CHAPITRE n

DlévELOPPEMBNT DE LA SOLUTION.

Dans cette image si claire que nous avons donnée de la rotation des corps, on voit sur-le-champ toutes les circonstances et toutes les variétés que ce mouvement peut offrir, et l'on est conduit , comme par la main, aux opérations et aux calculs qu'il faut faire, si l'on veut en mesurer toutes les différentes affections.

24. Et d'abord , cette suite de points par lesquels Fellipsoïde central du corps vient se mettre en contact avec le plan fixe du couple, d'impulsion , étant considérée sur la surface de l'ellipsoïde, y marque la route du pôle instantané dans l'intérieur du corps; et ces mêmes points étant considérés sur le plan fixe, y marquent sa route dans l'espace absolu. On peut donc déterminer sur«-le-chaBip ces deux P. II

8a THÉORIE NOUVELLE

lignes courbes; et, par conséquent, les considérer amuae les bases de deux surikces coniques de même sommet , dont Tune, mc^ile avec le corps, roulant sur l'autre qui est 6xe dans l'espace absolu, donnerait à œ corps le mouvement précis qui l'anime.

De la courbe décrite par le pôle instaniane sur la surface de

V ellipsoïde central.

25. Pour trouver cette courbe , qui est à double courbure , et que je désignerai par j, il n'y a donc qu'à chercher la suite des points par lesquels un dlipsoide, aux rayons principaux Uf bj c^ serait touché par un plan qui resterait toujours à une même distance donnée h du centre de cet ellipsoïde : ou, ce qui est la même diose, la suite des points de contact d'un plan qui se mouvrait en toudiant à la fois cet ellipsoïde , et une sphère concentrique au rayon donné k. Or il est dair que cette courbe s est un orbe fermé , à double oonribure , espèce de roue elliplique, dont l'axe ou l'essieu est , ou le rajron majeur a de l'ellipsoïde central » ou le rayon mineur Cj sdcm que le rayon A de la sphère est donné plus grand ou plus petit que le rayon moyen h de cet ellipsoïde.

26. Cest, au reste, ce qu'on peut voir par le calcul le plus simple, car l'équation de la surface de l'ellipsoide étant

la distance du centre au plan tangent est exprimée par

Xjy, z désignant les coordonnées du point de contact. En égalant donc cette expression à la distance donnée A , on a cette seconde équation

d'où , en éliminant tenir à tour, au moyen de la première, chacune

des trois coordonnées x^y^ z, on tire les éqnations suivantes :

tft— fti j . ^-^*' a A»— *•

qui donnent les projections de la courbe sur les trois plans principaux.

Or, a^hyC étant toujours supposés rangés dans cet ordre de grandeur

et h étant une ligne toujours intermédiaire entre les deux rayons extrêmes a et c , il est visible que si A est > 6 , la courbe s donne une ellipse sur le plan principal perpendiculaire au rayon majeur a ; et que , si h est < b, elle donne une ellipse sur le plan perpendiculaire au rayon mineur c,

27. En général , on voit que cet orbe à double courbure se projette en une ellipse entière sur Tun des deux plans perpendiculaires aux axes extrêmes a et c de l'ellipsoïde central , en un arc d'ellipse sur l'autre plan ; et toujours en un arc d'hjrperbole sur le plan perpendiculaire à l'axe moyen h.

28. Dans le cas singulier de A 2= ^, la courbe devient plane; c'est une ellipse dont le demi-petit axe est le rayon moyen h de rellipsoïde,

et le demi-grand axe une ligne j3 dont la valeur est t /a' 4- c' — ^^•

29. Et enfin, dans les deux cas particuliers de A = a et de A = c, la courbe se réduit à un point qui est ou le pôle A ou le pôle C de l'ellipsoïde central.

