction du troisième axe principal du corps. Pour le déterminer, soit A la commune valeur du moment d'inertie autour des deux premiers , et C le moment d'inertie autour du troisième gO : on aura , pour le moment d'inertie H' autour des axes situés dans le

plan MN ,

H'= A-+-niD».

Mais H' devant être le même pour tous les axes qui partent du point O dans tous les sens, doit être le même pour Taxe Og : or autour de cet axe le moment d'inertie du corps est C; il faut donc qu'on ait

ir = C , et par conséquent, C = A -h mD* :

d'où l'on tire, pour la distance D du point O au centre g,

double valeur qui n'est réelle que dans le cas de C > A.

Ainsi il ne peut y avoir dans un corps de centre O autour duquel tous les axes d'inertie soient égaux, à moins que le corps n'ait deux de ses axes naturels égaux entre eux , et que le moment d'inertie relatif au troisième ne surpasse celui qui se rapporte aux deux autres. Mais si ces conditions ont lieu , comme , par exemple , dans un sphéroïde homogène aplati vers les pôles, ce point singulier O existe réellement, et il y en a même deux de cette nature : ils sont situés sur l'axe naturel du plus grand moment d'inertie, l'un à gauche, l'autre à droite

du centre de gravité, et à la même distance D= \/-— — de ce centre.