TOT

ne se trouve pas aussi aisément : il faut commencer par chercher l'expression ditFérentielle de l'angle TOT'.

Pour cela je remarque que cet angle TOT', ajouté à l'angle T'OT", forme l'angle TOT" que la projection de l'axe instantané Ol décrit autour de l'axe du couple; car le point T est la projection continuelle du pôle I sur le plan de ce couple. On a donc, en nommant do ce dernier angle,

rfw -h di^ = d(p:

or on a trouvé précédemment

d<p = Q cos i.dt -h ^ ,, ,, ^, . , . -dt;

on a donc, en comparant les deux expressionë de df ,

i4a THÉORIE NOUVELLE

d'où l'on tire

Pour avoir w, il faudra donc mettre d'abord, au lieu de 0*, sa valeur en fonction de ^, et puis intégrer l'expression /(if : (A:*ô* — h^); mais cette intégrale demande encore l'emploi des fonctions elliptiques.

30. Il faut remarquer que les lignes hetk étant essentiellement positives , et d(^ étant égal k-dt^ cet angle d^ peut toujours être regardé

comme ayant le même signe + ; mais l'angle dtù a tantôt le signe -iet tantôt le signe — , selon que h est < ou > A.

Fjg. 21. Si A < 6, le cône OT entoure le petit axe c de l'ellipsoïde central, et, dans ce cas, l'angle ^o), de même signe que dif^ s'ajoute à cet angle pour former l'angle d(f que la projection de l'axe instantané décrit autour de l'axe du couple.

FiG. 22. Si h > by le cône (OT) entoure le grand axe a; et, dans ce cas, l'angle <i&), de signe contraire à d^j doit en être retranché pour former l'angle dcp,

31. Enfin, dans le cas singulier de A = 6, le cône (OT) se réduit à une droite OT située dans le plan des axes extrêmes a et c, et inclinée

sur a d'un angle dont la tangente est — i/ .^^ ,, : l'angle rfw est nul, et df se réduit simplement à l'angle

d{]^ = "7 dt.

Ainsi, dans le cas de h=^b^ il existe dans le corps un axe singulier OT qui a la propriété de décrire uniformément le plan fixe MON (lu couple, avec une vitesse constante

tandis que le corps tourne autour de cet axe singulier avec une vitesse variable

6 sin i

DE LA ROTATION DES CORPS. i43

Dans ce cas, on n'a besoin que des règles ordinaires du calcul intégral pour déterminer la position du corps au bout d'un temps donné t. Car, pour amener le corps dans cette position , il suffirait de le faire tourner d'abord autour de Taxe du couple d'un angle

et ensuite, de le faire tourner sur son axe singulier OT, d'un angle t égal à /ô sin i.dt. Or, dans le cas de A = ft, nous avons trouvé, pour l'expression de Q sin i en fonction de t ,

nt * . . 2/1 tf*

7 sm I = -7- • 5

OÙ e désigne la base des logarithmes de Néper, et n la valeur du radical \/j3* — b^. Multipliant donc par dt cette expression de 6 sin/, intégrant, et faisant commencer l'arc t avec le temps ^, on a

= a (arc tang e*''* "~ 7)

32. Les deux cas de h = a^ ou h= c n'ont aucune difficulté; car les axes OI, OG se confondent entre eux et avec l'axe a, ou l'axe c du corps; et tout se réduit à une simple rotation constante h[kj autour de cet axe a, ou c, qui demeure immobile dans l'espace absolu.

33. Si l'ellipsoïde central a deux de ses axes égaux entre eux, le cône (OT) est un cône droit à base circidaire autour de l'axe de révolution de ce sphéroïde. Alors 6 sin i est constant, et, par conséquent, du> est constant, aussi bien que dt^ et ^9, et l'on a sur-lechamp la valeur de ces angles pour un temps quelconque /.

Si lellipsoide central a ses trois axes égaux et devient une sphère , tout se réduit à un mouvement simple de rotation autour du diamètre qui fait Taxe du couple appliqué G.

Tous ces cas particuliers n'ont aucune espèce de difficulté et se résolvent d'eux-mêmes : il n'y a de remarquable que le cas singulier de h = b qui se résout par l'intégration de la différentielle fQ sin i.dt y laquelle ne dépend que des fonctions exponentielles et circulaires.

i44 THÉORIE NOUVELLE

Remarque 1.