30. On pourrait remarquer que la courbe s est en quelque sorte double; car, tandis que le pôle instantané I décrit cette courbe j, il est évident que le pôle opposé I' en décrit une autre s' parfaitement

^gale dans Tautre partie de Tellipsoîde; mais il suffît d'en coasidérer une seule.

31* On voit que cette courbe à double courbure a, comme une ellipse y quatre sommets principaux où elle est divisée en quatre parties ^^ales et symétriques , et il est évident que ces sommets sont les quatre points où la courbe traverse les deux plans principaux conduits par Taxe qui lui sert comme d'essieu : c'est en ces points que le rayon vecteur OI atteint ses valeurs maxima on mimma, comme il est Êicile de le voir en cherchant le maximum de l'expression

où les variables x.^ jr, z sont liées par les équations précédentes i)

et (2;.

De la courbe décrite par le pôle instantané dans l'espace absolu.

32. La courbe s que le pôle instantané 1 de la rotation trace à la surface de rellipsoïde central , étant ainsi déterminée , il est £aicile de trouver la courbe a que le pôle instantané décrit sur le plan fixe. Car, en considérant l'orbe fermé s comme la base d'une surface conique dont le sommet est au centre G de l'ellipsoïde , il est clair que , pendant le mouvement du corps , ce cône tourne sans cesse autour de sa génératrice OI en appuyant le contour de sa base sur le plan fixe, et qu'ainsi ce contour / y trace en roulant la courbe plane a que le pôle instantané décrit dans l'espace absolu. Les arcs infiniment petits da de cette courbe plane sont donc parfaitement égaux aux arcs successifs ds de cette roue mobile s qui les produit : de sorte que si l'on a l'équation de celle-ci entre la longueur s de son arc et son rayon vecteur u^ il suffit d'y changer 5 en a pour avoir l'équation de la courbe a entre son arc a et le même rayon u émané du centre O de Tellipsoide.

33. Mais comme cette courbe a est plane , si l'on aime mieux la rapporter à des rayons vecteurs s^ émanés d'un point pris dans le plan même de la courbe, on peut choisir, pour ce nouveau centre, le pied P de la perpendiculaire abaissée du centre O de l'ellipsoïde sur

le plan fixe que l'on considère ;. et alors il suffit de changer u en ^h* + f^ dans Téquation dont il s'agit.

34. Le rayon vecteur v de la courbe plane a n^étant autre chose que la projection continuelle du rayon u de la roue s dont les éléments ds viennent s'appliquer l'un après l'autre sur le plan pour former les éléments égaux da de la courbe plane a , il est clair que le rayon 9 va, comme le rayon ci, d'un maximum à un minimum ^ de ce minimum à un maximum suivant , parfaitement égal au premier ; et ainsi de suite à l'infini : et cela par des intervalles ou longueurs d'arcs 7 parfaitement égaux entre eux, et au quart de la génératrice s.

On voit donc que la courbe a décrite par le pôle instantané dans l'espace absolu^ est une courbe plane régulièrement ondulée autour d'un même centre; c'est-à-dire une courbe formée par une suite d'ondes égales et régulières, dont les sommets sont équidistants , et qui serpente à r infini entre deux cercles concentriques dont elle va toucher alternatisfement l'une et l'autre circonférence'

35.. Si l'angle au centre , qui répond à deux sommets consécutifs supérieurs ou inférieurs, de la courbe ondulée a 9 est commensurable avec quatre angles droits, et qu'on désigne par n le plus petit nombre entier de cercles que cet angle ou ce secteur mesure , la courbe a se fermera; et le pôle qui la décrit reprendra exactement sa première route après avoir fait n fois le tour entier de l'espace angulaire.

Mais, comme l'intervalle de deux sommets consécutifs de même nom ne répond qu'à une moitié de Torbe mobile s, il est clair qu'il faut doubler ce nombre de révolutions si l'on veut que le pôle instantané se retrouve, non-seulement au même lieu dans l'espace absolu, mais encore au même lieu sur la surface de l'ellipsoïde central.

