SOLUTION DU PBOBLÈME DE LA ROTATION DES CORPS LIBRES

Définitions analytiques.

t. Soient O le point qui fait ]e centre de la rotation du corps; Oxy Oj'j Oz les directions rectangulaires des trois axes principaux; et A, B , C les trois moments d'inertie de ce corps autour des mêmes axes.

On vient de voir que, si l'on considère un autre axe quelconque OI, on aura , en désignant par I la valeur du moment dMnertie qui s'y rapporte, l'expression

I = A cos* X -K B cos* /x 4- C cos* v ,

où X, |x, V sont les inclinaisons respectives de l'axe OI aux trois axes principaux Ox, O/, Oz.

2. Ce qu on appelle le moment d'inertie d'un corps autour d'un axe quelconque, n'étant autre chose que la somme des produits de toutes les molécules dm de ce corps par les carrés de leurs distances r à cet axe, on peut toujours en représenter la valeur fr^dm par le simple produit m . K' ; en désignant par m la masse entière du corps , ou le nombre de toutes ses molécules supposées égales entre elles, et par K^, le carré moyen entre tods les carrés des distances de ces molécules à l'axe dont il s'agit.

Le moment d'inertie du corps étant ainsi représenté par mK^, c'està-dire comme le serait celui d'un point chargé de toute la masse et placé à une certaine distance K de l'axe que l'on considère, il serait très-naturel de nommer cette ligne K le bras de levier de l'inertie, ou simplement le bras de V inertie, autour de cet axe : et c'est ce que nous ferons désormais pour simplifier le discours, où l'on aura soin

de se rappeler que cette ligne, nommée le bras de l'inertie., n'est autre chose que le côté du carré moyen entre les carrés des distances de toutes les molécules égales du corps à l'axe que l'on considère.

Ainsi, au lieu des lettres A, B, C qu'on emploie d'ordinaire pour désigner les trois moments d'inertie autour des axes principaux, je prendrai les expressions

axes. Or, ce qui est très^remârquable, c'est que la même propriété s'étend k tous les diamètres, je veux dire que, dans cet ellipsoïde, un diamètre quelconque est réciproque au bras de l'inertie du corps au-

tour de ce diamètre; et vice versd. Ainsi, de même que le produit m —^

exprime le moment d'inertie du corps autour de Taxe principal dont

la demi-longueur est a, le produit m ^ exprime le moment d'inertie

autour d'un diamètre quelconque dont la demi-longueur est d.

Soient, en effet, oc\ jr\ z' les trois coordonnées de l'un des bouts

de ce diamètre; les fractions y» y, - seront les cosinus de ses inclinaisons aux trois axes principaux . Or, en désignant par m d^ le moment d'inertie du corps autour de ce diamètre, on a , par la formule

citée (n** 1),

à cause ^^ -^ -^ ^ -+- p- = '

m(y"=m— ou (f^—-,

ce qu il fallait démontrer.

4. L'ellipsoïde que je viens de définir jouit donc de cette propriété remarquable, qu'autour d'un quelconque de ses diamètres, le moment d'inertie du corps est réciproque au carré de ce diamètre : et c'est cet ellipsoïde, dont la considération va jeter le plus grand jour sur la théorie de la rotation des corps, que je nommerai désormais V ellipsoïde central.

Quelles que soient la figure et la constitution du corps dont on étudie le moirvement, on va donc ici en faire entièrement «'abstraction , pour ne plus voir que celle de cet ellipsoïde central qu'on vient de lui inscrire, et qui a ce triple avantage de mettre à la fois sous nos yeux le centre et les axes principaux du corps ; de nous donner tous les moments dHnertie qu'on pourrait avoir à considérer, en montrant chacun d'eux, autour d'un diamètre quelconque , comme exprimé par une même fonction simple de la longueur de ce diamètre; et enfin

de nous ofiirir, comme on le verra plus loin. l'expression la plus claire et la plus ff)cite du théorème relatif à la position que prend l'axe instantané par rapport au plan du couple d'impulsion qui lui donne naissance.

