SI

axe A.p passant par un point quelconque A du corps. Si, en un autre point O, pris où l'on voudra , on imagine deux rotations contraires p' et — p', égales et parallèles à la première p, il est clair que ces deux rotations se détruisent d'elles-mêmes, et que le mouvement du corps

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résultante 6 sera toujours la même en quelque lieu qu'on ait pris ce point ou ce centre O, où l'on transporte les rotations: si Ton fait varier la position de ce point, la résultante Q ne fera que se trans porter parallèlement à elle-même en divers lieux de l'espace; mais le plan et la grandeur du couple de rotations (/?, — p) changeront nécessairement.

18. Si Ton veut une réduction générale où il n'y ait rien d'arbitraire, on pourra toujours choisir le point O de manière que le plan du couple résultant soit perpendiculaire à l'axe de la rotation résultante. En effet, tout étant d'abord réduit à la rotation 6 et au couple de rotations (p, — p) relativement à un point quelconque O de l'espace, décomposez le couple (p, — p) en deux: l'un (p', — p')y dans un plan perpendiculaire à Taxe Od; l'autre {p'% — p'^), dans un plan conduit par cet axe Si vous transportez la rotation dans ce plan et parallèlement à elle-même jusqu'en O'd, de manière que le couple produit (9, — 0) soit égal et contraire au couple {p'\ — p"), et par conséquent le détruise, il ne restera que la rotation 6 autour du nouvel axe O'ô, avec le couple (p', — p') dans un plan perpendiculaire au même axe, ce qu'il fallait trouver; et cet axe singulier O'd, qui se détermine exactement comme celui que j'ai nommé en Statique Vaxe central des moments ou des couples de forces , peut aussi être nommé Vaxe centml des couples de rotations.

Ainsi un sjrstème quelconque de rotations est toujours réductible à une seule rotation autour d^un certain axe déterminé, et à un couple de rotations situé dans un plan perpendiculaire à cet axe. Et il est clair que ce couple résultant est le minimum de tous ceux qu'on trouverait relativement à tous les points ou centres O qui seraient pris hors de cet axe central. Car si l'on transportait partout ailleurs la rotation ô, elle produirait un couple (9, — 6) perpendiculaire sur le couple (p', — pO ; et ces deux couples étant rectangulaires entre eux ^ donneraient par leur composition un couple résultant supérieur au couple (p', — p').

19. Comme un couple de rotations équivaut à une pure translation du corps suivant la perpendiculaire au plan de ce couple, il s'ensuit que tout le mouvement d'un corps, en vertu de tant de rotations

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qu'on vomira, se réduit, en dernière analyse, à tourner sur une certaine droite et à glisser en même temps le long de cette droite : ce qui est , comme on le verra plus loin , le mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans l'espace absolu.

20- Si le couple résultant minimum est nul , tout le mouvement

DE LA. ROTATION DES CORPS. iS

sur un axe, et la composition dé semblables rotations autour d'axes situés d'une manière quelconque dans l'espace. Mais il faut se faire maintenant une idée du mouvement d'un corps mobile autour d'un point fixe sur lequel il semble pirouetter en tous sens.

Idée de la rotation autour d'un point.

' 22. Le mouvement d'un corps qui tourne sur un axe immobile étant le seul dont nous ayons une idée claire, c'est donc à cette idée qu'il faut tâcher de réduire celle du mouvement d'un corps qui pirouette d'une manière quelconque autour d'un point ou centre fixe O.

