CHAPITRE ra
ou l'on rapproche l'analyse PRéc^DENTE DE CELLE d'eULER.
Toute notre analyse est renfermée, comme je l'ai dit, dans le théorème rappelé ci-dessus, par lequel on connsdt à chaque instant l'axe et la grandeur du couple accélérateur g qui vient des forces centrifuges, et fait ainsi varier l'axe et la grandeur du couple acquis G dont le corps est actuellement animé.
Il n'y a donc qu'à traduire ce théorème en analyse, pour avoir ce qu'on appelle les équations du mouvement du corps; et cette traduction, comme on va le voir, est extrêmement facile.
Équations du mous^ement de rotation.
73. Toutes les dénominations précédentes étant conservées, qu'on reprenne un instant les simples lettres A, B, C, pour désigner les trois moments principaux d'inertie du corps.
Les trois quantités A/>, B^^ Cr seront les trois composants L, M, N
I î 4 THÉORIE NOUVELLE
du couple G dont le corps e$t animé : et les rotations p^q^r étant regardées comme des fonctions du temps t , les trois fonctions différentielles ou fluxions A^» ^ ^' ^ T^ ^"® J® dénoterai plus simple-
ment par A/?, Bç, Cr, seront les trois composants du couple accélérateur qui peut faire varier Taxe et la grandeur du couple acquis G. Or il n'y a ici d'autre couple accélérateur que celui qui naît des forces centrifuges dues à la rotation même du corps, et notre théorème dit : *•
i"". Que l'axe du couple g est perpendiculaire à Taxe du couple acquis G, ou, en d'autres termes, que le cosinus de leur inclinaison mutuelle est nul. On a donc, en prenant l'expression de ce cosinus, qui est évidemment
A/?.A/i-*-By.B^-»-C/».Cr
ôl '
et, l'égalant à zéro,
(i) A^pp-h B»9^-+-C*rr=o,
ce qui est la premièf*e équation du momement.
a^. Le même théorème dit que l'axe de ce couple g est aussi perpendiculaire à l'axe instantané de la rotation actuelle Q dont les trois projections sur les axes principaux sont respectivement p, g, r. On a donc, comme ci-dessus, en prenant le cosinus de l'inclinaison mutuelle et l'égalant à zéro ,
(2) kpp -h hqq H- Crr = o,
seconde équation du mouvement.
3°. Enfin, le même théorème dit que l'on a, pour la grandeur du couple g, le produit de G par d sin i ; ce qui donne l'équation
g« = G^e»(I-cos»l),
i étant Finclinaison de G à 6. Donc, en mettant au lieu de G*, 9*, cos^ {, leurs valeurs en p, 7 , r, et pour g* son expression générale
DE LA ROTATION DES CORPS. ii5
on aura
(3) ...Ay4-B»7»^-CV^=(A~B)y7*4-(B-C)^7^'»4-(C--A)V^^ troisième et dernière équation du mom^ement.
COBOLLAIRE.
74. Si y de ces trois équations, on tire les valeurs séparées de
Apj Bçf, Cr, on trouve sur-le-champ ces transformées équivalentes :
Bç:î=(C-A)|ir, Cr=(A^B)^;
ce sont les équations A^Eider, et qui se trouvent ainsi démontrées de la manière la plus simple. Nous pourrions en donner encore d'autres démonstrations aussi rapides; mais celle-ci me paraît la plus lumineuse , parce qu'on y voit parfaitement ce que ces équations expriment en dynamique.
Et en effet, dans la première, par exemple, le premier membre
A y9 ou A ^9 est l'expression générale du couple accélérateur estimé
autour de Taxe principal O or; et le second membre (B — C) qr est la valeur du couple provenant des forces centrifuges, estimé autour du même axe , comme il est facile de s'en assurer en cherchant ce couple d'une manière directe. Or, puisque le corps est ici abandonné à lui* même, c'est-à-dire ne reçoit l'action d'aucun couple étranger, il est clair que la quantité (B — C) qr est ici la seule à laquelle il faille
égaler l'expression générale A-^* Et la même chose se voit pour les
deux autres équations toutes semblables , qui se rapportent aux deux autres axes principaux Ojr et O z.
Remarque,
75. On peut encore remarquer que cette démonstration nous mène de suite aux équations du mouvement, dans le cas général où le corps
est soumis à Faction de forces accélératrices étrangères; car il est évident qa*il faudrait alors ajouter au second membre le couple qui provient de ces forces accélératrices autour de Taxe que Ton considère. Ainsi y en désignant par X , Y, Z les forces accélératrices qui agissent sur chaque molécule ibn du corps parallèlement aux trois axes principaux, on aurait f{Zjr — Yz)Jin pour le couple dû à ces forces
autour de Taxe principal Ox : et le premier membre A ^9 qui est
l'expression générale du couple accélérateur dont le corps est animé, devrait être ^alé à la somme des deux couples (B — C) qr et fiZjr — Tz) €Ùn, Tun dû aux forces centrifuges et l'autre aux forces accélératrices étrangères. D'où Ton voit avec évidence que les équations générales du mouvement de rotation d'un corps sollicité par des forces quelconques , sont
\^£={B-C)qr-^f(Zj-Yz)dm, B^=(C — A)pr-t-f{Xt-Zx)dm,
X, Y, Z étant les forces qui sollicitent chaque molécule du corps, suivant les directions des trois axes principaux.
Quand ces forces sont de nature à se réduire à une force unique passant toujours par le centre de la rotation, les trois couples / Zj — Yz)dm, f[Xz^Zjc].dm, f{Yjc^Xj]dm sont nuls, et les équations reviennent aux trois précédentes, comme si le corps était libre de toute action étrangère ; c'est ce premier cas simple et naturel qui bât le principal objet de notre analyse.
CoiFimciU on aurait pu déduire noire théorie des tnvs etfuatitfru
qui précèdent.
76. Considérons les trois équations (i), ^a^, . 3\ et voyons le» premiers corollaires qui en découlent.
Ck>aOLLAlBS I.
Ou voit d'abord que l'équation différentielle (i) s'intègre immédiatement et donne
A'^* -h B*ç* 4- C" r* = constante = G%
où je fais la constante égale à G', parce qu'il est évident que le premier membre exprime le carré du couple G dont le corps est animé. Ainsi cette intégrale répond au théorème de la conservation de la grandeur du couple d'impulsion.
Corollaire IL
L'équation (a) s'intégre de même et donne
A/i* -h By' H- Cr* = constante = F.
Pour savoir à quoi répond la constante F, j'observe que le premier membre étant divisé par 9', eicprime le moment d'inertie I du corps autour de l'axe de la rotation d {p^ 1 ). On a donc la constante F ^ale à Id' qui est évidemment l'expression des forces vires de toutes les molécules du corps : d'où résulte le théorème de la conservation des forces vii^s dans tout le cours de la rotation.
Corollaire IIL
Si, au lieu de diviser le premier membre par $*, on le divisait par le produit G 9, il est clair que ce premier membre exprimerait le cosinus de l'inclinaison / de l'axe G à l'axe 0. D'où l'on voit que Gdcos/ est encore l'expression de la constante F; et comme G est constant (corollaire I), il en résulte
$ cos I = constante;
ce qui donne le théorème de la conservation de la vitesse angulaire du corps estimée autour de l^axe du couple d'impulsion G.
lao THÉORIE NOUVELLE
mêmes équations, qui deviennent,