La grandeur absolue de cet ellipsoïde n'est pas déterminée : car si les bras de l'inertie a, |3, 7 sont toujours donnés de longueur pour

mêmes axes. Or, chacun de ces couples étant perpendiculaire sur un axe pnncipaly on a démontré que ce couple, s'il agissait seul, ferait tourner le corps sur cet axe lui-raéuie, et avec une vitesse anguliaire mesurée par la grandeur de ce couple divisée par le moment d'inertie du corps autour de cet axe principal . Les trois couples L , M , N ten dent donc à faire tourner autour des trois axes principaux Oo:, Oj^ Oz avec des vitesses angulaires respectives /? , q, r proportionnelles aux grandeurs L , M , N de ces couples et réciproques aux trois mo-

ments principaux d'inertie m— j m ^9 m — ; de sorte qu'on a

''"'inR*' '^iwR*' '^""toR**

Or ces trois rotations p, 9, r se composent en une seule 6 représentée, pour son axe et pour sa grandeur, par la diagonale du rhomboïde rectangle construit sur les trois ligues qui représenteraient à la fois les axes et les grandeurs de ces trois rotations /> , 9 , r.

6. Donc, au premier instant, le couple d'impulsion G tend à faire tourner le corps avec une vitesse angulaire d exprimée par

et autour d'un axe dont les inclinaisons respectives aux trois axes principaux du corps ont pour cosinus

Ainsi, en mettant dans ces expressions, au lieu de/?, 9, r leurs valeurs tirées des trois équations précédentes, on aura par les données L, M, N , l'axe et la grandeur de la rotation d à laquelle le couple G donne naissance au premier instant, comme on l'a vu ( 1"^ partie, n^ 47).

7. Réciproquement, si Ton considère un corps qui tourne actuellement autour d'un axe avec une vitesse donnée Q, et qu'on cherche l'axe et la grandeur du couple inconnu G qui , appliqué au cprps en repos, serait capable d'y produire la rotation actuelle qui l'anime, on décomposera cette rotation Q en trois autres pj q, r autour des trois

axes principaux du corps; et les mêmes équations précédentes, mais où Ton regarde maintenant p^q^r comme données , feront connaître les valeurs L, M, N des trois couples qui tendraient à produire ces trois rotations respectives: d'où il viendra, pour la grandeur du couple G qui produit la rotation donnée 9,

et, pour les trois cosinus de l'inclinaison de son axe aux trois axes du

corps ,

8. Les rotations p, ç, r autour des trois axes principaux du corps, étant en raison directe des couples L, M, N qui les produisent, et en raison inverse des moments d'inertie du corps autour des mêmes axes, et ces moments d'inertie étant en général inégaux, on voit que p^ (j, r ne sont pas proportionnelles à L, M, N, et que le rhomboïde rectangle où se composent les rotations n'est pas semblable au rhomboïde où se composent les couples : de sorte que les deux diagonales ont des directions différentes; et qu'ainsi l'axe instantané de la rotation n'est pas, en général, l'axe du couple qui la produit. Ces deux axes ne se confondent que dans le cas où l'axe du couple appliqué se trouve être un des axes principaux du corps. Dans tout autre cas, l'axe instantané est incliné à l'axe du couple, et il résulte des expressions précédentes qu'en désignant par i l'inclinaison mutuelle de ces deux axes , on a , par la formule connue ,

Mais voici, par la considération de notre ellipsoïde central, une expression bien plus claire de ce qui regarde la position relative du couple et de l'axe instantané dans l'intérieur du corps.

Expression nouvelle des théorèmes qui précèdent.

9. Considérons le point I où Taxe instantané va rencontrer la surface de Tellipsoide central , lequel point marque sur cette surface ce que nous nommerons désormais le pôle instantané de la rotation.