54. 3'ai trouvé plus haut l'expression de l'angle rfw par celle de l'angle d(p, qui nous était déjà connue (n** 13), Mais cet angle r/w, que trace le cône (OT) en roulant sur le plan du couple, peut se trouver aussi d'une manière directe, comme on va le voir dans l'article suivant, ce qui servira à confirmer notre analyse.

Au point T de la surface de ce cône (OT), la ligne de moindre courbure est évidemment la génératrice OT; et, par conséquent, la ligne de plus grande courbure est perpendiculaire à cette génératrice.

Considérons sur cette ligne de courbure l'arc infiniment petit ds qui se couche en un instant dt sur le plan MN quand le cône roule sur ce plan en vertu de la rotation 6 sin i qu'il a sur sa génératrice actuelle OT, Il est évident que sin i.dt est l'angle de contingence , c'est-à-dire l'angle formé par les deux tangentes menées aux extrémités de lare dsy ou, ce qui revient au même, l'angle formé par les deux normales menées à la surface du cône en ces deux points. Or cet angle

est exprimé par — » en nommant r le rayon de la courbure. On a

donc

6 sin i.dt = —

Mais l'angle formé par les deux génératrices voisines OT et OT' qui vont du point O aux deux bouts du même arc ds^ et que nous avons nommé dtù , est évidemment exprimé par

j (is fis

dtù = -rr- =

OT ^ ô sin /

on a donc, pour l'expression de dtù,

diù = — dty

où R désigne le rayon de la plus grande courbure à la surface du cône (OT), au point T extrémité de la génératrice

OT = kesinL

DE LA BOTATION DES CORPS. i45

Or, l'équation de la surface conique (OT) étant

' -h TZ : = O

A»— fl» A»— 6» A»— c»

le rayon a de la courbure en un point quelconque dont les coordonnées seraient x^jr^z^esi exprimé par

et, comme le point T dont il s'agit n'est pas un point quelconque de la surface du cônC) mais un point qui doit se trouver en même temps sur la surface de l'ellipsoïde dont l'équation est

"+* TTl 177 =^ TI»

le trinôme qui est sous le radical se réduit ici à la constante — IT"^* En substituant cette valeur, il vient donc pour r , cette expression

(A»-~fl»)(A^--6^)(A» — cM

Or on a

^> -^^ ^ ^2 3^ OT* = k^6^ sin» i ;

il vient donc , pour l'expression de d<ù =z -r dt y

^ A» )^^Ô^sin>/ '

ce qui s'accorde parfaitement avec ce qu'on avait trouvé plus haut par une voie différente.

Remarque II.

55. Je ferai encore ici une remarque importante pour montrer com- i^iq, ^3. ment, dans le cas de h> b^ le mouvement angulaire df du pôle instantané 1 de rotation est égal à la différence d^ — dtù de l'angle d'^ par lequel le cône (OT) glisse sur le plan du couple, à l'angle d(ô par

i46 THÉOUIE NOUVELLE

lequel ce cône roule sur le même plan ; tandis que , dans le cas de h<bj Tangle dtf est égal à la somme d^ -h dtù de ces deux angles.

Pour plus de clarté , considérons les choses au moment où le pôle instantané I traverse l'ellipse moyenne [ac) de Tellipsoïde central. Si l'on mène en I la tc'^ngente à cette ellipse , qu'on abaisse sur elle la perpendiculaire OP, et qu'on achève le rectangle IPOT ; on voit que OP sera la direction de l'axe du couple d'impulsion , et OT la génératrice actuelle du cône (OT); et comme OI est situé dans Tangle droit COA des axes extrêmes c et a , il est clair que la perpendiculaire OP à la tangente en I sera située aussi dans le même angle droit : donc OT perpendiculaire à OP tombera au-dessous de l'axe OA par rapport aux axes OI et OP que je regarde comme étant au-dessus.

Or, si Ton a A > A , on sait que le cône décrit par OT a pour axe le grand axe OA = a de l'ellipsoïde central : donc, si l'on mène à ce cône le plan tangent suivant OT , ce qui sera le plan même du couple d'impulsion, le cône (OT) sera situé au-dessus de ce plan du même côté que les points I et P. Si donc, en vertu de la rotation ôcosi autour de OP, ce cône glisse en un instant dtj d'un angle d^ sur ce plan tangent, il est clair qu'en vertu de la rotation Q sin / autour de OT, il roule sur le même plan par un angle rfco de signe contraire à r/({; : de sorte que le mouvement angulaire d(f de la génératrice OT est exprimé par la différence d^ — dtù de ces deux angles.

