I. — Des forces capables d'un pur mouvement de translation

41 . Si un corps n'a dans l'espace qu'un pur mouvement de translation , de sorte que toutes les molécules s'avancent dans le même sens, avec la niême vitesse u, suivant des droites parallèles , il est clair que toutes les forces élémentaires udm dont ces molécules sont animées sont aussi parallèles, de même sens et proportionnelles aux masses respectives dm de ces molécules. Or on sait que de telles forces sont toujours réductibles à une seule R , pa-

< rallèle et de même sens , égale à leur somme fadm^ et passant par le centre de gravité du corps.

Donc, réciproquement, si une force quelconque "Si est appliquée au centre de gravité d'un corps solide, comme elle pourra toujours se décomposer en forces parallèles et de même sens, appliquées aux molécules de ce corps, et proportionnelles aux masses de ces molécules, l'effet de cette force R sera de

transporter toutes les parties du corps , suivant sa propre direction, et avec une commune vitesse w =: R : /w, c'est-à-dire égale à la grandeur de cette force di^ visée par la masse entière m du corps dont il s'agit. Ce qui était, pour ainsi dire, évident de soi-même.

42. Si cette force R, passant toujours par le centre du corps, changeait de direction et de grandeur à chaque instant par Faction de quelque force accélératrice étrangère passant par le même centre , le mouvement du corps n'en serait pas moins un pur mouvement de translation , je veux dire que le corps n'aurait aucune rotation sur lui-même. Tous les points de ce corps décriraient, il est vrai, des lignes courbes; mais tous les éléments simultanés de ces courbes décrites seraient égaux et parallèles entre eux : de sorte qu'en regardant un plan quelconque attaché au corps, et par conséquent mobile avec lui dans l'espace, on trouverait ce plan toujours parallèle à lui-même dans la suite du mouvement.

II. — Des forces capables d'une pure rotation sur un axe donné.

45. Supposons qu'un corps tourne, dans l'instant que l'on considère, au- Fig. i6. tour d'un axe quelconque donné OZ, avec une vitesse angulaire ô ; il est clair que, dans ce mouvement, une molécule quelconque dm, prise à la distance r de cet axe OZ , a une vitesse Ô r, dirigée suivant la tangente du cercle que cette molécule tend à décrire. Ainsi la force qui l'anime a la même direction , et elle est exprimée par Qrdm, Toutes les molécules du corps sont donc animées par des forces semblables Brdm^ proportionnelles à leurs masses dm et à leurs distances r de l'axe de rotation, et suivant des directions qui sont à la fois perpendiculaires à ces distances et à la direction de l'axe donné : et il s'agit de voir comment on peut réduire toutes ces forces élémentaires à d'autres d'un effet équivalent , c'est-à-dire également capables de la rotation 9 du corps autour de l'axe libre et donné OZ.

Réduction de ces forces.

44. Pour opérer cette réduction d'une manière facile et appropriée au calcul, soient menés, par un point quelconque O de cet axe, deux autres axes OX etQY perpendiculaires entre eux et à celui-là; et nommons or, j, z les coordonnées de la molécule dm relativement à ces axes.

Je conçois la force ô rdm décomposée en trois autres X, Y, Z parallèles aux trois axes; ce qui donne évidemment pour la première X= Qydm, pour la seconde Y = — Qxdm , et pour la troisième Z =: o.

Si l'on transporte ces forces parallèlement à elles-mêmes au point O, il en provient d'abord deux forces,

X =: Ofdm , Y=: — Bxdm,

appliquées en O suivant les axes mêmes OX et OY ; ensuite , trois couples L, M 9 N autour des trois axes respectifs des Xy Xt ^9 ^^ ^^^^ ^^ moments sont exprimés par {Yz — Zj), (Zx — X«), (Xj* — Y a?) ; ce qui donne , en mettant pour X, Y, Z leurs valeurs,

L = — Qxzdm^ M = — Qjrzdm , N = Ô ( j^» + a?») dm = Br'dm.

Donc f si l'on fait pour chaque force 9 rdm la même transformation , et qu'on indique par le signe J* la somme de tous les termes semblables à celui qu'on écrit sous ce signe, toutes les forces Brdm capables delà rotation donnée se trouveront réduites aux forces et aux couples suivants, savoir :

1°. Deux forces X = ô/^rf/w, Y = — ù/xd/n^ l'une suivant OX, l'autre suivant OY, forces qu'on peut réduire à une seule P, perpendiculaire à OZ , et dont la valeur sera

P=0^{fxdmy^(ffdmy,

ou , si l'on veut, en nommant D la perpendiculaire abaissée du centre de gravité du corps sur l'axe OZ , on aura , pour la valeur de cette force , l'expression plus simple

P = 0/wD;

2". Deux couples L = — Bj'xzdm , M = — Qfyzdm , autour des deux premiers axes OX et OY, couples qu'on peut réduire à un seul K , dont le plan passe par OZ, et dont le moment est

K =r sl{fxzdmy -f. (fyzdmY;

3°. Et enfin on aura le couple N dont le moment est

JN = Bf(x^ -h^») dm = Bfr^dm ,

et qui agît dans un plan perpendiculaire à l'axe donné OZ. Ainsi , en prenant les cinq intégrales

fxdm , S y dm , fxzdm , Jyzdm , f(x^-^X^) dm ,

qu'il faut étendre à la masse entière m du corps , on déterminera complètement la force P, le couple K et le couple N dont l'ensemble P, K, N est capable de la rotation autour de l'axe donné OZ.

