COROLLAIRE

8. De ce parallélogramme des rotations il est clair qu'on peut s'élever à la composition de tant de rotations qu'on voudra, Op^ Oq, Or, etc., et parvenir ainsi à leur résultante générale 09 en les composant successivement deux à deux , à la manière des simples forces appliquées sur un point.

Et cette similitude de composition n'est pas bornée à des rotations sur différents axes qui se croisent en un même point; mais, ce qui est très-digne de remarque , elle s'étend à des rotations autour d'axes qui seraient situés d'une manière quelconque dans l'espace : théorie neuve qui mérite d'être développée.

Composition de deux rotations autour de deux axes parallèles.

9. Deux rotations p etq^de même sens^ autour de deux axes parallèles, se composent en une seule égale à leur somme /? -f- y, autour d'un axe parallèle aux deux premiers et qui divise leur distance

mutuelle dans la raison inverse des deux rotations composantes p et q.

Soient, en effet , Ap et Bq les deux lignes parallèles qui, menées Fig.5. des points A et B d'un même côt^ de l'espace, représentent les deux rotations de même sens p et q dont il s'agit , et considérons un point quelconque m pris hors de ces axes parallèles, mais dans leur plan , vers la droite. Si Ton nomme x et j les deux perpendiculaires abaissées de ce point m sur les lignes Ap et B^, il est clair que, par la rotation /?, le point m tend à s'élever au-dessus du plan avec la vitesse px^ et que, par la rotation ç, il tend à s'élever avec la vitesse qj^'j et qu'ainsi, par les deux rotations à la fois, il a, suivant la normale, la vitesse px -h qjr. Or, qu'on mène entre Ap et Bq la parallèle Cd , si l'on nomme h la perpendiculaire abaissée sur elle du point w, on aura x — h pour sa distance à la parallèle A/>, et A — ^ pour sa distance à la parallèle À^. Si donc on suppose CO menée telle que les deux distances soient en raison inverse de p k q^ on aura

x^h\h—jr\\q\p ou px -¥^ qjr =z {p -h q)h.

Or ip-^ q)h exprime la vitesse que prendrait le point m par une rotation unique = p -h q^ autour de l'axe CQ,

Donc, en vertu des deux rotations parallèles et de même sens pet q^ le mouvement d'un point quelconque du plan, et, par conséquent, le mouvement du corps , est le même que si le corps tournait simplement avec une vitesse angulaire égale h p -{- q^ sur im axe parallèle qui divise la distance mutuelle des deux premiers en raison inverse des deux rotations composantes p et q.

10. Si les deux rotations parallèles petq étaient de sens contraires , FiG. 6. on verrait de même qu'elles se composent en une seule 6 égale à leur différence p — q^ et autour d'un axe parallèle C0 dont on trouverait la position comme on trouverait celle de la résultante de deux forces parallèles et contraires y? et q. Ainsi, en nommant / la distance de G$ au premier axe A/?, par exemple, et D la distance mutuelle de kp et A y , on aurait

lo THÉORIE NOUVELI^E

F'io. -j. II. Si ^ et 4^ différaient très-peu Tune de l'antre, la rotation r*fsuU lantf ^ = p -- q serait très-petite ; et la distance i de son axe au premier Kp serait très-grande; de sfirte que si p et ^ deviennent parfoitement égales, on trouve une rotation 5 nulles autour d'un axe situé a une distance infinie : ce qui n'apprend plus rien . ou plutôt ce qui nous avertit que, dans ce cas singulier, il n'y a plus, à proprement parler, de rotation résultante, et que le mouvement du corps doit changer de nature. C'est, en effet, ce qui arrive; car on va voir que, de ces deux rotations parallèles, égales et contraires, il ne peut résulter pour le corps qu'im pur mouvement de translation dans l'espace.

Des couples de rotations.

FiG. 8. 12. Deux rotations p el — p, égales et de sens contraires, autour de rieux axes parallèles, forment ensemble ce que j'appelle un couple de rotations : on peut voir à priori qu'un tel couple est irréductible, ou qu'il forme, pour ainsi dire, une rotation sui generis, qui ne peut jamais être ramenée à une rotation simple autour d'aucun axe quel qu'il soit.

Le mouvement qui lésulte d'un couple de mtations p et — p est une pure translation de tous les points du corps suivant des ligues pei pendiculaires au plan de ce couple, et avec une commune vitesse mesurre par le moment du couple, c est-à-dire par le produit pD de tune p des deux rotations, multipliée par la distance D qui sépare leurs axes parallèles.

Et, en effet, coiisidérez un point quelconque m du corps, pris dans le plan de ce couple, à la distance x du premier axe /?, et, par conséquent, à la distance .r — D du second — p. Par la rotation p, le point m s'élève suivant la perpendiculaire au plan avec la \itesse/9jr; par la rotation — p^ il s'abaisse en sens contraire avec la vitesse p[x'—'D): de sorte qu'il a. suivant la normale, la vitesse px — p(jr — D) =:/>D. Donc, comme x n'entre plus dans cette expression, tous les points du plan, et, par conséquent, tous ceux

DE LA ROTATION DES CORPS. i j

du corps Oui la même vitesse pH suÎTaDi la perpendiculaire au plan du couple. Donc 9 etc.

15. On voit par là qu'un couple de rotations peut être tourné et transporté comme on voudra dans son plan, ou dans tout autre plan parallèle, sans que le mouvement du corps en soit changé; et de plus, que ce couple peut être transformé en un autre composé de nouvelles rotations p' et — />', avec un nouveau bras D', pourvu que le moment p'TY soit égal au premier pT>.

14. De cette propriété et au parallélogramme des rotations simples, on peut conclure sur-le-champ que des couples de rotations^ situés comme on voudra dans des plans quelconques, peuvent toujours se composer en un seul par la même loi que les couples de forces, et, par conséquent, comme de simples forces agissant sur un point : qu'en un mot, on peut appliquer à ces nouveaux couples, et sans en rien excepter, tous les théorèmes qui concernent les couples ordinaires.

15. C'est, d'ailleurs, ce qu'on verrait sous un nouveau jour, si l'on voulait considérer la cause capable de donner au corps le même mouvement qui résulte d'un couple de rotations. Car, comme ce mouvement n'est qu'une pure translation dans l'espace, il est clair qu'on pourrait le produire par une simple force qu'on appliquerait au centre de gravité du corps, dans une direction perpendiculaire au plan du couple, et en prenant cette force égale au produit du moment de ce couple par la masse entière du corps dont il s'agit. Tous les couples de rotations pourraient donc être ainsi remplacés par autant de forces proportionnelles appliquées au centre de gravité du corps. D'où résulte, pour ces couples, une composition exactement la même que celle des forces autour d'un point. Mais dans cette théorie du mouvement considéré en lui-même, il faut tout tirer de la géométrie, sans rien emprunter à la Dynamique.

Composition générale des rotations autour d'axes situés comme ou

voudra dans l'espace,