36. Si l'angle dont il s'agit n'est pas commensurable avec quatre angles droits, la courbe ondulée a ira à l'infini sans pouvoir jamais se fermer; et le pôle instantané, qui reviendra toujours périodiquement au même lieu dans le corps, ne pourra jamais retomber en même temps au même lieu dans l'espace.

37. Telles sont, en général, les deux courbes décrites par le pôle instantané, l'une dans l'intérieur du corps, et l'autre dans l'espace

absolu. Et quoique ces courbes soient de formes si diffièrentes, comme c'est un seul et même point qui décrit à la fois l'une et l'autre, leurs équations prises entre le rayon vecteur émané du centre O, et la longueur de Tare décrit, sont exactement une seule et même équation.

Le cône roulant ^ à la surface duquel la première courbe s sert de base , est simplement un cône droit du secomi degrés mais le cône fixe sur lequel il roule est un cône transcendant dont la surface ondule à l'infini autour de l'axe fixe du couple; c'est aussi une espèce de cône droit et circulaire, mais dont la surface serait, pour ainsi dire, can-nelée suivant le contour régulièrement ondulé de la courbe a qui lui sert de base.

Des variétés que les deux courbes s et a peui^ent offrir dans certains

cas particuliers.

38. Ces deux courbes ne dépendent , comme on voit, que de quatre données, savoir : les trois demi-axes ou rajrons principaux a, 6, c de l'ellipsoïde central, lesquels sont toujours donnés par la nature du coqis; et ensuite la hauteur h du centre au-dessus du pian tangent du couple, laquelle est donnée par la direction du couple d'impulsion.

Les variétés que ces deux courbes peuvent offrir, pour un même corps, ne dépendent donc que des valeurs particulières qu'on peut donner à la ligne constante h.

Or cette ligne étant la distance du centre de l'ellipsoïde à l'un de ses plans tangents^ est nécessairement intermédiaire entre le plus grand et le plus petit rayon de cet ellipsoïde ; de sorte que les trois rayons principaux a^ b, c étant, comme on l'a dit, rangés dans cet ordre de grandeur

a> b>Cj

on ne peut avoir à distinguer que deux cas généraux, savoir, h compris entre a et b, et h entre b et c; ensuite deux cas particuliers, savoir, A = a, A = c; et enfin, un cas que je nommerai singulier et qui est celui de h =^ au rajon moyen b.

Dans les denx cas généraux, les courbes*^ et q sont celles qu'on vient de décrire;

Dans les deux cas particuliers de h = a, h = c^ chacune d'elles se réduit à un point qui est , ou le pôle A , ou le pôle C de Tellipsoïde ; et le corps tourne uniformément autour de l'un ou de l'autre des deux axes principaux aa ou ac, lequel axe demeure immobile dans l'espace absolu , aussi bien que celui du couple G avec lequel il se confond dans toute la suite du mouvement.

39. Mais dans le cas singulier de h égal au rayon moyen h de l'ellipsoïde central, la courbe s ne se réduit pas à un point; car, sur la surface de Fellipsoîde, outre te pôle moyen B, où le plan tangent est à une distance A = 6 du centre O , il y a une in6nité d'autres points où le plan tangent peut se trouver à cette même distance b du centre de cet ellipsoïde, et la suite de ces points forme deux ellipses égales, dont les plans se croisent suivant Vaxe moyen a 6, et sont inclinés au

plan principal {ab) d'un angle dont la tangente est ±.^i/p-— ^;

de sorte que ces deux ellipses, qui ont , pour leur commun petit axe^ la ligne a b , ont pour leur grand axe une ligne

i3-ay/

ac^^c^^^

c'est ce qui se voit sur-le*cliam)> par les équations de l'orbe ^, en y supposant h=z b.