Corollaire I.

43. Si cet axe OZ passe par le centre de gravité du corps , on aura

fxdm = o, fydm ■==: o, • d'où P =: o j

et toutes les forces seront réduites aux deux couples K et N, ou, si Ton veut, à leur résultant

D'où je conclus que les forces capables de faire tourner un corps sur un axe passant par le centre de gravité sont toujours réductibles à un couple.

Sur quoi il est bon de remarquer que ce couple G n'est point perpendiculaire à l'axe de rotation, puisqu'il fait avec cet axe OZ un angle dont le co-

sinus ■ ■ ne peut être nul à moins qu'on n'ait K = o.

Corollaire II.

46. Mais s'il arrive que cet axe OZ soit un des axes principaux du corps, on aura, comme on le sait,

J xzdm = o, Jyzdm = o;

et alors le couple K sera nul , et toutes les forces seront réduites au seul couple N = Bfr'^dm , lequel est perpendiculaire à l'axe donné OZ.

D'où je conclus que les forces capables de faire tourner un corps sur un de ses axes principaux sont toujours réductibles à un couple perpendiculaire à cet axe principal.

Et réciproquement, un couple quelconque N perpendiculaire à l'un des axes principaux est toujours décomposable en forces élémentaires G rdm capables de faire tourner sur cet axe avec une vitesse angulaire = N : fr^dm ; car de telles forces ^rdm se réduiraient à un couple 0. y r^d>w de même grandeur et de même position que le couple donné Pï.

On a donc ce théorème simple et facile' à retenir :

Si un couple est appliqué sur un corps libre dans un plan perpendiculaire à l'un de ses axes principaux, son effet sera défaire tourner le corps sur cet axe lui-même avec une vitesse angulaire égale au moment de ce couple^ divisé par le moment d* inertie du corps autour de cet axe principal,

COROLLAIRB III.

47. Par ce seul théorème particulier, on peut trouver sur-le-champ l'effet d'un couple G appliqué au corps dans tel plan qu'on voudra. Car, en décomposant ce couple donné en trois autres L , M , N perpendiculaires aux trois axes principaux du corps, et nommant A, B, C les trois moments d'inertie qui se rapportent à ces axes, on aura

pour les trois rotations respectives/?, 7, r que ces couples tendent à produire

autour des mêmes axes : de sorte que si l'on compose ces trois rotations en une seule ô, on aura Taxe et la grandeur de la rotation à laquelle le couple proposé G tend à donner naissance au premier instant; ce qui est , comme on voit y de la plus grande simplicité.

Corollaire général.

Des forces capables d*un mouvement quelconque; et, réciproquement y du mouvement que prend un corps en vertu de forces quelconques données,

48. D'après ce qu'on vient de dire, il est bien facile de trouver la force et le couple dont l'ensemble est capable d'un mouvement quelconque donné. Car, quel que soit ce mouvement, vous pouvez toujours le concevoir comme décomposé en deux : Pun , qui consiste dans une pure translation

f égale et parallèle au mouvement du centre de gravité du corps; et l'autre ,

dans une simple rotation autour d'un axe passant par le même centre. On n'aura donc qu'à prendre la force R capable du premier de ces deux mouvements , et le couple G capable du second , et le problème sera résolu.

49. Réciproquement , quelles que soient les forces appliquées à un corps , imaginez qu'on les transporte toutes parallèlement à elles-mêmes au point qui fait le centre de gravité de ce corps : elles viendront s'y composer en une seule R , et tous les couples qui proviennent de leurs translations se composeront en un seul G.

Or la résultante R, étant appliquée au centre de gravité du corps, tend àf

imprimer à toutes les molécules une commune vitesse i^ = — <> et dans la

direction même de cette force R.

Le couple G tend à imprimer au corps une rotation autour d'un certain

axe 01 , passant par le même centre , et qu'on déterminera comme on l'a dit

ci-dessus.

Remarque»

FiG. i". SO. Chaque molécule dm est donc animée par deux forces, l'une udm parallèle à R, l'autre Ô rdm perpendiculaire à la fois à l'axe 01 et à sa distance r de cet axe. Donc cette molécule décrit , à chaque instant dt , la diagonale du parallélogramme construit sur les deux lignes infiniment petites udt et 6 rdt qui représentent les espaces dus à ces forces.

Tels seront donc les mouvements de toutes les molécules du corps ; et tous ces mouvements simultanés sont possibles, je veux dire qu'ils peuvent exister ensemble sans que la disposition mutuelle des molécules soit en rien altérée. Car tous les mouvements composants udt^ considérés à part, sont évidemment possibles; et il en est de même de tous les mouvements ^rdt. Or il est clair que , par ces deux mouvements exécutes l'un après l'autre, on amènerait

chac|[iie molécule du corps au bout de la diagonale Su parallélogramme construit sur les deux lignes udt , ô rdt^ et, par conséquent, au lieu même où elle arriverait en suivant cette diagonale. Ainsi ^ tous les mouvements composés sont possibles ensemble , et ont effectivement lieu le long des diagonales respectives de ces parallélogrammes infiniment petits. Et si l'on veut se représenter dans Pespace toutes les petites diagonales que suivent à la fois toutes les molécules du corps, on a vu (n^ 34 ) que ce sont de petits arcs à' hélices toutes décrites du même pas sur des cylindres concentriques autour d'un certain axe O'S, qui n'est point Taxe instantané 01, mais qui lui est toujours parallèle , et que j'ai nommé Vaxe spontané glissant,