FiG. 21 . Mais si l'on a A < fe, ce n'est plus autour du grand axe OA , mais autour du petit axe OC, que le cône (OT) se trouve décrit. Et alors ce cône, au lieu d'être situé au-dessus du plan qui le touche en OT, du même côté que le pôle I et le point P, se trouve situé au-dessous, du côté opposé. Si donc ce cône, par la rotation autour de OP, glisse sur le plan d'un angle dif^ il est clair que par l'autre rotation autour de OT, il roule sur ce plan d'un angle dtù de même signe que d^ : de sorte que, dans ce cas, le mouvement angulaire dtp du point T est exprimé par la somme d^ + r/o de ces deux angles.

36. On voit par là comment il arrive que, dans le cas singulier de A = 6, on a simplement

do =z di^ = cos /. dt = ~dt :

DE LA ROTATION DES CORPS. i47

car, le cas de ^ = 6 pouvant être considéré comme appartenant à la fois à l'un et à l'autre des deux cas précédents, l'angle dtù devrait avoir également le signe + et le signe — ; ce qui ne peut être ici, à moins qu'on n'ait dtù = o : c'est , en effet, ce qui a lieu, et réduit alors {tf à d^^, c'est-à-dire que, dans ce cas singulier, la vitesse angulaire du pôle instantané, autour de l'axe fixe du couple, est constante et mesurée par j dans toute la suite du mouvement.

Résumé de notre théorie.

57. On peut donc considérer, dans l'intérieur du corps ^ trois cônes du second ordre, savoir :

1**. I^ cône (01) décrit par l'axe instantané OI ;

2°. Le cône (OT) décrit par la projection continuelle de OI sur le plan fixe MN du couple d'impulsion ;

3°. I^ cône (OG) décrit par l'axe fixe OG de ce couple dans l'intérieur du mobile.

Ces trois cônes sont droits, à bases elliptiques, et tous trois décrits autour d'un même axe, qui est, ou le grand axe a, ou le petit axe c de l'ellipsoïde central, selon que A est > ou < que Vaxe mojren b de cet ellipsoïde.

Dans le cas singulier de A = 6, le cône (OI) se réduit à un plan passant par Taxe moyen. Le cône (OG) se réduit à un autre plan passant par ce même axe, et le cône (OT) se réduit à une droite perpendiculaire à ce dernier plan.

Les surfaces de ces cônes sont toutes trois décrites et achevées dans le même temps.

L'axe OG du couple trace la sienne avec une vitesse angulaire

esini = y/e»-^.

L'axe OT trace la sienne avec une vitesse angulaire

df» (A»--ii«)(A»— &^)(A»--c») dt "~ A'it(>t»0'— A")

P. ao

i48 THÉORIE NOUVELLE

L'axe Ol trace la sienne avec une vitesse angulaire que Ton trouve «•gale à

expression où Ton a

^ -, 'rr'h'-i- b'c'-hc'a'}/t^—2a'bc' et

38. Mais, au lieu de ces trois cônes, ou peut ne considérer que trois lignes coufbes, et simplifier ainsi les images. Car, I étant le pôle instantané à la surface de Tellipsoîde central , T la projection de ce point sur le plan du couple, et P sa projection sur Taxe OG, on peut considérer les trois orbes elliptiques, à double courbure, 5, t et n décrits par les points I, T et P dans l'intérieur du corps, et regarder ces orbes comme les bases de nos trois surfaces coniques dont le commun sommet est au' centre O. Faisant donc abstraction de tout le reste, pour ne plus voir que ce centre O et l'une de ces trois espèces de roues ^, t, tt, que je viens de définir, le mouvement du corps pourrait se peindre des trois manières suivantes :

Fk;. a/j. I. Si l'on suppose que l'orbe ^, mis en contact avec le plan fixe MIN parallèle au plan du couple, roule sans glisser sur ce plan, et de manière qu'il tourne sans cesse sur son rayon OI avec une vitesse angulaire 9 proportionnelle à ce rayon , on aura le mouvement précis du corps dans l'espace : c'est l'image la plus claire de ce mouvement.