40. Dans ce cas singulier de A ^ &, la courbe a est donc produite par le mouvement de Tune s de ces deux ellipses, dont on retiendrait le centre immobile en O, à une hauteur b au-dessus du plan fixe, et dont on ferait rouler la circonférence sur ce plan, avec lequel on l'aurait mise en contact. Or il est aisé de voir que , dans ce cas , la cotrrbe o- décrite par le point de contact est une ligne spirale qui va en tournant autour du centre P, et s'en rapproche sans cesse, de plus près que tout ce qu'on voudra , comme d'un point asymptotique , sans pouvoir jamais l'atteindre. Cette spirale, considérée dans toute son étendue,. est une oourbe symétrique à gauche et à drcnte d'un certain point qui la divise en deux parties parfoitement égales. Car, en rêve-

liant sur ses pas , en faisant rouler l'ellipse en sens contraire , le rayon vecteur i> revient en augmentant jusqu'à une certaine valeur

qui est son maximum; après quoi il diminue par les mêmes degrés, de sorte que son extrémité I décrit de l'autre côté une spirale parfaitement égale à la première, et qui fait comme la moitié de la courbe entière et continue g dont il s'agit. Cette courbe a donc un sommet^ à gauche et à droite duquel elle jette deux branches égales qui vont en sens contraires tourner en spirales autour d'un seul et même centre P; et quoique chacune de ses branches fasse un nombre infini de révolutions autour de ce centre sans jamais l'atteindre, la longueur totale de la courbe est Jiriie et parfaitement égale à la demi-circonférence de l'ellipse roulante qui la produit.

Le pôle I, qui décrit celte spirale de longueur finie, ne peut jamais la parcourir dans toute son étendue : quelque près qu'on le suppose déjà du centre P, dont il s'approche, il lui faut encore un temps infini pour achever le petit arc qui reste à décrire, ou, pour parler exactement, il ne pourra jamais l'achever.

Dans ce ca^ singulier du mouvement des corps , le pôle instantané de la rotation est donc un point toujours nouveau, et dans le corps, et dans l'espace absolu; je veux dire que, dans le cours infini de la rotation , le pôle ne peut jamais revenir au même lieu, ni dans le corps ni dans l'-espace, quoiqu'il ne décrive qu'une ligne finie, et dont la longueur serait tout au plus égale à la demi-circonférence de l'ellipse, en supposant le temps infini, non-seulement avant, mais encore après l'époque que l'on considère.

Tel est donc le mouvement du pôle quand on suppose h = b^ c'està-dire quand le plan du couple appliqué touche l'ellipsoïde central en un point qui appartient à l'une ou à Tautre de ces deux ellipses singulières dont nous venons de parler.

41. Mais s'il arrivait que le plan touchât précisément au pôle moyen B où se croisent ces deux ellipses, le pôle I, qui se confon-* drait alors avec B et le centre fixe P, resterait parfaitement immobile, et le corps ne cesserait de tourner uniformément autour de Taxe

moyen OB, comme il ferait autour de Taxe majeur OA» ou de l'axe mineur OC j si le plan Au couple était tangent au pôle A , ou au pôle C de l'ellipsoïde. En effet, il n'y aurait aucune raison pour que le pôle I , qui ne peut décrire à la surface que Tune des deux ellipses dont on vient de parler, et qui tombe en ce moment à l'extrémité B de leur axe commun, décrivit l'une plutôt que l'autre de ces deux ellipses par£siitement égales et symétriques; d'où l'on voit qu'à la rigueur l'axe moyen de l'ellipsoïde central est, comme les deux autres, un axe permanent de rotation .

42. Mais il y a cette différence , c'est que, autour de cet axe moyen, la rotation n'a point de stabilité : je veux dire que, pour peu que le pôle I, en vertu d'un petit couple étranger appliqué au corps, vienne à s*écarter du pôle moyen B, il tendra à s'en écarter davantage; s'en allant alors décrire, à la surface, un orbe elliptiques, soit autour du grand axe, soit autour du petit axe, selon que ce déplacement accidentel du pôle aura fait augmenter ou diminuer la distance h du plan tangent: et si le déplacement est tel, que h n'ait pas varié de grandeur, le pôle ira décrire l'une ou l'autre de ces deux ellipses singulières que nous avons considérées.

