DEVELOPPEMENT DES CALCULS POUR LA DETERMINATION DU LIEU

DU CORPS AU BOUT d'UN TEMPS DONNE.

\, Si, dans les trois équations différentiel les (i), (a), (3) du chapitre précédent, on remet , au lieu des lettres A, B, C qui représentent

les trois moments principaux d'inertie, les expressions m—, ^T^^

m — relatives à rellipsoïde central du corps; si l'on intègre les deux premières (i) et (a) et quon y mette les deux constantes F et G^

sous la forme m-j; et m* JH^^ ^® V^^ ^^^ permis, on aura les trois

équations

^ -h xr -f- -r = constante = t;>

— -f- T- H — = constante = -; — *

^ 7^ r» X'(/>'4-y'-fT^) — /i^

d'où la lettre m, qui répond à la masse du corps, et La lettre R, à la P. ij

ra/i THÉORIE NOUVELLE

fi^raiideur de rellipsoïfle central^ auront entièrement disparu, comme i ela doit être : car il est évident que les moments d'inertie du corps A , B, C, \di force vive lô*, le couple d'impulsion G sont des quantités homogènes qui peuvent toutes être mises sous cette même forme du produit mR* divisé par le carré d'une ligne ou le rectangle de deux autres.

2. Et maintenant, si Ton fait les lignes kf)^ kq^ kr respectivement «égales à X, jr^ 2, il viendra, pour les équations du mouvement de rotation, les transformées suivantes:

où Ton suppose, pour abréger,

Dans ces équations, il est visible que .r , ^, 2 sont les coordonnées du pôle instantané à la surface de l'ellipsoïde central dont les rayons principaux sont a, /;, c*; que la ligne constante h est la hauteur de ce pôle au-dessus du plan du couple d'impulsion; ^, la ligne constante dont la fonction i :k^ représente \a force vive 16^ du système : d'où résulte (à cause de lô^ = GO cos /), que la grandeur du couple G se trouve ici représentée par i : hk,

5. Cela posé, les équations finies (i), (2) et (4) donnent, comme on la déjà vu dans la seconde partie de ce Mémoire, et en employant

les mêmes abréviations,

DE LA ROTATION DES CORPS. i^S

Ensuite, les équations (i) et {n) étant diiFérentiées et combinées avec Féquation dififérentielle (3), donnent

4. Si Ton ajoute ces trois dernières équations , et qu'on y mette , au lieu de JC^,^^, z^^ leurs valeurs données par les trois précédentes, on trouvera d'abord

et, réduisant le second membre, exactement de la même manière qu'on Ta fait (seconde partie , n*^ 65), il viendra

OU en employant, pour abréger, les mêmes lettres qu'au n*" 61; faisant de plus ,

Q~B -h îèC: A*=:H,

et tirant la racine carrée de part et d'autre, on aura

Telle est, en fonction du rayon vecteur u^ TeKpresfsion très-simple de la vitesse -r avec laquelle le pôle instantané décrit son orbe ^ à la

surface de l'ellipsoide central, et décrit en même temps la courbe 0sur le plan du couple d'impulsion, qui demeurtî fixe dans l'espace absolu.

5. Pour avoir cette vitesse ^ = 3- <^" fonction da temps t^ il faut

donc maintenant chercher l'expression de m en ^; or c*est ce qu'on

peut obtenir par un calcul très-Êicile. Car, comme on a ( à cause de

/<=* rz: X* -f- r* -4- Z*)

UU = XX -h JJ -4- 3Z ,

si Ton met, au lieu de jr, y^ 2, jr, /, z, leurs valeurs données plus haut, on trouvera

et^e" S^V

«"= -ir--^\('^'-«^)('^^-P^)("'-7^).

(roù l'on tire, à cause de 2a*e'* = s*, et de ee'e" = g* \ — i, et eu se servant des dénominations du n° 61 ,

,,,, du v-—" v^«*— Pa*-+-Q«'— R

(L) a ou — =^-r-.-ï ^^

Telle est, en fonction de m, l'expression de la vitesse avec laquelle le pôle instantané se rapproche ou s'éloigne alternativement du centre de Fellipsoïde central, et oscille ainsi suivant le rayon vecteur li, dami !a partie qui s'étend du maximum au minimum de ce rayon ; partie qui est ^ — ce quand A est < /^, et /S — y quand h est > b,

6. Si, entre «ette équation (U)et la précédente (S), on élimine le temps /, ce qui se fait ici très-simplement en divisant, membre à înembre, l'une par l'autre, on aura, en s et «, l'équation différentielle

^« ytt«— Pw'-hQ/i'— -R'

ce qui est exactement la même équaflon qu'on avait trouvée directement pour la polhodie (seconde partie, n®63). On pouvait donc se

borner ici a calculer l'une des deux expressions -75 -7-'- car, en la

comparant à celle de — qui nous était déjà connue, on aurait trouvé l'antre : mais il est toujours bon de confirmer les résultats du calcul.

