IV. — Du mouvement d'un corps autour d*un axe fixe

61. Quelles que soient les forces appliquées à ce corps, on peut toujours les réduire à une seule R appliquée en un' point quelconque O de l'axe fixe, et à un seul couple G.

Or, il est évident que la force R passant par un point de l'axe fixe y est détruite, et que, par conséquent, cet axe OZ reçoit d'abord au point O une percussion représentée par la force donnée R ; ou , si l'on veut , en nommant a l'inclinaison de R à OZ , cet axe fixe reçoit deux percussions, Fune R cos a dans le sens de sa longueur, et Fautre R sin a dans une direction perpendiculaire.

Ensuite , en désignant par v l'inclinaison de l'axe du couple G au même axe fixe , on peut décomposer ce couple en deux : l'un N = G cos v , perpendiculaire à l'axe fixe ; l'autre N' = G sin v , dans un plan conduit par cet axe. Or il est visible que ce dernier couple N' se trouve détruit : de sorte que l'axe fixe doit encore ressentir la percussion d'un couple N'=rG sin v.

Ainsi, voilà deux percussions tout à fait inutiles au mouvement du corps , et qui ne peuvent qu'ébranler l'axe û%e : d'où l'on voit que si l'on n'a d'autre objet que de faire tourner le corps, en ménageant les appuis, il est bon de n'employer que des forces qui aient une résultante nulle, et ne donnent qu'un couple perpendiculaire à l'axe fixe.

Mais ce n'est pas tout : car reste le couple IV = G cos v, d'où proviendra le mouvement du corps ; et , quoique ce couple soit perpendiculaire à l'axe fixe lui-même , et paraisse ainsi ne plus devoir le frapper, il ne pourra pourtant faire tourner le corps sur cet axe sans y causer d'abord deux percussions du même genre que les premières ; et c'est ce qu'on va voir avec clarté dans le problème qui suit.

Problème.

62. On suppose qu'un corps en repos , mobile autour d'un axe fixe OZ, soit frappé par un couple 1^ perpendiculaire à cet axe y et Von demande : i^ la vitesse angulaire 9 que doit prendre ce corps; 2" la percussion que V axe fixe doit recevoir au premier instant; 3° la pression continuelle qu'il aura à supporter, dans le cours du mouvement, en vertu des forces centrifuges qui naissent de la rotation.

Soit prise , sur Taxe fixe OZ , à partir d'un point quelconque O , une ligne Fig. ig. terminée ON qui représente à la fois Taxe et la grandeur du couple d'impulsion appliqué au corps.

Soient , à partir du même point , et dans le plan perpendiculaire à OZ , deux lignes terminées OP et OK, qui représentent , Tune la force P, et l'autre le couple K, qui, combinés avec le couple donné N, seraient capables de faire tourner le corps sur OZ d'une manière spontanée, c'est-à-dire , même en supposant que cet axe fut libre, et, par conséquent, sans lui causer la moindre percussion.

Cela posé , j'imagine qu'on applique au corps la force P, et en même temps la force P' égale et contraire; de plus, qu'on applique le couple K, et le couple K' égal et contraire : il est clair que l'état du corps n'est pas changé. Mais actuellement , au lieu de voir ce corps comme frappé par le seul couple donné N, je puis le considérer comme frappé à la fois par les trois couples N , K, K' et les deux forces P et P'.

Or, par hypothèse , les couples N , K , et la force P, combinés ensemble ,

sont capables de faire tourner le corps sur l'axe OZ avec une vitesse angulaire

N 9 :^ , sans causer à cet état ûxe la moindre percussion. Donc , i ** le corps

prendra réellement cette rotation déterminée ; car la force et le couple restants P' et R', passant tous deux par l'axe fixe , peuvent être regardés comme détruits par la résistance de cet axe. Donc, 2° cet axe fixe ressentira deux percussions représentées l'une par la force P' appliquée au point , l'autre par le couple K', dont le plan passe par le même axe ; et l'on aura , pour ces deux espèces de percussions :

P' = — P = ■— 9 \l[fxdmy H- [fydmy,

K'= — K= — Ô \l[fxzdmy-\'{fyzdm)\

Ce qu'il fallait d'abord trouver.

