III. — Des forces centrifuges qui naissent de la rotation

51. Nous avons considéré plus haut (n°45)les forces finies rt//w , dont toutes les molécules d'un corps sont animées quand ce corps tourne avec une vitesse angulaire 9 autour d'un axe donné OZ.

Mais de cette rotation même il naît, à chaque instant, poifr chaque molécule dm , une force infiniment petite , qui tend à éloigner cette molécule du centre de sa rotation, et qu'on nomme ainsi la. force centrifuge.

52. Pour se faire une idée nette de cette force, il faut d'abord remarquer qu'une molécule libre dm , animée de la seule force udm suivant la tangente d'un cercle, ne peut en rigueur décrire un arc de ce cercle, quelque petit qu'on le suppose, à moins qu'elle ne soit à chaque instant attirée vers le centre par une certaine force qui la retienne sur la circonférence ; sans quoi cette molécule s'en irait par la tangente avec la vitesse u qui lui est imprimée. Cette force, qu'on nomme centripète, est du même genre que la gravité, et elle se mesure de la même manière, c'est-à-dire par la vitesse /qu'elle ferait acquérir au mobile dans l'unité de temps, si elle agissait toujours également sur lui ; je veux dire si , à chacun des instants égaux , elle ajoutait un égal . degré de vitesse au mobile. Dans un mouvement de cette nature , la vitesse acquise est donc proportionnelle au temps , de sorte qu'on a /*. r pour l'expression de cette vitesse acquise au bout de temps /; et|/*.f' pour l'espace dont le mobile serait descendu vers le centre au bout de ce même temps t.

Quant à la grandeur/ de cette force centripète, elle dépend évidemment de la vitesse u suivant la. tangente et du rayon r du cercle décrit; et il est bien facile de la déterminer. Car, sans l'accession de cette force accélératrice , le point matériel s'en irait en un instant sur la tangente par un espace udt^ et se trouverait aiusi éloigné de la circonférence à une petite distance égale à la partie extérieure e de la sécante menée de ce point par le centre du cercle. Pour que le point matériel ne quitte pas la circonférence, il faut donc que l'espace |/./fr% dont la force /est capable de le faire descendre en un in-

stant dt, soit précisément égal à cette partie extérieure e. Or, par la géométrie, la partie extérieure de la sécante est égale au carré de la tangente divisé par la sécante entière; de sorte qu'on a, pour déterminer /, réquation

|/.rf/» = ou /= :

d'où, en négligeant &, qui est un infiniment petit du second ordre par rapport aux lignes r, u et /, on tire

Ainsi , la force centripète nécessaire pour qu'un point libre puisse tourner en cercle avec une vitesse u suivant la tangente^ est exprimée par le carré de cette vitesse, divisé par le rayon r du cercle qu'il décrit, Kt il est évident que la même expression convient à un mouvement curviligne quelconque, en prenant pour u la vitesse du point mobile , et pour rie rayon du cercle osculateur de la courbe au point que Ton considère.

Dans notre exemple, la vitesse tangentielle u est exprimée par Or; le carré en est 6 V ; et divisant par r, on trouve

pour l'expression de la force centripète d'un point qui tourne avec une vitesse angulaire 9 dans un cercle de rayon r.

^5. Cela posé, si à chaque force tangentielle dm.Br^ qui anime chaque molécule du corps, on joignait la force centripète convenable, et que je re> présente par — dm.Q^rdt (en lui donnant le signe — , parce qu'elle tend à diminuer la distance rà Taxe OZ), il est manifeste que l'ensemble de ces molécules , et , par conséquent , le corps lui-même tournerait autour de Taxe OZ avec la vitesse angulaire ; et cela, d'une manière entièrement libre, je veux dire , quand bien même les molécules de ce corps ne seraient pas liées entre elles, et, par conséquent, sans que cette rotation pût affecter en rien l'état intérieur du corps.

Dans la question qui nous occupe , chaque molécule dm n'est poussée que par la force tangentielle dm,Br, et il n'y a point de force centripète — dm.Q^ rdt qui intervienne pour la faire tourner librement autour de l'axe OZ. Mais je considère que si cette force — dm . B^rdt n'y est point , rien n'empêche de la supposer, pourvu qu'on en suppose une autre égale et contraire + dm • B^rdt. Ainsi , à la seule force d'impulsion dm.Br^ il est toujours permis de substituer l'ensemble des trois forces

Qrdmy —dm.Q^rdty -i-dm.Q^rdt.