Si Ton désigne par x'^jr', %' les coordonnées de ce pôle I, on aura pour le plan qui touche en I Tellipsoïde, ou plutôt, pour le plan diamétral parallèle k ce plan tangent, Téquation

Or, la direction de l'axe instantané 01 n'étant autre chose que celle de la diagonale du rhomboïde rectangle construit sur les trois lignas qui représentent /?, 9, r, il est évident que les coordonnées jc', y^ z' du point I sont proportionnelles à p^ q^ r. Mais celles-ci, comme on l'a vu pkis haut (n** 5) , sont proportionnelles à L«', M 6*, Ne* : donc on peut mettre, à la place de x'^jr'y z% ces trois dernières quantités ; et il vient , pour l'équation de ce plan parallèle au plan tangent ,

Lx -h M^ -h Nz = o.

Or il est évident que cette équation n'est autre chose que celle d'un plan perpendiculaire à la ligne G dont les trois projections sur les axes sont L, M, N; et, par conséquent, c'est l'équation même du plan du couple.

Donc t'axe instantané de la rotation due à un couple n'est autre chose que le diamètre conjugué au plan de ce couple dans Vellipsoïde central du corps que Von considère.

Remarque.

10. Nous sommes arrivés à ce théorème par la considération de cet ellipsoïde central que j'ai d'abord défini et bien fait connaître : mais cette marche synthétique ^ quoique assez favorable à l'exposition , pourrait sembler indirecte, en ce qu'on ne voit pas bien ce qui a pu nous donner l'idée de cet ellipsoïde. Je veux donc, en passant, faire remarquer qu'on peut aussi trouver le théorème d'une manière directe , ce qui mène alors à la considération de notre ellipsoïde central; et je dirai même que c'est par cette voie que j'en ai eu la première idée.

En effet , si l'on considère le couple G dont les trois C/Omposants autour des axes sont désignés , comme ci-diessns, par L , M, N , il est

;v TBÉOEIE JiOir^TLU.

»-*-^*xit qu* r'qaaK« an pUo de ce cwijiV «s* Lx — M^ — 5ï = o:

»^ '|"JT- f»*r t/>ri*H^i^Til, ti Ton lott »a itra de L. M. 5 ieun Taittir» A/», A^, Cr. ceo^ -éq'jtioo den«ztt

A/>x — R'jj — Crî = o.

DE LA ROTATION DES œRPS. 73

parait un des théorèmes les plus simples et les plus élégants qu'on puisse offrir en dynamique sur la théorie si difficile et si obscure de la rotation des corps.

On voit toutes les conséquences claires et faciles qui découlent de cette lumineuse proposition : mais je ne veux point ici m'y arrêter; il faut que j'avance, et que, par le seul raisonnement, j'arrive de suite k la solution complète du problème qu'on se propose : car il ne s'agit pas seulement de déterminer la rotation du corps au premier instant, mais il faut voir comment cette rotation change d'un instant à l'autre , et peindre, pour ainsi dire, le mouvement du corps dans toute la suite de son cours.

De la rotation du corps dans toute la suite du temps.

12. Et d'abord il est bien clair que cet axe OI, qu'on appelle instantané^ n'est, en effet, immobile qu^un instant: car delà rotation même Q autour de cet axe, il naît, pour toutes les molécules égales du corps, des forces centrifuges toutes proportionnelles aux rayons des cercles décrits, et dirigées suivant ces rayons. Or l'axe OI n'étant point, par hypothèse , un des axes principaux du corps, ces forces centrifuges ne se font point équilibre entre elles : étant transportées parallèlement à elles-mêmes au centre O, elles donnent bien une résultante qui est nulle d'elle-même si ce point est le centre de gravité du corps, ou qui est détruite si ce centre O est un point fixe ; mais leur couple résultant g n'est pas nul. Il provient donc de la rotation même du corps un couple accélérateur g dont leffort gdt pour un instant dt^ imprime à ce corps une rotation infiniment petite ydtj laquelle se compose avec la rotation actuelle 6 , et fait varier l'axe et la grandeur de cette rotation.