65. Si l'axe OZ, au lieu d'être fixe dans toute sa longueur, était simplement retenu par deux points fixes A et B, et qu'on voulût trouver les deux percussions individuelles ressenties par ces points, on décomposerait la force

P' en deux autres parallèles appliquées, Tune au point À, l'autre au point B ; ensuite on changerait le couple K' en un autre équivalent appliqué à angle droit sur AB ; et, réduisant alors à une seule les deux forces qu'on trouverait en A , et de même à une seule les deux forces qu'on trouverait en B , on aurait les deux percussions individuelles que le couple proposé N produit au premier instant sur les deux points fixes A et B.

04. Il est évident que les percussions dont il s^agit ne sont ressenties par Taxe fixe qu'au premier instant : car une fois que Taxe a détruit la force P' et le couple K', le corps n'est plus sollicité au mouvement que par les couples N , K et la force P. Or, ce système de forces étant capable de faire tourner spontanément sur OZ , c'est-h-dire quand bien même OZ ne serait pas fixe , il est manifeste que la résistance de cet axe n'a plus rien à détruire, et qu^il ne reçoit plus aucune percussion.

On voit, par là, que si Ton veut ménager le plus possible l'axe fixe de rotation, sans regarder à la dépense des forces, il faut appliquer des forces qui se réduisent d'elles-mêmes à la force P et au couple G résultant de N et K. Cet ensemble P et G, ou son équivalent P, N, K, feront tourner sur Taxe fixe sans lui causer aucune percussion. On peut se représenter que, dans le cas dont il s'agit , la chose se passe de cette manière : on peut voir le couple N comme étant employé à faire tourner sur l'axe , tandis que la force P et le couple K sont employés à soutenir cet axe, ou, si Ton veut, à détruire les deux percussions — P et — K qui lui viendraient du couple N , si ce couple agissait tout seul.

Ainsi , quand on veut ménager le plus possible la résistance de l'axe, il faut appliquer le système de forces représenté par N, P etK : mais si l'on veut ménager la dépense des forces, il faut appliquer le seul couple N ; et alors Taxe reçoit deux percussions — Pet — K , qu'il est obligé de détruire.

65. Après la destruction du couple K' et de la force P' par Taxe fixe , le corps tend donc à tourner librement sur cet axe avec la vitesse angulaire ô. Mais de cette rotation naissent alors les forces centrifuges 9' rdm , dont il faut examiner l'effet; ce qui est le troisième point de notre démonstration. Or il est évident que toutes ces forces étant dirigées vers l'axe fixe , y seront détruites à chaque instant : d'où je conclus d'abord que la rotation ô du corps sera uniforme; que, dans toute la suite du mouvement , l'axe fixe n'aura plus qu'à supporter les pressions dues aux forces centrifuges ; et que cet axe devra être retenu dans tous les sens, pour résister à ces pressions qui changent continuellement de directions par le mouvement même du corps. Or on a vu que les forces centrifuges 9Vr//7t sont réductibles à une seule ,

et à un seul couple ,

X = e K = Ô» sJ{fxzdmY-Jr{J'xzd,nY ;

de sorte que l'axe est chargé, à chaque instant dt^ d'une pression tt «fr appliquée en 0^ et d'un couple / ^^ passant continuellement par cet axe : pressions qu'on pourra réduire , comme ci-dessus , à deux forces appliquées aux ]>oinls A et B si l'axe n'est retenu que par deux points fixes. Etc., etc.

Remarques.

Dans le mouvement que je viens de considérer, il est bien clair que la force P et le couple G, dont le corps est à chaque instant animé, restent toujours les mêmes de grandeur et de position dans V intérieur du corps. Les deux lignes OP et OG qui les représentent ne font, pour ainsi dire , que tourner avec le corps et du même mouvement angulaire 9, autour de Taxe fixe.

Si tout à coup cet axe devenait libre , et que le corps fût ainsi abandonné à lui-même , on sait, par les principes généraux de la dynamique, que P et G seraient également conservés de grandeur et de position^ non plus dans l'intérieur du corps, mais dans V espace absolu. Or je veux faire voir ici que ces ,deux principes, qu'on peut nommer la conservation des forces et \2LConsen>ation des couples, auraient pu être tirés, comme de simples corollaires, de la théorie des forces centrifuges : déduction délicate et qui me paraît assez curieuse pour n'être point omise dans un ouvrage de Mécanique rationnelle.