7. Quant à l'imaginaire y — i que l'on voit dans les deux premières expressions, elle n'y est qu'en apparence; car les deux polynômes

u' - Pu^ -h H et h' - Pw* H- Qtt* - R

sont ici essentiellement négatifs, à cause du rayon vecteur u toujours plus petit que la ligne jS, et toujours plus grand que chacune des deux autres a et 7.

8. itoaintenant, l'équation différentielle (U), qui ne renferme que les deux variables u eX t, étant mise sous la forme

, h lu du

2 ^(tt» a') ( p' — u") (a' — 7»)

se ramène immédiatement aux quadratures.

On aura donc en intégrant, et déterminant la constante arbitraire de manière que le temps t commence quand le rayon vecteur u est à son maximum |3 ,

t=f[u-)-JW),

j désignant ici une certaine fonction de v? ; et de là , par la fonction inverse que je désignerai par^^, on tirera

011 il est évident que/, sera une fonction périodique du lëmps t.

Ainsi , quoique le temps t croisse à Tinfini , la valeur de cette fonction ne peut s'étendre que depuis le maximum de u?^ qui est toujours |3^, jusqu'à son minimum qui est, ou y', ou a^ selon qu'on a A > ou < h.

En désignant donc par t le temps que le pôle I met à passer d'un sommet de son orbe s au sommet suivant, temps exprimé, dans le premier cas, par

et dans le second, par

si l'on demande la valeur du rayon u au bout d'un temps quelconque, on pourra commencer par ôter de ce temps donné tous les multiples de 4 ^ qiii y seraient contenus, et conserver seulement le reste, qui ne

Ï28 THÉORIE WOLVELLE

fiotirratt être que de la forme

t, on t-^-z, ou t -^ ^Zj ou /-H 3t.

selon que le pôle I serait dans le premier, le deuxième, le troisième ou le quatrième qunrt de son orbe s.

S). Connaissant la valeur de ii^ eu /. si ou la suppose substituée à la phce de u^ dans Féquation

ds = 7VP'*'* — f^* -r H,

on aura par une nouvelle intégration , et en déterminant la constante arbitraire de manière que l'arc s commence avec le temps £,

l'équation où il faut observer qu'on doit mettre le temps donné / pris dans toute son étendue, et non pas diminué des multiples de 4'^ qu'il pourrait contenir, comme il était permis de le faire dans l'expression précédente de w*.

Ayant ainsi le rayon u et l'arc c en fonction de ^, on en pourra conclure la position du corps au bout d'un temps quelconque /, comme on Ta fait voir à la fin du chapitre précédent.

10. Mais ces intégrations ou quadratures ne peuvent se faire ni algébriquement, ni par des arcs de cercle ou des logarithmes; elles demandent essentiellement l'emploi des transcendantes elliptiques; de :M>rte que le lieu du corps au bout d'un temps quelconque donné ne peut , en général, se calculer que par la voie des séries, ou au moyen de certaines Tables qu'on aurait construites pour ces fonctions supérieures.

Dans certains cas particuliers, relatifs soit à la direction du couple d'impulsion, soit à l'espèce du corps, la difficulté s'abaisse, et tout se réduit aux règles ordinaires, comme nous le ferons voir un peu plus loin.

DE LA ROTATION DES CORPS. lag

Changement des variables s et u dans les forinides qui précèdent.

H. Si, dans les expressions précédentes de •^- -j-, on change i

en 0-, et u^ en v^ -h h^, ce qui donne uu ^ s>Vj on aura les formules nouvelles

v^=~ Uv^ + h^y - P (i'^ + h^y -h Qli'^ 4- A^) - r] ,

où V est le rayon vecteur allant du centre de la courbe a au pôle instantané qui la décrit.

12. Or, en nommant y l'angle que ce rayon v fait avec une droite quelconque fixe située dans le plan de cette courbe o-, on a évidemment

Mettant au lieu de a^ et sj^ leurs valeurs ci-dessus, et multipliant tout par k^v^j il vient

ou bien, en développant les binômes, et ordonnant le second membre par rapport à (^,

Maintenant, si dans le terme (aA* — ^ PA* -h Q — H)i^, on met, au lieu de PA* sa valeur aAA^ — B, et au lieu de Q — H sa valeur

— j- — > on trouvera "équation

i3o THÉORIE NOUVELLE

et en posant, pour abréger, comme on l'a déjà fait (seconde partie,

/j«-AA' + B/j*-C, ou {h^-a'){h'-b')(h''-c^) = D, et observant qu'on a, entre D et A, la relation

on aura l'équation

où il est évident que le second membre est le carré parfait du binôme

13. Ainsi l'on a, en extrayant la racine carrée de part et d'autre,

d'où, en dégageant (p et remettant pour D sa valeur on tire

"P ^" Tt—k-^ I¥V^ '

expression très-simple de la vitesse angulaire avec laquelle le pôle instantané de rotation tourne autour du centre de l'herpolhodie c ; cette vitesse, comme on le voit, est composée d'une partie constante, et d'une partie variable qui est réciproque au carré du rayon vecteur t^, et, par conséquent, périodique comme ce rayon.