43. U n'y a qu'un seul cas où le pôle I, étant écarté du pôle moyen B de l'ellipsoïde, tendrait à y revenir: c'est le cas où le pôle I serait porté sur la circonférence de l'une de ces deux ellipses du côté précis où le sens de la rotation tend à le ramener vers B.

S'il est porté sur la même ellipse, mais de l'autre côté de son sommet B, il s'éloignera indéfiniment de ce pôle moyen B , et il ira tomber après un temps infini sur le pôle opposé B' de l'ellipsoïde. Ainsi dans ce cas, qui est unique comme le précédent, l'ellipsoïde, qui, au commencement, touchait le plan fixe par son pôle moyen B, le toucherait à la fin par le pôle moyen opposé B'; de sorte que la position du corps se trouverait entièrement renversée dans lespace. C'est le plus grand dérangement que l'impulsion d'un petit couple étranger puisse amener dans la position d'un corps qui tourne actuellement sur son axe moyen. Car, si le pôle est déplacé de toute autre manière sur la surface de l'ellipsoïde, il va décrire, comme on l'a vu, un orbe fermé j, soit autour du grand axe, soit autour du petit axe; et, par conséquent, P. 12

90 THÉORIE NOUVELI^

s'il s'écarte d^abord du pôle moyen B, il s'en rapproche ensuite, et revient périodiquement passer à la même distance de B sur la surface, et à la même distance dn centre fixe P, dans l'espace absolu.

44. Il y a encore une autre variété de la courbe a que le pôle instantané peut décrire dans l'espace ; mais elle n'est plus relative à la position du couple appliqué sur le corps, ou à la valeur particulière qu on suppose à la ligne donnée h ; elle dépend uniquement de l'espèce de ce corps , c'est-à-dire de la proportion des axes a , & , c de l'ellipsoïde central.

45. Si le corps est un de ceux qui ont deux de leurs trois moments principaux d'inertie égaux, il est alors de révolution, ou ce qu'on appelle un sphéroïde: sphéroïde allongé ^ si l'axe de révolution est plus grand que le diamètre de l'équateur; ou aplati vers les pôles, si cet axe est plus petit. Dans l'un et l'autre cas, il est évident que la route s du pôle, à la surface du sphéroïde, est un cercle autour de l'axe de ce sphéroïde; et, par conséquent, la route o- du pôle sur le plan fixe est aussi un cercle autour de l'axe du couple qui a mis le corps en mouvement. C'est un des cas les plus simples de la rotation des corps, parce que tout y est circulaire et uniforme. Cependant il faut encore remarquer que, si la circonférence du cercle roulant s n'est pas commensurable avec celle du cercle fixe o-, le pôle instantané ne peut jamais revenir au même lieu dans le corps et dans l'espace tout à la fois.

46. Enfin, et cest ici le cas le plus simple de tous, si les trois moments d'inertie sont égaux, l'ellipsoïde central devient une sphère parfaite, l'axe instantané de rotation se confond avec Taxe même du couple appliqué, les deux courbes ^ et c se réduisent à deux points qui n'en font qu'un seul, et le pôle instantané I reste immobile, et dans le corps, et dans l'espace absolu.

De ce qui fait la mesure de la stabilité pour chacun des deuac axes

extrêmes de Vellif)soide central.