13. Pour étudier le mouvement du corps, il £iut donc commencer par chercher ce couple accélérateur qui nait des forces centrifuges dues à la rotation Q autour de l'axe instantané 01. Or on a démontré que Taxe de ce couple g est perpendiculaire à la fois à l'axe instantané et à l'axe du couple 6 qui produit la rotation actuelle 6; et que la grandeur de ce couple g est exprimée par G 6 sin i, / étant l'incli-

naison mutuelle des deux axes 6 et ; théorème qu'on peut énoncer de la manière suivante :

Si Von prend deux lignes dont l'une représente Vaxe et la grandeur du couple d impulsion^ et Vautra Vaxe et la grandeur de la rotation instantanée^ le couple accélérateur dû aux forces centrifuges est toujours représenté, et pour son plan, et pour sa quantité, par la sur/ace du parallélogramme construit sur les deux lignes que Von considère.

14. De ce simple théorème on pourrait conclure le principe de la conservation du couple d'impulsion 6 dans toute la suite du mouvement du corps; et réciproquement , de ce principe on pourrait tirer la' démonstration du théorème, comme on Ta vu (i"* partie, chap. II, art. V).

Nous pourrions encore montrer en passant que ce théorème sur les forces centrifuges, si Ton veut le traduire en analyse, donne surle-champ les trois équations si élégantes qu'Euler a trouvées le premier pour la rotation des corps, mais qu'on ne démontre d'ordinaire que par de longs circuits de calculs et de trigonométrie. Mais nous reviendrons plus tard sur ces expressions analytiques : il faut ici reprendre et suivre le fil de notre raisonnement.

15. On vient de voir que le couple g, qui naît des forces centrifuges, est toujours situé dans le plan GOI de l'axe du couple d'impulsion G et de Taxe instantané de la rotation B. Donc, par le théorème démontré plus haut (n^,9), l'axe sur lequel ce couple g tend à faire tourner le corps n'est antre chose que le diamètre O7 conjugué au plan GOI dans Vellipsoïde central. Mais le diamètre conjugué à ce plan doit Tétre à toutes les droites menées par son pied O dans ce plan , et , par conséquent , il est conjugué à l'axe 01 : et de cela seul il résulte que ce diamètre O7 est situé dans le plan même du couple d'impulsion G ; car, ce plan étant conjugué à Taxe instantané 01 (n® 10) , il est le lieu de toutes les droites qui peuvent être conjuguées àOL

Donc Vaxe O y de la rotation 7 ebie au couple accélérateur g qui pros^ient des forces centrifuges, est toujours situé dans le plan même du couple d'impulsion G dont le corps est actuellement animé.

16. Donc, si Ton prend deux lignes, Tune 6 qui représente la rotation actuelle 9 l'autre Oy' ^=:^ y dt qui représente la rotation que le couple g fait naître en un instant dt^ et que sur ces deux lignes on achève le parallélogramme, afin d'avoir dans la diagonale 6' la ligne qui représente Taxe et la grandeur de la rotation au bout d'un instant dt , on voit que l'extrémité de cette diagonale 6 ^ est , au-dessus du plan du couple G, à la même hauteur que l'extrémité du côté $ ; puisque le côté 07% étant dans le plan même de ce couple, le côté opposé du parallélogramme est parallèle k ce plan. Mais la hauteur de l'extrémité de là ligne d, au-dessus du plan du couple, est évidemment exprimée par cos / : donc on a cette équation remarquable

9 cos I = constante j

c'est-à*dire que la vitesse angulaire 6 estimée autour de Vaxejixe du couple d'impulsion reste la même dans tout le cours du mouvement.

17. De cette même équation résulte encore ce qu'on appelle le

principe des forces vives. Car si dcosi est constante, comme. G est

aussi constant , on a

G 6 cos i = constante.

Or le facteur G cos 1 , qui n'est autre chose que le couple G estimé autour de 01, est évidemment égal à 9.1, en désignant par I le moment d'inertie du corps autour de l'axe instantané OI. On a donc

G 9 cos I = ô*. I = constante.