Or je dis que ce mouvement, quel quMl soit , si Ton ne le regarde que durant un instant, n'est autre chose qu'une rotation simple autour d'im certain axe passant par le point O et dont la direction reste immobile pendant cet instant. En effet, considérons deux points quelconques A et B du corps, lesquels avec le centre O forment le triangle OAB. De quelque manière que le corps se meuve, il est certain qu'au bout d*un instant on trouvera que le point A est arrivé quelque autre part en A', et le point B en B% de manière que le ti'iangle OAB aura pris dans l'espace la position infiniment voisine OA'B'. Or il est clair que ce mouvement pourrait être produit par deux rotations successives : l'une p autour de la commune intersection OS des deux plans de ces triangles, et qui amènerait le triangle OAB dans un même plan avec son égal OA'B'; l'autre f/, autour de la perpendiculaire OH à ce plan, et qui amènerait le point A sur A' et, par conséquent, B sur B'. Mais ces deux rotations p et q autour de deux axes qui se croisent au point O, peuvent toujours se réduire à une seule autour d'un axe OI passant par le même point. Donc, de quelque manière qu'un corps se meus^e autour d'un point fixe ^ son mouifenient ne peut élre^ dans l'instant que l'on considère, quune simple rotation de, ce corps autour d'un axe passant par ce points et qui reste immobile dans le corps et dans l'espace pendant cet instant.

ïfoxx y on peut conclure que , dans l'instant suivant , c'est de même une rotation simple, mais autour d^un autre ax€; et ainsi de suite d'un instant à lautré : de sorte que le mouvement du corps peut être

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considéré comme une suite de ces mouvements simples dont chacun ne présente à l'esprit qu'une idée nette. C'est ainsi que, pour sa faire l'idée du mouvement d'un point en ligne courbe, on se représente ce point comme décrivant les côtés successifs d'un polygone infinitésimal qu'on imagine inscrit à cette courbe. On a donc ce théorème :

îîï. Le mouvement d'un corps qui tourne ef'une manière quelconque sur un point fixe, n'est autre chose qu'une rotation de ce corps

rotation changeante. Il faut donc tâcher d'éclaircir encore cette idée, et de présenter à l'esprit quelque image phis nette et plus sensible.

îtô. Or on vient de démontrer qu'un mouvement quelconque d'un corps autour d'un point fixe ne peut être qu'une rotation de ce corps sur un certain axe qui change de position d'un instant à l'autre. Donc , puisque cet axe instantané passe toujours par le point fixe , il est évident qu'il ne peut décrire dans l'espace qu'une certaine surface conique dont le sommet est en ce point; et de même, il est évident qu'il ne peut décrire dans l'intérieur du corps qu'une autre surface conique de même sommet.

Soit donc O ce commun sommet, et OI l'axe instantané dans la F16. 9. position actuelle que Ton considère; et concevons du centre O et d'un rayon quelconque OI une sphère décrite qui coupe les deux surfaces coniques suivant deux courbes qui seront comme les bases de ces deux surfaces. De ces deux courbes, la première a est fixe dans l'espace absolu , et la seconde s est fixe dans le corps , et , par conséquent, mobile avec lui dans l'espace.

Divisons le temps t en particules égales infiniment petites dt que nous nommerons des instants; et soient marqués, sur la courbe fixe a, les points successifs a, j3, y, e^, etc., où vient passer d'un instant à l'autre le pôle 1 de l'axe de rotation. Joignons la, aj3, |3y, etc., par des arcs de grands cercles, et considérons la courbe comme un polygone sphérique d'une infinité de côtés la, ajS, /Sy, etc.

Si l'on divise maintenant l'autre courbe s^ qui sert de base au cône mobile, en arcs de grands cercles l£i, ab^ bcj etc., respectivement égaux aux premiers, il est clair qu'au premier instant dt^ le corps qui tourne sur OI amène le point a du corps sur le point a de l'espace; que dans l'instant suivant, le corps qui tourne sur Oa amène le point b du corps sur le point ^ de Tespace; et ainsi de suite, d'un instant à l'autre : de sorte que la courbe J, qui sert de base au cône mobile, vient appliquer l'un après l'autre tous ses divers éléments sur les éléments respectivement égaux de Vautre courbe a, qui sert de base à la surface du cône fixe. D'où je conclus que le mouvement du corps pourrait être produit par le cône mobile qui roulerait, sans glisser^ sur le cône fixe dont il s'agit.

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