Mais alors on peut imaginer que pendant l'instant dt, les deux premières

forces sont employées à faire tourner librement la molécule par un arc de cercle ô rdty tandis que la troisième force -+- dm . ^"^rdt lire cette même molécule dans le sens oCl elle tend à l'éloigner du centre ; et voilà précisément ce que j^appelle la force centrifuge née de la rotatioadu corps. Toutes les molécules sont donc tirées à chaque instant par des forces semblables , uniquement dues au mouvement de rotation : forces réelles , qui affectent Pétat intérieur du corps par les tensions qu'elles produisent sur les liens, quels quUls soient , qui retiennent les molécules.

Réduction des forces centrifuges à une seule force et à un seul couple.

M. Toutes les forces centrifuges qui naissent de la rotation 9 étant ainsi Fie. i&. représentées par dm.Q^rdtj elles ont, au facteur près Qdt^la. même expression que les forces finies G rdm , dont les molécules sont actuellement animées. Mais, au lieu d'agir suivant les tangentes, elles agissent suivant les rayons des cercles décrits; et elles sont ainsi perpendiculaires à ces premières forces rdm y et à Taxe donné OZ. Si donc on les réduit de la même manière, en les transportant au même point 0, elles donneront pour leur résultante tt, analogue à la résultante P des premières forces,

TT = 0' \l[fxdmY + (fxdmY = ÔP,

et pour leur couple résultant x» analogue au couple K, et passant de même par l'axe donné OZ ,

X = 0' sJ{fxzdmY + {Jyzdmf = ÔK;

et il n'y aura point de couple analogue au couple N autour de OZ , puisque les directions de ces forces centrifuges passent toutes par l'axe OZ lui-même.

81$. Telles sont donc les valeurs de la force accélératrice et du couple accélérateur qui résultent des forces centrifuges. Quant à la position de cette force 9r, et à celle du couple x» cll^s se voient presque immédiatement. Car, comme toutes les forces centrifuges dm . G^r, qui donnent la résultante tt, sont respectivement perpendiculaires et proportionnelles aux forces d'impulsion G rdm qui donnent la résultante P , il est évident que tt est perpendiculaire à P.

Par la même raison , Taxe du couple accélérateur ;( est perpendiculaire à celui du couple K; et comme il est perpendiculaire à OZ, qui est l'axe du couple N , il est aussi perpendiculaire à Taxe du couple G , qui est le résultant de N et K : on peut donc dire que Y axe du couple x ^" ^^^ forces cen^trifuges est perpendiculaire a la fois sur l'axe de la rotation et sur celui du couple d'impulsion G.

Ainsi, P et G étant deux lignes qui, partant du point O, représentent, Tune la direction et la grandeur de la force P , l'autre l'axe et la grandeur

du couple G , dont l'ensemble P et G est capable de la rotation autour de Taxe libre OZ; si Von nomme i l'inclinaison de G à Taxe de cette rotation (ce qui donne K=:Gsini), on a, pour la force et le couple accélérateurs ir et ^ qui naissent des forges centrifuges , ces expressions trèssimples

TT étant perpendiculaire à la fois à P et à Taxe , et ;( étant perpendiculaire à

la fois à G et au même axe 0.

Remarque.

^6. Quant aux sens de ces forces et de ces couples, ils sont bien faciles à reconnaître. Car on peut remarquer que si la direction de chaque force centrifuge faisait un quart de révolution dans le sens même ou le corps tourne , elle deviendrait de même sens que la force d'impulsion. Donc les deux lignes Ott et x» qui répondent à la résultante et au couple résultant des forces centrifuges, doivent être tellement posées par rapport aux lignes OP et OK qui répondent aux forces d'impulsion , que si Ott et O^ venaient à tourner d'un angle droit dans le sens même de la rotation , la ligne O ir viendrait se coucher sur OP et la ligne O^ sur OK. D'où l'on voit avec clarté les positions précises qu'il faut donner aux lignes qu'on emploie dans la figure, pour représenter complètement les forces et les couples que l'on considère. On voit que si G change de signe , comme P et K en changeront aussi, ii ei y^ n'en doivent pas changer : et c'est en effet ce qui doit être, car il est évident que les forces centrifuges sont les mêmes, soit que le corps tourne dans un sens, soit qu'il tourne dans le sens contraire.

COROLLAI&ES.

57. Lorsque l'axe OZ de la rotation passe par le centre de gravité du corps , on a

Jxdm = 0, et fydm = o, et partant, tt =: o,

et toutes les forces centrifuges se réduisent au couple x-

Si, de plus, l'axe OZ est un des trois axes principaux de ce corps,,

on a

fxzdm = o et J yzdm = o , et partant , ;f = o ,

et toutes les forces centrifuges se font équilibre.