V. — Conservation des forces et conservation des couples dans le mouvement

d*un corps libre.

De l'analyse exacte des forces centrifuges , on peut tirer ces deux belles conséquences : c'est que les forces centrifuges qui naissent du mouvement d'un corps ne peuvent jamais altérer ni la grandeur ni la direction des forces primitives d'impulsion qui ont mis le corps en mouvement. Je veux dire que si, à une époque quelconque , on vient à rechercher la résultante et le couple résultant des forces finies qui animent le corps à cette époque , on retrouvera la même force et le même couple, et situés dans les mêmes lieux de l'espace. Ces propriétés ne sont , il est vrai , qu'un corollaire de ce principe , ou de cette loi générale de la dynamique , par laquelle les forces qui animent toutes les molécules d'un système quelconque, variable ou non , donnent toujours , relativement à un même point de l'espace , la même résultante R et le même couple résultant G, pourvu que le système soit abandonné à lui-même, c'està-dire considéré comme libre de tout obstacle et de toute force accélératrice étrangère. Ce principe général a même lieu , comme on le sait, lorsqu'il y a , entre les molécules du système,^ des forces quelconques d'attraction, ou de répulsion, pourvu que ces forces soient réciproques, c'est-à-dire deux à

deux égales et contraires ; car, dans ce cas, ces forces donneraient à part leur résultante et leur couple résultant tous deux nuls , et ne pourraient troubler ni la grandeur ni la position de R et G. Cette conservation a encore lieu , mais pour le couple G seulement , dans le cas particulier de forces accélératrices étrangères tendant toutes vers un même point fixe de Tespace, et lorsqu'on prend ce point fixe pour le centre auquel on rapporte tous les moments du système : car toutes ces forces accélératrices ne donnent que des couples nuls relativement à ce point , et le couple résultant G est encore conservé. Mais s^il y a d'autres forces étrangères que celles dont je viens de parler, ni la résultante R ni le couple résultant G ne se conservent plus dans le cours du mouvement. On peut voir, dans le premier Mémoire qui accompagne nos Éléments de Statique, la démonstration très-simple de ce principe général , qui n'est, au reste, lui-même qu'une conséquence naturelle de celte loi fondamentale du mouvement , qu'on appelle la loi d'inertie.

Dans notre exeihple d'un corps solide libre , qui a reçu des impulsions quelconques, et qui demeure ensuite abandonné à lui-même, il parait donc évident que la conservation de la force R et du couple G d'impulsion ne peut manquer d'avoir lieu : car on ne suppose aucune force accélératrice qui vienne de Textérieur ; et si l'on y considère des forces centrifuges, ce ne sont en quelque sorte que des forces passives provenant de la liaison mutuelle des molécules; et il est assez clair que de telles forces ne peuvent en rien altérer ni la résultante ni le couple résultant du système. Cependant, comme ces forces centrifuges ne se font point équilibre entre elles sur le corps , il reste ici une certaine obscurité sur la conservation de la force R et du couple G , puisqu'il naît à chaque instant dt une force irdt et un couple x^^ ^"^ ^^ ^^^ point nuls d'eux-mêmes. Il n'est donc pas inutile d'entrer ici dans une explication plus complète , et de montrer comment cette force et ce couple, nés des forces centrifuges, ne peuvent jamais troubler ni la grandeur ni la position dans l'espace , de la résultante R et du couple résultant G. Et cela même nous paraît d'autant plus curieux à examiner, que non-seulement ce$ forces centrifuges ne troublent ni R ni G , mais qu'elles sont même nécessaires à leur conservation : de sorte que si, à chaque instant, on venait à détruire la force Tcdt et le couple / </r , R et G ne se conserveraient plus de position dans l'espace absolu.

Démorstration .

Fie. 20. Quel que soit le mouvement d'un corps, nous avons vu que ce mouvement peut être considéré , à chaque instant dt , comme composé d'une rotation 6 autour d'un certain axe déterminé ON, et d'une translation» parallèle à cet axe que nous avons nommé Vaxe spontané glissant.