Mais I désignant, par hypothèse, la somme des produits de toutes les molécules du corps par les carrés de leurs distances à Taxe de rotation, il est clair que 9*.I exprime la somme des produits de ces molécules par les carrés de leurs vitesses ; et comme chacun de ces produits se nomme \à force vive de la molécule que Ton considère, on peut dire que la somme des forces vives de toutes les molécules du corps demeure constante dans tout le cours de la rotation : ce qui est ici , non pas un nouveau principe, mais un simple corollaire du principe de la Conservation des couples ^ ou des aires, quand ce principe est complètement exprimé ; c'est-à-dire, quand on exprime que G est invariable, non-seulement de grandeur^ mais aussi de position dans l'espace

absolu.

Je fais en passant cette remarque parce qu'elle intéresse la doctrine» et que, dans la théorie du mouvement d'un corps ou système invariable défigure, ce serait une faute de dire , comme on le fait quelquefois, que telle ou telle vérité dynamique se démontre par la combinaison du principe des aires avec le principe des forces vives: car, ce second principe étant ici essentiellement renfermé dans le premier, cette locution serait une preuve qu'on n'entend bien ni l'un ni l'autre.

du couple reste toujours parallèle à lui-même : donc ce plan, qui touche sans cesse l *elUpsoïde central au pôle instantané de rotation, est toujours un seul et même plan^fixe dans l'espace absolu.

Donc 9 le mouvement du corps, ou, ce qui est la même chose, le mouvement de l'ellipsoïde central est de telle nature, que cet ellipsoïde reste en contact avec un même plan fixe dans l'espace absolu ; qu'il tourne à chaque instant sur le rayon vecteur qui va du centre au point de contact , et qu'il tourne avec une vitesse angulaire proportionnelle à là longueur même de ce rayon.

21. Cet ellipsoïde ne fait donc que rouler, sans glisser, sur le plan fixe que l'on considère : car^ comme tout son mouvement consiste à tourner pendant un instant sur la ligne menée du centre au point de contact, l'ellipsoïde amène au bout de cet instant un nouveau point de sa surface en contact avec ce plan; et ce nouveau point, qui devient le pôle de la rotation pour l'instant suivant , reste à son tour immobile pendant cet instant, et ainsi de suite à l'infini; d'où il est manifeste qu'aucun de ces points par lesquels l'ellipsoïde vient se mettre en contact avec le plan fixe, ne peut jamais glisser sur ce même plan.

22. Telle est donc enfin l'idée claire et nouvelle qu'on peut se former du mouvement si compliqué et si obscur d'un corps de figure quelconque qui tourne librement , soit autour de son centre de gravité, soit autour d'un point fixe quelconque, en vertu d'un couple dont il a reçu primitivement l'impulsion dans tel plan donné qu'on voudra :

Considérez le centre de gras^ité du corps, ou, si le corps nesi pas libre, le point fixe qui fait le centre de sa rotation, jéutour de ce point, et sur les directions des trois axes principaux d'inertie qui s'y rap^ portent, imaginez un ellipsoïde construit awc trois axes de longueurs réciproques aux bras de l'inertie du corps autour des mêmes axes; et faites maintenant abstraction de la figure du corps pour n'y plus voir que celle de cet ellipsoïde que J'ai nommé /'ellipsoïde central.

Si vous supposez que cet ellipsoïde, dont le centre est retenu immobile au même point de Vespace, roule sans glisser sur un plan fixe awc

kifuel on l'a mis en eantaci, vous autiez la représeniaiion exacte du mouifemeni géoméirhpie que suU le corps en venu du couple qui l'a frappé dans le plan fixe que l'on considère : et si vous ajoutez que la vitesse angulaire ai^ec laquelle il tourne à chaque instant sur le rajron mené du centre au point de contact, est proportionnelle à la longueur même de ce rajron, vous aurez à la fois le mous^ement géométrique et dynamique de ce corps; c'est-à-dire que vous verrez av^ec clarté^ nonseulement la suite continue des lieux que le corps doit venir occuper ^ nuiis encore la propoition des temps qu'il met à les parcourir; ce qui est l'idée complète du mouvement du corps considéré dans le cours infini de sa rotation.

