De l'équation ci-dessus
si Ton tire t eu ç , et qu'on le mette dans l'expression précédente de (/y on a
nti — ni
pour l'équation polaire de la double s|>irale (7 décrite par le pôle Fic. a 5 instantané dans l'espace absolu ; ce qui s'accorde parfaitement avec ce qu'on avait déjà trouvé dans la seconde partie de ce Mémoire.
Cas particuliers relatifs à l'espèce du corps.
L'ellipsoïde central du corps peut être un sphéroïde elliptique allongé, ou aplati Ters les pôles, ce qui convient à tous les corps de révolution, et à une infinité d'autres où le corps a deux de ses trois moments principaux d'inertie égaux entre eux : et enfin, l'ellipsoïde central peut être une sphère parfaite, ce qui convient, non-seulement aux corps sphériques ou réguliers, mais encore à une infinité d'autres.
19. Soit d'abord le cas d'un sphéroïde allongé, c'est-à-dire le cas de
6 = c; oi> trouve alors
a' = p' = 7* = /-i —• = constante,
et, par conséquent,
i^* = p* — A^ =s ^^ ^^ ' = constofUe :
i36 THÉOfilE NOUVELLE
d'où Ton voit d'abord que la vitesse angulaire 6 du corps autour du rayon instantané u^ et la vitesse angulaire 6 sin i autour du rayon u , sont toutes deux constantes, et respectivement égales à
= ^5 6sini = ^-^--;
On trouve ensuite, i^ que la polhodie s est un cercle décrit autour de Taxe du sphéroïde, d'un rayon p exprimé par
et que la circonférence en est parcourue par le pôle instantané I avec
ds
une vitesse uniforme -=- dont la valeur est
dt
7t'^ hk h '
d'où résulte, en divisant ^ par le rayon p, la valeur
Tk
pour la vitesse angulaire de ce pôle autour de l'axe du sphéroïde, a^. Que l'herpolhodie a est un autre cercle d'un rayon
ou
et que la circonférence de ce cercle décrit autour de l'axe fixe du couple d'impulsion , est parcourue avec une vitesse uniforme — parfaitement égale à la précédente ^; d*où résulte, en divisant ^ = ^
par le rayon i^, le quotient tt pour la vitesse angulaire du pôle I autour de Taxe fixe dans l'espace absolu : valeur qui s*accorde parfai-
DE lA ROTATION DES CORPS. 1 37
tement, comme cela doit être, avec celle (!^ue donnerait l'expression
générale de ■— si l'on y faisait b = c.
On voit donc qu'ici tout est uniforme et circulaire, et qu'il n'est pour ainsi dire besoin d'aucune intégration; car on a immédiatement
en faisant commencer l'angle f? et lea arcs ^ et a avec le temps t,
20. Dans le cas particulier de b = ay ce qui répond au cas d'un sphéroïde central aplati vers les pôlesn ov troitrerait, moiatismutandis, des expresMone tontes semblable^^aim^précédentes*
21 . Enfin, si l'on avait les axes extrêmes a et c égaux entre eux, ce qui entraînerait Tégalité des trois axes a, i, c et de la ligne A, if n'y aurait plus rien qui ne fût, pour ainsi dire, é^denl de soi-même. Le corps tournerait constamment autour d^un même diamètre ia avec une vitesse angulaire Q = n \ k.
11 faut toutefois se rappeler que ce cas si particulier de
a=: b = c=zh
convient non-seulement aux corps homogènes qui sont sphériques oit réguliers, mais encore à une infinité d'autres de constitution quelconque.
