Mais, en y faisant
pour avoir l'équation polaire de la même courbe , on trouve l'équation différentielle
qui s'intègre par les logarithmes : car, en faisant, pour abréger,
c'est-à-dire en nommant n l'excentricité de l'ellipse roulante s qui produit la courbe a, on a, pour l'intégrale,
OÙ l'on suppose que l'angle 9 soit nul ou commence quand le rayon
vecteur w est égal à n ou V/3* — b^ qui est sa valeur maxinuan : ce qui place l'origine au sommet de la courbe.
On a donc , en passant des logarithmes aux nombres ,
e désignant ici, suivant l'usage, la base des logarithmes naturels.
1 1 o THÉORIE NOUVELLE
Ou bien, si Ton veut tirer t; en 9, on a
np np
ce qui est la forme la plus simple de Téquation polaire de la courbe 7 dans le cas singulier dont il s'agit.
70. Par cette expression de v en ç, on voit que le rayon vecteur v ne change point de grandeur quand on change le signe de Tangle f : de sorte que la courbe jette ^ à gauche et à droite de son sommet, deux branches parfaitement égales. On voit encore que y diminue lorsque f augmente, et que ce rayon v ne peut toutefois devenir nul qu'en supposant f = :±: oo : d'où il résulte que la courbe est une spirale double dont les deux branches continues font, en sens contraires, une infinité de révolutions autour du même centre, se rapprochant sans cesse de ce point, et de plus près que tout ce qu'on voudra , sans pouvoir jamais l'atteindre : ce qui confirme tout ce qu'on a dit précédemment sur la nature de cette spirale.
Au reste, pour une précision parfaite dans les termes, il faut bien remarquer que le centre n^est pas à la rigueur un point asjrmptotique ; je veux dire, ne pourrait être regardé comme un cercle infiniment petit que la spirale tend sans cesse à venir toucher. Car en nommant / l'inclinaison de la courbe a au rayon vecteur v qui la décrit, on trouve aisément, par le triangle rectangle formé sur les trois côtés dtj^
dv^ vdfy l'équation
sm j = ;
d'où Ton voit que si la spirale est perpendiculaire au rayon vecteur v
lorsque
c'est-à-dire au sommet de la courbe, elle y est inclinée partout ailleurs, et même jusqu'au centre, puisque, en faisant p= o, on trouve
. . à sm; = p;
re qui répond à un angle/ différent d'un droit, à cause de fc < |3.
71. Je ne parle point de ces cas particuliers de a = &, 6 := c, où
l'ellipsoïde central du corps est un ellipsoïde de révolution; car si
l'on a, par exemple,
il s'ensuit que
« = |3 = 7 = constante :
et alors il est clair que la polhodie est un cercle décrit autour de
Taxe a y d'un rayon -ry ^^L '^ ^* l'herpolhodie est un autre cercle décrit autour de l'axe fixe du couple , d'un rayon
Idée de la détermntation du lieu du corps au bout d'un temps donné,
72. Après avoir reconnu la nature des deux courbes s et a y il est naturel de chercher la vitesse ^ ou ^ avec laquelle le pôle instantané décrit en même temps Tune et Tautre : et cette recherche , qui mène à celle du lieu du corps au bout d'un temps donné, n'a pas plus de difficulté que tes précédentes.
Pour nous en faire une idée> considérons les variables x^jyzeiu comme des fonctions du temps t. Si aux trois équations précédentes (n^ 51) déjà posées entre les variables, on joint l'équation qui exprime la quantité du couple accélérateur dû aux forces centrifuges,
il sera facile d'en tirer la valeur ^®\/(^)-+-(^)-+-(^) ou de —
en fonction du rayon vecteur u : de sorte qu'on aura d'abord l'équation
/ désignant une certaine fonction déterminée de u. Mais 9 par les mêmes équations, on trouvera aussi d'une manière
facile la valeur de ^ en fonction du même rayon ii ; et de cette équa-
tion, qui ne sera qu'entre les variables u et^, on pourra passer, par une simple quadrature, à l'expression de u en t. Si donc on met cette valeur à la place de u^ dans l'équation précédente
5 =/(«)■ on aura , entre ^ et /, une équation différentielle de la forme
ce qui donnera la vitesse du pôle sur l'arc Sj en fonction du temps <:
vitesse parfaitement égale à la vitesse ^ avec laquelle le pôle décrit
en même temps l'arc o dans l'espace absolu.
De cette dernière équation
dt'' dt ^ ^^^'
où F(^) sera évidemment une fonction périodique, il ne restera donc plus qu'à remtonter par une seconde intégration à la longueur même des deux arcs ^ et c en fonction du temps t employé à les décrire : car sitôt qu'on aura cette intégrale, que je représenterai par
on pourra dire que le problème de la rotation des corps est entièrement résolu ; c'est-à-dire qu'on est actuellement en état d^assigner le lieu précis de l'espace où se trouvera le corps au bout d'un temps quelconque donné.
Et, en effet, on saura qu'au bout de ce temps le pôle instantané doit être , sur la surface de l'ellipsoïde central , à l'extrémité S de l'arc s qui répond à ce temps donné /; et que ce même pôle doit être, sur le plan fixe, à l'extrémité Z de l'arc a de même longueur qui répond au même temps donné. Or, le centre de l'ellipsoïde étant retenu immobile en O à la hauteur donnée h au-dessus du plan fixe, on n'aura qu'à mettre cet ellipsoïde en contact avec ce plan de manière qu'il touche par le point déterminé S de sa surface , et au point déter-
DE LA ROTATION DES CORPS. ii3
miné 1 du plan dont il s'agit : et de cette manière l'ellipsoïde central se trouvera posé dans le lieu précis de l'espace où il arrive par son mouvement naturel au bout du temps donné t.
On voit coilfbien cette analyse est claire et naturelle : on peut encore la simplifier et la varier de plusieurs manières en considérant d'autres quantités relatives à la position du corps; il ne nous reste donc qu'à la développer, et c'est ce qu'on va faire dans la troisième partie de ce Mémoire. Mais auparavant, je crois bon de rapprocher notre méthode de l'analyse ordinaire; de montrer, par exemple, comment le seul théorème (n^ IrS) relatif aux forces centrifuges, étant traduit en analyse , donne sur-le-champ les trois équations fondamentales que l'on doit à Euler; et comment, de ces équations, qui étaient connues, on aurait pu tirer notre solution nouvelle, à l'aide de quelques simples transformations analytiques : rapprochement toujours instructif en ce quHl éclaire à la fois les deux méthodes.