Réflexion générale.

25. Nous voilà donc conduits par le seul raisonnement à une idée claire que les géomètres n'ont pu tirer des formules de lanalyse. C'est un nouvel exemple qui montre l'avantage de cette méthode simple et naturelle de considérer les choses en elles-mêmes, et sans les perdre de vue dans le cours du raisonnement. Car, si l'on se contente, comme on le fait d'ordinaire, de traduire les problèmes en équations, et qu'on n'eu rapporte ensuite aux transformations du calcul pour mettre au jour la solution qu'on a en vue, on trouvera lé plus souvent que cette solution est encore plus cachée dans ces symboles analytiques, qu'elle ne Tétait dans la nature même de la question proposée. Ce n'est donc point dans le calcul que réside cet art qui nous fait découvrir; mais dans cette considération attentive des choses, où l'esprit cherche avant tout à s'en faire une idée, en essayant, par l'analyse proprement dite, de les décomposer en d'autres plus simples, afin de les revoir ensuite comme si elles étaient formées par la réunion (le ces choses simples dont il a une pleine connaissance. Ce n'est pas que les choses soient composées de cette manière, mais c'est notre seule manière de les voir, de nous en faire une idée, et partant de les connaître. Ainsi notre vraie méthode n'est que cet heureux mélange de l'analyse et de la synthèse, où le calcul n'est employé que comme un instrument. Instrument précieux et nécessaire sans doute, parce qu'il assure et facilite notre marche; mais qui n'a par lui-même

aucune vertu propre; qui. ne dirige point Tesprit, mais que TespHt doit diriger comme tout autre instrument.

Ce qui a pu faire illusion à quelques esprits sur cette espèce de force qu^ils supposent aux formules de l'analyse, c'est qu'on en retire y avec assez de facilité, des vérités déjà connues «t qu'on y a , pour ainsi dire, soi-même introduites, et il semble alors que l'analyse nous donne ce qu'elle ne fait que nous rendre dans un autre langage. Quand un théorème est connu , on n'a qu'à l'exprimer par. des équa^ tions; si le théorème est vrai , chacune d'elles ne peut manquer d'être exacte, aussi bien que les transformées qu'on en peut déduire : et si l'on arrive ainsi à quelque formule évidente, ou bien établie d'ailleurs, oh n'a qu'à prendne cette expression comme. un point de départ, à revenir sur ses pas , et le calcul seul parait avoir conduit comme de lui-même au théorème dont il s'agit. Mais c'est en cela que le lecteur est trompé. Ainsi , pour prendre notre exemple dans la question même qui fait l'objet de ce Mémoire ^ il est bien clair qu'aujourd'hui rien ne serait pliis aisé que de retrouver nos théorèmes dans les expressions analytiques d'Euler ou de Lagrange, et même de les en dégager avec un air de facilité qui ferait croire que ces formules devaient les produire spontanément. Cependant, comme ces idées ont échappé jusqu'ici à tant de géomètres qui ont transformé ces formules de tant de manières, il faut convenir que cette analyse ne les donnait point, puisque, pour les y voir, il aura fallu attendre qu'un autre y parvint par une voie toute différente.

Nous aurions bien d-'autres réflexions à faire, et de plus grands exemples à produire, si nous voulions montrer, d'une part, tout ce que l'esprit doit de lumière à cette méthode naturelle, telle que je l'ai définie plus haut et qui constitue notre véritable analyse, et de l'autre, le peu de vérités nouvelles qu'on a su tirer de ces formules analytiques où l'on croit enfermer une question, et quelquefois même une science tout entière. Sans doute, la science y est contenue, comme elle le serait dans tout autre principe énoncé en termes généraux ; mais la difficulté reste de l'en faire sortir : et cette difEculté n'en devient-elle pas plus grande? Et, par exemple, ne faut-il pas bien connaître à la fois et la mécanique et les artifices de l'analyse , pour tirer de la seule formule générale des vitesses virtuelles^ je ne dis pas