47. Nous avons déjà remarqué (n**42), ce qui distingue l'axe mojreu

des deux axes extrêmes, sous le point de vue de la stabilité que ces deux axes peuvent offrir dans la rotation des corps. Mais pour nous fisiire une idée nette de cette stabilité j et de ce qui en fait en quelque sorte la mesure, imaginpns la surface de Tellipsoide central comme coupée en quatre parties ou. iiiseaux elliptiques par les deux ellipses singulières que nous avons considérées, et dont les deux plans, conduits par Taxe moyen a 6, sont également inclinés à Taxe majeur a a (l'un au-Klessus, l'antre au-dessous) d'un angle o dont la tangente

est — K/ lt'Z. » (^** 59). Le pôle moyen B de l'ellipsoïde est donc à l'intersection de ces deux ellipses; le pôle majeur A est au centre du fuseau dont l'ouverture est a o , et le pôle mineur C au centre du fuseau supplémentaire.

Or, en premier lieu , si le pôle instantané I de la rotation tombe sur le pôle moyen B de l'ellipsoïde, il est clair que, pour peu qu'on le déplace, il va tomber dans l'un ou l'autre des deux fuseaux dont il s'agit, et décrire son orbe s autour de l'un ou de l'autre pôle principal de l'ellipsoïde. Ou bien , si on le déplaçait sur le contour même de l'une des deux ellipses, il irait décrire la moitié de cette ellipse pour retomber sur le pôle moyen opposé; ou, s'il était porté sur l'autre moitié de la même ellipse, il reviendrait aussitôt au pôle moyen même d'où on l'aurait écarté: d'où il résulte, comme on l'a dit ci-dessus , que, hors de ce cas unique de déplacement, l'axe moyen du corps n'a aucune stabilité. .

Mais si le pôle instantané tombe actuellement au pôle majeur A de l'ellipsoïde, il peut être déplacé comme on voudra, dans toute l'étendue du fuseau environnant , sans cesser de décrire son orbe s autour du même pôle majeur. Et si c'est en cela qu'on fait consister la stabilité de la rotation autour de l'axe majeur, on peut dire que la grandeur de ce fuseau en est en quelque sorte là mesure. Et l'on voit de même que l'étendue du fuseau supplémentaire est la mesure de la stabilité de la rotation autour de l'axe mineur.

48. Actuellement, si Ton suppose que l'un de ces deux axes, tel que a, diffère peu de Taxe moyen, le fuseau qui lui répond est trèspetit, et le fuseau supplémentaire est très-grand. L'axe peu différent

la..

ga THÉORIE NOUVELLE

de Taxe moyen a donc très-peu de stabilité, et l'autre axe en a beaucoup.

Il n'est donc point exact de dire, comme on le fait d'ordinaire, que si l'axe instantané est un peu écarté de l'axe principal qui répond , soit au plus petit, soit au plus grand moment d'inertie du corps, il s'en éloignera très-peu et ne fera que de petites oscillations pendant toute la durée du mouvement : car si le moment d'inertie relatif à cet axe diffère peu du moment moyen, le pôle instantané, par un petit dérangement , pourra sortir du petit fuseau où il est actuellement, pour tomber dans le fuseau voisin et y aller décrire son orbe s autour de l'autre axe; ou même, s'il n'est déplacé que dans l'intérieur du petit fuseau qui lui répond , il peut encore y décrire un orbe s étroit et fort allongé, et, par conséquent, faire de très-grandes oscillations départ et d'autre du pôle principal d où on l'a écarté.

Dans les corps où l'un des moments extrêmes d'inertie diffère peu du moment moyen, et, par conséquent, où l'ellipsoïde central du corps est presque de révolution autour de l'un de ses axes, la stabilité de la rotation n'est donc vraiment assurée que pour cet axe. C'est le cas de la terre , dont la rotation est très-stable autour de son axe actuel, et le serait très-peu autour du troisième axe qui, comme on le sait, diffère très-peu de Taxe moyen.