Et réciproquement, il n'y a qu'un tel axe autour duquel les forces centrifuges nées de la rotation puissent se contre-balancer mutuellement. Car pour l'équilibre, il faut avoir tt = o et ;f = o : or i® tt ne peut être nul à moins qu'on n'ait à la fois Jxdm = o et Jydm r= o , c'est-à-dire à moins que l'axe OZ ne passe par le centre de gravité ; 2° p^ ne peut être nul à moins qu'on n'ait à la fois fxzdm = o et Jyzdm = o , c'est-à-dire à moins que Taxe OZ ne soit un des axes principaux.

Remarque,

K8. Od voit par là qu'en mécanique on peut chercher les axes principaux d'un corps par deux considérations différentes , et qui mènent sur-lechamp aux mêmes équations. Car on peut demander : autour de quel axe un corps doit-il tourner pour que les forces actuelles ^rdm qui animent ses molécules se réduisent à un couple N perpendiculaire à cet axe? ou bien , autour de quel axe le corps doit-il tourner pour que les forces centrifuges 0* rdm qui naissent de la rotation se fassent mutuellement équilibre?

Or, en représentant cet axe inconnu par la ligne OZ, et considérant deux autres axes quelconques OX et OY perpendiculaires entre eux et à celui*là , on trouve que, dans l'un et l'autre cas, il faut d'abord avoir fxdm=io et Jydm = o, d'où résulte que l'axe inconnu doit passer par le centre de gravité du corps; et ensuite, qu'il faut revoir f xzdm =r o eifyzdm = o, d'où l'on tire la direction de cet axe. Ainsi les deux problèmes ne peuvent conduire qu'aux mêmes axes. Au reste , on verra plus loin , par la géométrie , que , dans un corps quelconque, il existe toujours trois axes de cette nature et qui sont rectangulaires entre eux.

ô9. Si le corps n'est pas libre , mais qu'il soit forcé de tourner sur un point fixe 0, on n'a pas besoin d'avoir les deux premières conditions fxdm = o elfydm = o : car, le point O étant fixe, les deux forces P et tt qui y sont appliquées se trouvent détruites. Il suffit donc de faire nul ou le couple K, ou le couple ;^= ÔK, ce qui revient au même, et ne donne à remplir que les deux conditions Jxzdm = o , fyzdm ^ o. Or ces équations mènent aussi à trois axes déterminés, rectangulaires entre eux : de sorte qu'en un point quelconque d'un corps solide, il y a aussi trois axes principaux, c'est-àdire dont chacun jouit de celte double propriété ; i® que si le corps tourne sur cet axe , et qu'on réduise toutes forces rdm à une seule P appliquée en O et à un seul couple N, ce couple est perpendiculaire à l'axe dont il s'agit; 2® que, si l'on réduit de même les forces centrifuges ^^rdm, le couple résultant / est nul de lui-même : mais la résultante tt ne sera pas ici nulle, non plus que la force P, et le pioint fixe O sera obligé de détruire cette force finie P et de supporter là pression tt dt.

60. Dans tous les cas, il suffit de connaître les trois axes principaux qui se croisent au centre de gravité du corps, et qu'on nomme les axes naturels de rotation. Car une fois qu'on a ces axes et les moments d'inertie A, B, C qui s'y rapportent , il est très-facile de trouver l'expression du moment d'inertie du corps autour d'un autre axe mené comme on voudra par le même centre : et de là on peut passer, par une autre expression encore plus simple , au moment d'inertie relatif à un axe quelconque parallèle à celui-là. C'est une Additions i854. 3

théorie purement géométrique que je développerai avec quelque détail dans le chapitre suivant.

Mais avant de terminer celui-ci , je veux dire deux mots de la rotation d'un corps sur un axe fixe y afin de montrer, d'une manière nette, i** les percussions que cet axe doit ressentir, au premier instant, de la part des forces d'impulsion qui ont été appliquées au corps ; 7.^ les pressions que cet axe devra soutenir, dans tout le cours du mouvement, pour résister aux forces centrifuges qui naissent à chaque instant de la rotation.

Enfin , revenant aux propriétés générales du mouvement d'un corps entièrement libre , je montrerai , dans un nouveau paragraphe , que le principe de la conservation des forces et le principe de la conservation des couples auraient pu être tirés , comme corollaires , de la théorie des forces centrifuges.