Au reste, cpmme on a

io4 THÉORIE NOUVELLE

il en résulte (en faisant le produit) qu'on a entre les deux polynômes désignés par D et A, la relation très-simple

Tous ces préliminaires étant posés, passons au développement des calculs indiqués au commencement de ce paragraphe.

Equation de la poUiodie entre l'arc s et le rajron vecteur u,

63. Les trois équations (A) du n^ 60, étant dififérentiées, nous donnent

on a donc, en ajoutant,

ou bien , si l'on réduit au même dénominateur et qu'on ordonne le numérateur suivant les puissances de u', on aura

OÙ l'on peut reconnaître à priori que le numérateur doit avoir tous ses termes divisibles par c* ; car il est facile de voir que chacun des coefficients la* e'^y la* e'^ (/3* + y^), 1 a* e'* jS* 7% s'évanouit en y faisant

soit e* = o ou a* = è*, soit c'* = o ou b^ =z c^y soit e"^ = o ou c* = a* ;

et que, par conséquent, il est actuellement divisible par le produit Mais il s'agit ici de trouver le quotient sans faire la division.

DE LA BOTATION DES CORPS. io5

Ovf d'après la relation (i), on a d'abord

Ensuite , le coefficient (si Ton y met, au lieu de ]3^ -h 7* sa valeur P — a*) prend la forme

quantité qui, d'après les relations (i) et (4)9 se réduit à £*P. Ainsi l'on a

Enfin , le dernier coefficient

( si l'on y met pour |3* 7* sa valeur Q -^ a* (/3* -h 7' ) ) se change d'abord en

Q2«^c'^-2a*e'»a*{/3"H-7*)=6*Q-2aV»a»(P-a^), ou y par la relation (4)9

or, si l'on met, pour {a^a^)^ sa valeur

ce coefficient devient

6»Q -f- (b - J) la^e'^a^ - C2a*c'%

d'où, par les relations (3) et (S), on conclut enfin

2a*e'»P^7>= £• (q - Bh- i^V

On aura donc, en substituant ces valeurs, et supprimant le facteur commun £*,

io6 THÉOBIB nOUTELLE

ou, en tirant la racine carrée, et mettant le dénomiiialeur sous la forme «• — Pw* •+- Qu^ — R^

V «•— P«<-f.Qa» — R

ce qui est l'équation cherchée de la polhodie s, 64. Dans le cas singulier de h = b^ce qui donne a = 7 = 6, P = aô* -h ^^ et Q - B h- a C : A>=: 6*(6* -h /5^), l'équation devient

c'est, en effet, entre l'arc et le rayon vecteur émané du centre, l'équation différentielle d'une ellipse aux rayons principaux 6 et ]3, ce qui s'aooi^e entièrement avec ce qu'on a vu , et confirme ainsi notre analyse.

On a donc, pour l'intégrale de l'équation précédente, s égal à la longueur de Tare correspondaut au rayon u dans une ellipse dont les rayons principaux sont 6 et |3 : ce qu'on peut indiquer de cette manière ,

s = arc (ray = u) (ellipse 6, j3).

Équation de Vherpolhodie a.

65. Si dans l'équation précédente on change simplement ds en dcf^ et u^ en p* -h A*, ce qui donne

udu = vdv^ on aura sur-le-champ

pour l'équation de Therpolhodie entre son arc <y et le rayon vecteur s^ émané du centre de cette courbe plane.

Êqutttion polaire dt la même courbe.

66. En nommant 9 l'inclinaison du r^yon vecteur v sur une droite fixe quelconque menée dans le plan de la courbe , on a évidemment

d'où Ton tire

Il ne s'agit donc que de mettre dan^ cette équation, au lieu de do^ son expression précédente en t^, pour avoir Téquatioa de l'her* polhodie entre son rayon vecteur v et Tangle f qu'il décrit autour du centre de cette courbe.

Or, si Ion fait cette substitution , qu'on réduise au même dénominateur, et qu'on ordonne le numérateur par rapport aux puissances de v*) on trouve» en changeant à la foi» les signes des deux termes de la fractîoQ ,

OU

Or je remarque que le numérateur de la fraction soumise au radical est un carré parfait : car, en y mettant, au lieu de P/<^, sa valeur a A ft* — B, ce numérateur devient

(d'après les abréviations précédentes (n® 61 ) et la relation A=: ^ ) »

trinôme où l'on voit le carré parfait du binôme hu^ -h tj- On a donc cette expression plus simple

, dp Ap* -h t) : A^

pour l'équation polaire cherchée.

io8 THÉORIE NOUVELIJE

67. Au reste, on peut encore présenter l'équation sous cette autre forme, où Ton ne verrait que le polynôme désigné par A, avec ses dérives A', A', pris relativement à h^.

Car, comme on a fait , pour abréger,

si ToB fait de même

A' = 3A*-aPA*H-Q

et

aA''=a.3A^- aP,

l'expression précédente de rf© , en y mettant encore , au lieu de D : À*, sa valeur v^A, prendra la forme

expression où il faut remarquer qu'il n'y a, au fond, rien d'imaginaire , parce que le polynôme i^* -h A*' p* -h A' i^^ -i- A , qui est sous le radical , est essentiellement négatif, comme le produit

auquel il est équivalent : de sorte que y/— i . v'^* -f- A'^p* -h AV* -h A est toujours réel, tant qu'on ne donne à p, comme cela doit être, que des valeurs prises dans les limites où elles sont naturellement renfermées.

Si l'on fait p* = p, l'équation précédente prend la forme

(v/Â-4-Ap)rfp 2 p v^— I Vp» H- a"p» -f- A'p,H- À

dont l'intégrale se rapporte évidemment aux transcendantes elliptiques.

Cas singulier de h = bj où Uherpolhodie déifient une spirale.

68. Quand on suppose A = 6, la polhodie s devient, comme on l'a vu , une ellipse aux rayons principaux b et |3, et dont l'équation

DE LA ROTA'nON DES CORPS. 109

différenrielle est

Si l'on fait

ds =: da et m* = i>* 4- ft*,

on a donC| pour Therpolhodie a,

équation en apparence plus simple que la première , mais dont l'in* tégrale exige également la rectification d'un arc d'ellipse, car il est clair qu'on a

7 = arc (ray = ^6* -4- i^ ) (ellipse ft, |3).