14. Si l'on divise cette expression de -^ par celle de -^9 donnée

plus baut (n** 12), on aura l'expression de -^ çn/onction de v^ c'està-dire l'équation différentielle de la courbe plane 9, entre son rayon vecteur v et l'angle y que ce rayon décrit autour du centre de cette

DE LA ROTATION DES CORPS. i3

courbe o*; cette équation sera donc

ce qui s'accorde parfaitement avec l'équation polaire de l'herpothodie telle qu^on l'a trouvée directement (seconde partie, n^ 66).

On peut remarquer que cette équation ne renferme que les quatre constantes a , h^ c eX h^ dont les trois premières sont relatives à l'espèce du corps, et la quatrième A, à la position du couple d'impulsion. Et il est clair que la constante k n'y doit pas entrer, puisque la courbe décrite par le pôle instantané ne peut dépendre de la grandeur i : hk du couple qui a frappé le corps, ni par conséquent de la constante k qui répond aux forces vives: la courbe est décrite plus ou moins vite, mais elle est toujours la même pour les mêmes données a, A, c et A.

15. On peut employer, si l'on veut, ces nouvelles variables v ei (f^ au lieu des précédentes , pour avoir la position du corps au bout d'iui

temps quelconque t. Car, en intégrant la première équation qui donne

l'expression de -^ en fonction de c, et faisant commencer le temps t avec le rayon vecteur

on aura , comme plus haut (n^ 8) ,

De cette valeur v^^ on conclut celles des trois coordonnées x^ jr, z du pôle instantané à la surface de l'ellipsoïde central , puisque chacune d'elles x^jr\ a est donnée en «'(n^ 5), et, par conséquent, en v^ -\- h^ : on a donc déjà la position de ce pôle sur l'ellipsoïde central.

Mettant ensuite cette valeur de v^ en t dans la seconde équation qui donne -^ en fonction de v, et intégrant, en faisant commencer Tangle 9 avec le temps t j on aura

1 3i mÉORIB WOUVELLE

ce qui donnera la position du pôle instantané sur le plan fixe du couple d'impulsion : et de là on pourra conclure la position du corps dans l'espace absolu au bout du temps t.

Mais, quelques coordonnées qu*on emploie, l'inlégration ramènera toujours, ce qui est ici fort naturel , à la théorie des fonctions eltip'tiques : théorie aujourd'hui très-connue, et à' laquelle je renvoie le lecteur, pour ne pas m*écarter du principal objet de ce Mémoire. Je me bornerai donc à quelques exemples où les quadratures se font par les règles ordinaii^s.

/1pi>licaiion des Jormules à quelques cas particulier^ qui n exigent

pas V emploi des transcendantes elliptiques.

Cas particuliers relatifs h la position du couple d'impulsion.

16. 11 est presque inutile de s'arrêter au câs particulier de A = ri ; car il n'y a, sur la surface de rellipsoKie central » qu'un seul point où le plan tangent puisse être à une distance A = a du centre de cet ellipsoïde. On a donc alors M = rt, et le corps tourne constamment, avec une vitesse angulaire 6 = a: A, autour de son axe majeur «, lequel se confond avec l'axe du couple d'impulsion et demeure immobile et dans le corps et dans l'espaee absolu.

Il n'y a ici qu'une seule remarque à faire : c'est que le pôle instantané I étant immobile, il semble que la vitesse angulaire -^ de ce pôle autour de l'axe du couple devrait être nulle, aussi bien que sa vitesse absolue -j-j et non pas égale à la quantité finie 7 que donne l'expression généraJe de -^ quand on y fait h := a. Mais il faut observer que

la vitesse angulaire d'un point autour d'un centre fixe est ime quantité qui ne dépend pas de la distance de ce point au centre que l'on considère. Ainsi, quoique le rayon vecteur y da pôfe I soit ici égal à zéro y et que ce pôle soit réellement immobile, on n'en peut

pas conclure que sa vitesse angulaire ■— soit aussi égale à zéro; et

DE LA ROTATION DBS CORPS. î33

voilà poiii'qubi ofn la trouve égale à la quantité finie a\k. Et Ton peut bien voir d'ailleurs que cette valeur est la véritable; car, dans notre analyse , où la grandeur du couple d'impulsion est exprimée

parr-?» et le moment d'inertie du corps par — • il est clair que le

quotient t exprime la rotation 9 , c'est-à-dire la vitesse angulaire d'un

point quelconque de ce corps, et, par conséquent, celle du point particulier qui fait le pôle lui-même.

On peut dire exactement les mêmes choses dans Iç cas particulier de A = c , c'est-à-dire quand le plan du couple sera donné tangent au pôle mineur de l'ellipsoïde : il n'y a qu'à changer a en c.

Mais il n'en est pas de même dans le cas singulier de h égal à l'axe mojen b; car, outre le pôle moyen B, il y a sur l'ellipsoïde une infinité de points I où le plan tangent du couple peut être à la même distance h = b du, centre de cet ellipsoïde ; et cette suite de points forme les deux ellipses singulières dont j'ai précédemment parlé (seconde partie, n^68), et sur l'une desquelles le pôle instantané I peut se mouvoir dans toute la suite du temps. C'est ce qu'il est bon de développer.

SoiiUion dans le cas singulier de h= b.