IL Si, sur le plan MON du couple (qu'on suppose ici mené par le centre O), on fait rouler l'orbe t avec la vitesse angulaire -p trouvée ci-dessus, et qu'en même temps on le fasse glisser avec Ja vitesse angulaire constante j9 on aura de mcme la représentation exacte du

mouvement du corps : c'est une autre image de ce mouvement, mais un peu moins simple que la précédente.

III. Enfin , si l'on imagine que l'orbe tt, dont le rayon OP est constant et de longueur A, glisse le long de sa tangente au point P

avec une vitesse angulaire - — 7 > et tourne sur son rayon OP avec

une vitesse angulaire constante t' on aura une troisième image du

mouvement du corps; mais peut-être encore moins simple que la seconde. On pourrait donc écarter l'une et l'autre; mais, dans une matière aussi difficile, cette variété de démonstrations ne peut que jeter plus de jour sur le fond des choses, et je n'ai pas cru devoir les supprimer. Au reste, de toutes ces démonstrations, la meilleure, je veux dire celle où l'esprit trouve l'appui le plus naturel et le plus sensible, est celle de l'ellipsoïde central, dont on retient le centre immobile au même point de l'espace, et qu'on fait rouler sur le plan fixe du couple , sans aucun mouvement de rasion sur ce plan.

Équations des trois orbes 5 , t , tt , que nous venons de considérer,

39. On a déjà vu que l'orbe j, décrit à la surface de l'ellipsoïde central , par le pôle instantané I , est donné par l'intersection de cet ellipsoïde, dont l'équation est

^.0 ;;r-^ïr + ^ = ^

avec la surface d'un autre ellipsoïde, dont l'équation est

x', y' y z' étant les coordonnées du pôle I parallèles aux axes respectifs a, hj c de l'ellipsoïde central.

On a vu que le plan du couple , supposé conduit par le centre O de cet ellipsoïde , a pour équation

Donc, si du pôle I on aoaLsse une perpendiculaire IT sur ce plan , on aura , pour les équations de cette droite ,

i5o THÉORIE NOUVELLE

Or, si de ces trois dernières équations, on tire les valeurs de j:, j^ z coordonnées du pied T de la perpendiculaire, on trouvera [en faisant les réductions qui proviennent des deux premières équations (i) et (ti)], ces expressions très-simples,

d'où l'on tire

Donc, en mettant ces valeurs de x' ^f ^ z' dans les équations (i) et (2), on aura en x, fj z les deux équations

-r- , ,- fTT, -f- tt: TTT — ï

qui appartiennent à deux nouveaux ellipsoïdes dont l'intersection donne l'orbite t décrite par le point T qui est la projection continuelle du pôle I sur le plan du couple.

Remarque I.

iO. Si l'on relranche ces deux équations l'une de l'autre, on a

f OT^ r.-^ -^ r, At "^ ât^ "^ = ^^

équation de la surface conique décrite par la ligne Oï dans l'intérieur du corps. Et c'est ce qui s'accorde parfaitement avec ce que notis avons trouvé d'une autre manière, en cherchant cette surface conique, comme la suite des normales OT à la surface du cône décrit par l'axe OG du couple dans l'intérieur du mobile. Et, en effet , cette dernière surface décrite par OG a pour équation

(OG) (A' - a^) x^ 4- (A* - b^)jr^ -h {h} - c») 2» = o.

Or il est clair que l'une de ces deux surfaces coniques peut être re-

DE LA ROTATION DES CORPS. i5f

gardée comme la saite des normales à la smrÊice de l'autre : d'où Ton Yoit qu'il suffit d'en connaître une pour les avoir toutes deux.

41. Dans le cas singulier de h = by le cône (OG) se réduit à un plan passant par l'axe moyen bj et dont l'équation est

et le cùne ;OT) à une simple ligne droite perpendiculaire à ce plan, et dont l'équation est

Par conséquent, l'orbite 7 décrite par le point T ne peut être ici qu'une ligne terminée OT, allant du centre O jusqu'au point T qui

répond à la distance maarimum \ ^6' — 6' de ce point au centre O.

42. Dans les deux cas particuliers de A = â, ou A = c, l'orfoite 7 se réduit à un point qui est le centre O de l'ellipsoïde central.

Renuitque II.

