On voit donc

Que ces surfaces sont celles de deux cônes droits, à bases elliptiques, autour d'un axe commun qui est, ou le grand axe a, ou le petit axe c, de Fellipsoïde central , selon qu'on aA>é,ou h < b]

Que , dans le cas singulier de A = 6 , le premier cône (OG), décrit par Taxe du couple , se réduit à l'un des deux plans représentés par l'équation

DE LA ROTATION DES CORPS. iSg

et le second cône (OT) , à une simple droite OT perpendiculaire à ce plan ;

Et qu'enfin , dans le cas où Tellipsoïde central du corps est de révolution, les deux cônes sont des cônes droits à bases circulaires autour de l'axe du sphéroïde.

26. Voyons maintenant , à l'aide de ces images, comment s'exécute dans l'espace le mouvement d'un corps qui a reçu Timpulsion d'un couple dans une direction quelconque donnée.

Pour mieux fixer les idées et simplifier le discours, on peut considérer le plan MON du couple (qui reste fixe dans l'espace) comme étant le plan horizontal ^ et, par conséquent, l'axe OG de ce couple comme la verticale.

Cela posé, il est visible que, dans tout le cours du mouvement, la surface du premier cône(OG) doit passer par la verticale OG, et que la surface du second (OT) doit être en contact avec le plan horizontal MN. Car, la ligne OG étant toujours normale à la surface du cône (OT), et perpendiculaire au plan MN , ce plan horizontal MN ne peut être autre chose que le plan tangent à la surface. Donc, penriant le mouvement du corps ^ le cône (OT) demeure perpétuellement en contact avec le plan fixe du couple appliqué,

27. Actuellement, il est bien facile de se représenter le mouvement du corps par celui de ce cône intérieur (OT), qui est attaché au corps et l'entraîne avec soi dans l'espace absolu.

En effet, par la rotation ôsini autour de la génératrice OT, ce F'O. 21 cône roule sur le plan horizontal MN et amène en contact , au bout d'un instant dt, une certaine génératrice infiniment voisine OP : par la seconde rotation Q cos i autour de la verticale OG , cette génératrice OV glisse sur ce même plan en tournant d'un certain angle infiniment petit TOT*. Ainsi, par les deux rotations composantes de 6, la génératrice OT, ou la ligne de contact du cône avec le plan MN a décrit sur ce plan, au bout d'un instant dty un angle TOT^ composé des deux angles TOT', TOT' dont on vient de parler.

Pour se représenter le mouvement du corps, il faut donc concevoir qu'à chaque instant dtj on fait rouler le cône (OT) sur le plan P. r9

i4o THÉORIE NOUVELLE

fixe MN , par l'angle

clù à la rotation ô sin i autour de la ligne de contact OT; et, ensuite, qu'on le fait glisser, sur ce même plan, par Tangle

dû à la rotcition 9 cosi autour de la verticale OG : et par ces deux mouvements, exécutes l'un après l'autre, ori a le lieu du corps au bout de cet instant df.

28. Dans la nature , ces deux mouvements ne sont pas exécutés l'un après l'autre, ils sont simultanés, ou plutôt ils n'en font qu'un seul qui est le composé de ces deux-là. Mais, comme on ne considère qu'un temps infiniment petit dt, les deux espaces qu'un point quelconque du corps tend à décrire en vertu des deux rotations 6 sin i et 9cosi, sont censés rectilignes ^ comme les deux côtés d'un parallélogramme : et ce point étant porté d'abord le long de l'un de ces côtés, et ensuite sur une ligne égale et parallèle à l'autre, se trouve alors au bout de la diagonale, c'est-à-dire au même lieu de l'espace où il serait arrivé par son mouvement naturel en suivant cette diagonale. Si donc on imagine que cette double opération , que je viens de décrire, soit répétée pour chaque parlie infiniment petite dt du temps t , on aura la suite des lieux où le corps passe dans le cours de sa rotation, ou l'image fidèle de son mouvement dans l'espace.

Mais si l'on demandait simplement de marquer le lieu où se trouvera le corps au bout d'un temps quelconque^ sans s'occuper de la route que le corps suit pour y arriver, on n'aurait pas besoin de supposer que la double opération dont il s'agit soit répétée à chaque instant. On pourrait d'un seul coup faire rouler le cône (OT) par un angle fini w égal à la somme de tous les angles TOT' que la génératrice OT trace à la surface de ce cône pendant le temps donné ^; et, ensuite , le faire glisser en tournant autour de la verticale OG par \\x\ angle ^ égal à la somme de tous les angles TOV qui sont dus à la rotation du corps autour de cette verticale pendant le même temps A Par ces deux opérations, exécutées l'une après l'autre, et dans Tordre qu'on voudra, le corps, il est vrai, n'aurait pas suivi le mouvement qu'il a dans la nature, mais il se trouverait actuellement posé dans le même

DE LA ROTATION DtS CORPS. i4i

lieu de l'espace où il arrive par son mouvement naturel au bout du temps t, D*où l'on voit que le problème de déterminer le lieu du corps au bout d'un temps quelconque, se réduit à chercher les deux sommes ou intégrales

G>=/(Tor), i^=/(ï'or),

en fonction du temps t.

29. Quanta la seconde intégrale <j*, elle se trouve sur-le-champ; car il est évident qu'on a

VOT = d<^z=z 6 cas i,dt',

or on a trouvé

on a donc

5 cos / = const. = 7

H^=-^'dt,

d'où l'on tire

en faisant commencer l'angle \b avec le temps t. Mais l'autre intégrale