Pour abréger les calculs, je ferai

cr.\

où je remarquerai d'abord que les trois quantités désignées par a', /5*, y* sont toujours positives.

Car, en premier lieu, à cause de h^ toujours > c*, il est clair que a* et ^* sont toujours positifs. Ensuite, comme on doit avoir

on a, par conséquent,

et il en résulte que la troisième quantité 7' est aussi positive; car, en

donnant à h^ une valeur quelconque qu'elle puisse avoir, et que je représente par

il vient

toujours positif.

Ainsi a, ]3y y seront toujours trois lignes réelles comme les rayons a, 69 c de l'ellipsoïde central : la dernière seule 7 peut devenir nulle ^

et le devient dans le cas particulier de A = aô : yja^ -f- b^ ; ce qui est au fond le cas de A =c, puisque c est nécessairement compris entre h

et ah : V«*-+- A*.

57. Maintenant 9 si l'on prend les différences de la quantité j3^ à chacune des deux autres a^ et 7', on trouve

^*-/ = ^'(*'-c*)>o; d'où l'on voit que j3 est toujours la plus grande des trois lignes a 9

Si l'on prend ensuite la différence entre a' et y^, on trouve

différence qui est positive ou négative, selon que h est plus grand ou plus petit que b.

Les trois lignes a , /3 , 7 sont donc toujours rangées ainsi qu'il suit :

I®. Pour h> bj dans cet ordre : ]3 > 7 > a;

a**. Pour h <b^ dans celui-ci : ^ > ol> y.

Remarque II.

Maxima et minima des rayons vecteurs de la polhodie.

58. Les trois lignes a, p, 7 ne sont pas seulement propres à sim-

loo THÉORIE NOUVELLE

plifier les expressions de notre analyse, mais elles ont encore une signification remarquable dans le problème qui nous occupe.

Et en effet , par les trois équations précédentes de l'orbe s , entre le rayon vecteur u et chacune des trois coordonnées jc, j^, z, il est aisé de voir que |3 est le plus grand des rayons vecteurs u qui vont du centre à cet orbe ou polhodie s. Car, i°, en faisant uz=z ^^ ces trois équations sont satisfaites, et ne conduisent qu'à des valeurs positives de or*, ^*, z^; mais a®, toute valeur de w > j3 rend Vjr^ négatif , et, partant, Vjr imaginaire, et ne peut ainsi appartenir comme rayon à l'orbe s.

Le rayon u = ^ est donc le rayon maximum; et comme il répond à jr = o^ on voit qu'il tombe toujours dans le plan principal de l'ellipse moyenne (oc).

Quant au rayon minimum^ il faut distinguer deux cas :

i^. Si h > bj ce rayon minimum est la ligne y; car toute valeur de £^ < y conduirait à z^ négatif, et, partant, à z imaginaire. La ligne y est donc alors le rayon minimum, et comme il répond k z = o, on voit qu'il tombe dans le plan de l'ellipse majeure {ab).

Enfin, dans ce même cas de A > 6 , on voit que la troisième ligne a ne peut appartenir comme rayon à aucun des points de l'orbe s : car, en prenant la différence entre h^ et a*, on trouve

b^ — or = ' ^ -' ;

d'où il résulte, à cause de h> b par hypothèse, que la ligne a est alors < A , et, par conséquent, ne peut être un des rayons de l'orbe s.

2^. Si h<Zby c'est au contraire la ligne a qui est le rayon minimum, lequel répondant à x = o, tombe dans le plan de l'ellipse mineure [bc] ; et l'autre ligne y, qu'on trouve alors < A , ne peut appartenir comme rayon vecteur à aucun point de l'orbe s.

Suite des abréviations.

59. Nous emploierons les trois lettres e, e', e"^ pour désigner les

DE LA ROTATION DES CORPS. loi

excentricités respectives des ellipses principales {ab)j {bc)j (oc), de Tellipsoîde central.

Mais, comme les carrés a^^ h*, c* sont rangés dans cet ordre a^ > i* > c*, si l'on commence par poser û' — i* = e*, et puis b^ — c* = c'*, il faut, pour avoir de la symétrie dans les calculs, suivre encore le même ordre, et prendre ainsi, non pas a' — c*, mais c' — a' = e''*. Seulement, comme on a c* < a', il faudra se rappeler que ce n*est point e*', mais bien — e"', qui représentera le carré de Texcentricité de l'ellipse moyenne [ac).

Nous poserons donc, pour la symétrie des expressions,

et nous ferons le produit

Relations entre les quantités désignées par aS /3% 7% e\ e'\ e"\

60. Par les abréviations qui précèdent, les trois équations (A), (n^ 51), qui ont lieu entre u et chacune des coordonnées x ^ y^zà^ l'orbe s^ prennent cette forme très-simple:

IÊ« :r^ = £1* e'» (tt« - a^), Or ces équations, étant ajoutées ensemble, donnent

donc , à cause de

loa THÉORIE NOUVELLE

on a ces deux premières relations ,

Si Ton divise respectivement les trois mêmes équations ( A ) , la première par a* y la seconde par 6', la troisième par c', et qu'on ajoute, on trouvera

donc , à cause de

le premier membre se réduit à £•. et, par conséquent, le second membre devant aussi se réduire à £*, quel que soit Uy il faut qu'on ait ces deux nouvelles relations,

Les mêmes équations étant divisées respectivement, la première par a*j la seconde par b*j la troisième par c^, donnent

donc , à cause de

le premier membre se réduit à t^; et, par conséquent, le second de-

vaut se réduire aussi à t-,' quel que soit Uj on a ces deux nouvelles relations,

a^e'-' -^ /5«e"» h- yV» = - £* : A\ Ainsi, en employant, pour abréger, le signe somme 2, on a les

io3

six relations suivantes :

la*e'* = i*,

qui serviront à réduire les expressions.