43. Si Ton ne combinait ensemble que les équations .'T. (ri;, ;4 . et S pour en éliuiiner x\ j\ r% et qu'on n'emploràt point TéquatîcHi ]3) du plan du couple, on aurait en jr, j^, z une équation qui répondrait à la surface tracée par la suite des normales IT que Ton mènerait à la surface de Tellipsoîde central , le long de TorlMte s décrite par le pôle instantané I ; et si l'on portait ensuite sur chaque normale IT, à partir de s#n pied I , et du même côté que Fellipsoide , une longueur IT égale à la ligne A , la suite des extrémités de toutes ces lignes formerait encore l'orbite 7 décrite par le point T.

Au lîea de Féquation (3^ on pourrait donc employer l'équation suiTante :

'p: x^x')»-hCr-j^'/-^.>^xv = A*,

qui exp fi m i e que la ligne IT est de longueur constante h. Mais coiUDe celle équation exprimerait également que la ligne IT peut être portée

i52 THÉORIE NOUVELLE

de l'autre côté du plan tangent, la combinaison des cinq équations (i), (2), (4), (5) et (P) donnerait, non-seulement l'orbite t décrite par le pied de la perpendiculaire IT au plan du couple, mais une autre orbite t' décrite par le point T' situé à la même distance TT' au dehors de l'ellipsoïde : courbe tout à fait différente dans l'espace relatif, et qui est ici étrangère à la question; mais, dans l'espace absolu, la route du point T' serait parfaitement égale et parallèle à la route (lu point T.

Remarque III.

44. La combinaison des cinq équations (i), (2), (4), (5) et P est peut-être encore plus facile que celle des quatre premières avec l'équation (3). Car, en tirant des équations (4) et (5) les valeurs de (z — z'), ( j — ^') pour les porter dans l'équation (P) , on a tout de suite

.Il j-i

d'où , en mettant pour — -+- — sa valeur ^ -^ tirée de l'équation (2),

on a

ce qui donne

A'±rï''

et il est évident qu'on aurait de même

expressions toutes semblables à celles du n^ 39 , mais où des deux signes ±i il ne faut prendre que le signe —, si l'on veut ne considérer, sur la normale IT, que le point T qui tombe du même coté que la surface de l'ellipsoïde central à l'égard du plan tangent en I : car, en prenant les signes -f-, on aurait un point T situé de l'autre côté de ce plan tangent , et la ligne OT, menée du centre O, ne serait plus perpendiculaire à la normale IT, comme on le veut dans la question proposée.

DE LA ROTATION DES œRPS. i53

45. Au reste, pour lever toute équivoque, il est évident que les coordonnées du point T qui sont x, y^ z doivent être telles, qu'elles satisfassent à Téquation du plan du couple, qui est

Or, en y mettant pour x^jy z les doubles valeurs

(A«±:fl>)^' (A'it^Mr' (h}±e)z*

on aurait

^'(A« ±^«) +^(A« =t A») +'^(A» rt c«) = o.

OU, d'après l'équation (t^),

mais celle-ci, à cause de l'équation (f), n'est évidemment possible qu'en adoptant à la fois les trois signes inférieurs — , ce qui nous ramène aux expressions simples de jr,^, z trouvées par la première analyse.

Enfin, quant à l'orbe tt décrit par le point P pris à la distance OP = h sur l'axe OG du couple d'impulsion , il est très-facile d'en trouver les équations. Il est évident que cette courbe n'est autre chose que l'intersection de la sphère dont l'équation est

jc*-f-^* H- z* = A*,

avec la surface conique décrite par OG, et dont l'équation est (/?» — à')x' -^ (A« ~ h^)y^ + (A» - r«) z^ = o.

D'où l'on voit que cette courbe tt est un orbe sphérique, à double courbure, comme les orbes elliptiques r et j, et qu'elle est décrite autour du même axe.

46. En considérant les deux cônes (OP) et (OT) terminés par ces orbes tt et t qui leur servent de bases, le mouvement du corps se fait

i54 THÉORIE NOUVELLE

de telle manière que le corps tourne, à chaque instant dt^ sur it^s génératrices OP et OT de ces deux cônes, avec des vitesses angulaire> proportionnelles aux longueurs mêmes de ces génératrices : de sorte que la première vitesse 6 cos i est constante comme la ligne OP , et que la seconde 9 sin i est variable comme la ligne OT.