Si cette différence est tout à fait nulle, en sorte que l'ellipsoïde central du corps soit exactement de révolution , il n'y aura de stable que l'axe de ce sphéroïde; car il est clair qu'aucun des autres axes principaux (qui sont ici tous les diamètres de l'équateur) ne peut avoir de stabilité. Et en effet, si le pôle instantané tombe actuellement sur l'équateur, et que, par une cause quelconque, il en soit un peu écarté k gauche ou à droite, il ne restera plus immobile; mais il ira décrire sur la surface de l'ellipsoïde un cercle j, parallèle et presque égal à l'équateur : d'où l'on voit que le pôle instantané aura dans le corps un mouvement très-considérable. Mais, d\m autre côté, il est bon de remarquer qu'il n'en aura qu'un très-petit dans l'espace absolu; car le cercle fixe a, qu'il décrira dans l'espace, aura pour rayon la trèspetite distance IP de ce pôle I au pied P de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en I. Ainsi l'axe instantané OI, qui, dans le corps, décrira la surface d'un cône très-ouvert et presque plan, ne

décrira dans Tespace qu'un cène de base très*petite , et paraîtra ainsi comme immobile dans l'espace absolu.

Il n'y a qu'un seul cas d'exception à cette instabilité d'un axe principal situé dans le plan de l'équateur : c'est celui où le pôle instantané serait porté du point de l'équateur où il est actuellement, en un autre point du même équateur; car alors il y resterait immobile, comme il aurait &it dans sa première position si on ne l'en avait point écarté.

49. Enfin, si les trois axes principaux du corps sont égaux entre eux, et que l'ellipsoïde central devienne ainsi une sphère parfaite, tous les axes sont également stables , ou en quelque sorte indiffet'ents à tout déplacement accidentel qui pourrait survenir. Car, si l'axe instantané est porté du lieu où il est, dans un autre, il y reste, et redevient immobile et dans le corps et dans l'espace absolu.

Des noms qu'on pourrait donner aux deux courbes s et c décrites par

le pôle instantané de fvtation.

50« Si l'on considère un corps pesant, de telle figure qu'on voudra, qui ait été lancé d'une manière quelconque dans l'espace, et qu'on fasse abstraction du mouvement progressif qui 1 emporte, pour ne plus voir que la rotation de ce corps sur son centre de gravité, il est clair que cette rotation est exactement la même que si le corps était libre , ou dépourvu de toute pesanteur : car les forces parallèles de la gravité, qui agissent à chaque instant sur les molécules de ce corps, se réduisant toujours à une force unique qui passe par le centre, il n'en résulte aucun couple accélérateur qui puisse altérer la rotation du corpS autour de ce point. Il ne reste donc, pour faire varier l'axe instantané, que le seul couple g dû aux forces centrifuges qui naissent de la rotation même, comme dans le cas d'un corps entièrement libre de toute action étrangère.

On voit donc que les courbes ^ et a que le pôle instantané décrit , l'une sur Fellipsoïde central du corps , ou dans l'espace relatif j l'autre sur le plan fixe du couple , ou dans l'espace absolu j sont deux courbes

remarquables que la nature nous offre à chaque instant dans le mouvement des projectiles; et, par cette raison naturelle, il nous semble que chacune d'elles mériterait d'avoir un nom, aussi bien que la courbe décrite par le centre de gravité du corps, et qui est , comme on le sait, une parabole.

Je proposerais donc de donner à Tune et à l'autre le nom de polhodie [*] , en appelant la première s la polhodie relatwe^ et la seconde a la polhodie absolue. Ou , si l'on voulait distinguer ces deux courbes par leur forme particulière , on donnerait à l'orbe elliptique et fermé s le simple nom de polhodie; et, à la courbe plane et ondulée 0-, celui de herpolhodie[**]y afin de rappeler, avec l'idée du pôle qui la décrit, cette propriété qu'elle a de serpenter en circulant autour d'un centre fixe.

Équations différentielles de ces courbes.