8o THÉORIE NOUVELLE

quelque nouveau théorème (ce dont je ne vois guère d'exemples ) , mais seulement les propositions particulières qui nous sont déjà le mieux connues? La traduction n'est-elle pas souvent plus difficile que le texte lui-même, je veux dire que la considération immédiate des choses que Ton veut étudier? L'illustre auteur qui a voulu transformer la mécanique en une question de calcul, a sans doute rempli son objet avec toute la clarté et toute l'élégance qu'on en pouvait attendre. Mais si la véritable analyse brille quelque part dans la Jfecanique analjrtiqjie , j'oserai dire que c'est bien moins dans ces calculs que lauteur range avec tant d'ordre et de symétrie, que dans ces lumineux rapprochements qu'il indique entre les méthodes, et surtout dans ces admirables préfaces qu'il a placées à la tête des différents livres de son ouvrage, où il examine et discute les principes fondamentaux de la science, et fait l'histoire instructive du mouvement de Tesprit humain dans cette suite délicate d'idées fines et de solutions ingénieuses qui ont peu à peu formé la science de la Mécanique. C'est par là que ce bel ouvrage pourra servir aux progrès ultérieurs de l'esprit, en lui montrant la route qu'il a suivie, et qui est encore la route où il doit continuer de marcher. Car, encore \me fois, gardonsnous de croire qu'une science soit faite quand on l'a réduite à des formules analytiques. Bien ne nous dispense d'étudier les choses en elles-mêmes , et de nous bien rendre compte des idées qui font l'objet de nos spéculations. N'oublions point que les résultats de nos calculs ont presque toujours besoin d'être vérifiés, d'un autre côté, par quelque raisonnement simple, ou par l'expérience. Que si le calcul seul peut quelquefois nous ofirir une vérité nouvelle, il ne faut pas croire que, sur ce point même, l'esprit n'ait plus rien à faire : mais, au contraire, il faut songer que, cette vérité étant indépendante des méthodes ou des artifices qui ont pu nous y conduire, il existe certainement quelque démonstration simple qui pourrait la porter à l'évidence; ce qui doit être le grand objet et le dernier résultat de la science mathématique.

Qu'on me pardonne ces réflexions que je fais , j'ose le dire , dans l'unique intérêt de la science. Je connais le caractère propre et distinctif de l'analyse algébrique, et je pourrais même dire avec précision en quoi cet art a pu perfectionner la logique ordinaire du dis-

DE LA ROTATION DES CORPS. 8i

cours : je sais tout ce que tes bons esprits doivent au calcul; mais je tâche d'éclairer ceux qui se trompent sur la nature de cet instrument , et en même temps, de prévenir l'abus que d'autres en peuvent faire en profitant de cette illusion même. Car, sitôt qu'un auteur ingénieux a su parvenir à quelque vérité nouvelle, n'est-il pas à craindre que le calculateur le plus stérile ne s'empresse d'aller vite la rechercher dans ses formules, de la découvrir une seconde fois, et à sa manière, qu'il dit être la bonne et la véritable; de telle sorte qu'on ne s'en croie plus redevable qu'à son analyse, et que l'auteur lui-même, quelquefois peu exercé, ou même étranger k ce langage et à ces symboles sous lesquels on lui dérobe ses idées, ose à peine réclamer ce qui lui appartient , et se retire presque confus , comme s'il avait mal inventé ce qu'il a si bien découvert? Singulier artifice, que je n'ai pas besoin de caractériser davantage, mais quHl est bon de signaler comme un des plus nuisibles aux progrès des sciences, parce qu'il est sans contredit un des plus propres à décourager les inventeurs !

Mais je n^étendrai pas plus loin ces réflexions générales; et si le peu que j'ai dit est assez sensible par les exemples qui précèdent , on le verra se confirmer encore par ceux qui pourront suivre.