51. L'équation de la polhodie est facile à trouver : car jc, j^j z étant les coordonnées du pôle qui décrit l'orbe ^ à la surface de l'ellipsoïde central, on a d'abord (n^ 28)

et, par hypothèse ,

jr*4- f^ 4- z' = a*,

en désignant par u le rayon vecteur émané du centre. Ou bien , si l'on tire de ces trois équations les valeurs séparées de

[*] Route du pôle, de ^•^•s et •^•t

[**] Route serpentante du pôle, de \pict». Suivant les rèj^les précises de IVtymologie, il faudrait dire polherpohodic ; mais pour plus de simplicité, et surtout plus d^euphonie, il vaut bien mieux s*en tenir à la première dénomination.

DE lA ROTATION DES œRPS. qS

x^, j*, z*j on a ces transformées équivalentes:

'■ = w^^n^, [«= - («■ - *■ - TA

Or, qu'on difFérentie ces équations, et qu'on en tire les valeurs de dXj dy^ dzen u et chif pour les substituer dans l'expression

ds = ^dx* 4- dj^ -h dz"^,

et l'on aura, emre les. variables ^ et m, l'équation cherchée de la polhodie s^.

Si, dans cette équation, on change simplement- ^j en- ^o*,, et. «£? eii if>^ -^ fî^y ce qui donne

udu:^\>i dsfy

on aura l'équation de Therpolhodie entre son arc j et le rayon vecteur Vy émané du centre P de cette courbe plane.

Enfin , si Ton nomme y l'angle que le rayon vecteur i^ fait avec une droite fixe quelconque menée dans le plan de cette courbe, on aura évidemment l'équation

de sorte qu'en y mettant, au lieu de d<jj son expression en 9 et dv^ tirée de la précédente, on aura l'équation de l'herpolhodie entre son rayon vecteur v et l'angle ^ qu'il décrit au^ur du centre; ou ce qu'on appelle l'équation polaire de la^courbe.

Tous cesr calculs n'ont, comme on voit, aucune difficulté; mais avant de les développer,. il est bon d'employer quelqfaes abréviations analytiques que j'indiquerai tout à l'heure, et de commencer surtout par une remarque essentielle sur les premières données de notre analyse.

Remarque L Sur les données de cette analjrse.

52. Les trois premières sont les rayons principaux a, 6, c de rellipsoide central ; et ces lignes sont toujours données par la nature du corps, puisque ce sont trois lignes réciproques aux bras de Vinertie de ce corps autour de ses trois axes principaux. Nous les supposerons toujours rangées dans cet ordre de grandeur

Il est évident que a est le plus grand de tous les rayons de l'ellipsoïde, et qu'il est unique; que c est le plus petit, et qu'il est unique; qu'enfin 6, perpendiculaire au plan de ces deux -là, est un rayon moyen qui est aussi unique, mais seulement par sa position, et non point par sa grandeur : car il est aisé de voir qu'il y a dans Tellipsoide une infinité de rayons de même grandeur h , et que ces rayons égaux forment les deux plans singuliers qui donnent les deux sections cir-culaires de l'ellipsoïde; sections inclinées, au plan (a6), d'un angle

dont la tangente est Ji - \/frz~"j (*"* partie, n** 74).

Actuellement, par la définition même de l'ellipsoïde central , les trois moments principaux d'inertie du corps sont entre eux comme les

trois quantités — ? â^' ~' ^^ ^^^^ ^insi rangés dans l'ordre

Mais, par la nature des moments d'inertie d'un corps autour de trois axes rectangulaires, il est clair qu'un quelconque de ces moments est toujours plus petit que la somme des deux autres. Or, d'après l'ordre qu'on vient d'établir, cette condition d'inégalité se trouve déjà exprimée

pour chacun des deux moments —^y t;*? mais elle ne l'est point pour

le dernier moment — qui est le plus grand des trois. Il faut donc, indépendamment de la double inégalité

poser encore celle-ci :

qui revient à

^ ab C>