Soient donc P, K, N la force et les deux couples capables de cette rota-

tion Ô sur Taxe ON , et Q la force qui , appliquée au centre de gravité g, serait capable de la translation actuelle u suivant la direction du même axe. En nommant m la masse du corps, et faisant gO = a , on aura

P=:/w«9 et Q = /w«,

comme on Ta dit plus haut.

Cela posé 9 au bout d'un instant dt, le corps sera descendu le long de ON, par un espace 00' = u dt^ et en même temps il aura tourné autour de ON par un angle ^dt. Supposons donc que dans ce mouvement il ait entraîné avec lui toutes les lignes OP, OK, ON, Og que Ton considère dans la figure. Il est clair qu'en vertu du premier mouvement , toutes ces lignes seront d'abord descendues dans les positions parallèles O'P', O'K', O'N', 0' g' \ et qu'en vertu du second, elles auront tourné ensemble d'un même angle Ô//f , pour venir dans les positions O'P'', O'K", O'N', O'g:" : de manière que les extrémités P', K', g' auront décrit les arcs semblables

P'P"=P0rfr, K'K" = K0rf^ gY = aBdt,

Mais, au bout de cet instant, il sera provenu des forces centrifuges : i^ une force 7rdtz='PBdty perpendiculaire à P', et qui, composée avec P', ramènera cette force à sa place en O'P'; 2® un couple j^dt = J!iBdty perpendiculaire à K', et qui, composé avec K", ramènera ce couple à sa place en O'K'. Donc, au bout d'un instant , les forces et les couples qui animent le corps seront représentés par les lignes 0' P', O' K', O' N' et g^'Q'. Or je dis que cet ensemble de forces et de couples est exactement le même que celui qui a été considéré au commencement , c'est-à-dire qu'il peut être actuellement représenté par les mêmes lignes OP, OK, ON, ^Q situées dans les mêmes lieux de l'espace absolu.

Et d'abord, la chose est évidente pour les deux couples représentés par les lignes O'K', O'N' ; car, suivant la propriété des couples, il est indifférent qu'ils soient représentés par ces deux lignes ou par les deux lignes OK, ON qui leur sont respectivement égales et parallèles. Restent donc les deux forces P' et Q', appliquées, l'une en 0', l'autre en ^", qu'il faut montrer être réductibles aux deux forces respectivement égales et parallèles P et Q , appliquées en et en g. Or P' peut être transportée parallèlement à elle-même de O' en O, pourvu qu'on ajoute le couple (P, — P) appliqué sur 00^ = udt: de même Q' peut être transportée de g" en g^y pourvu qu'on ajoute le couple (Q, — Q) au bras de levier g^g^^ = aB dt. Mais il est clair que ces deux couples, qui sont parallèles et de sens contraires, oiit des moments égaux : car à cause de V z=zmaB et de Q = /w«, le moment P X 00' du premier est maB^udty et le moment Q X g' g'^ du second est mu.aBdi, ce qui revient

au même : ainsi les deux couples (P, — P), (Q, — Q) se détruisent, et les deux forces P' et Q' sont ramenées aux deux forces P et Q.

Donc le systèraQ de forces et de couples qui animent le corps au bout d*UD instant revient au même que celui qui Tanimait au commencement de cet instant : d'où Ton peut conclure que cette conservation des forces et des couples a lieu dans toute la suite du temps; ce qui est le principe général qu'il s'agissait de démontrer.

On peut même voir comment la chose se passe d*un instant à l'autre. Car au bout d'un instant, le corps ayant changé de position dans Tespace, et les forces ayant gardé la leur, le corps ne s'y présente plus de la même manière, et son mouvement va changer, c'est-à-dire qu'il va se faire autour de quelque autre axe spontané glissant on. Mais comme ce mouvement sera dû au même système (P, K, N, Q), ce système est nécessairement réductible à un système semblable (/?, ^, /i, q) capable de ce mouvement autour du nouvel axe on dont il s'agit. Or, par la même démonstration qui précède, ce second ' système serait aussi conservé durant un instant : donc , puisqu'il est réductible au premier (P, K, N, Q), celui-ci se conserve de même, c'est-à-dire qu'il peut représenter les forces et les couples qui animent le corps , non-seulement au bout du premier, mais encore au bout du second instant, et ainsi de suite à l'infini : d'où l'on voit comment cette conservation des forces et des couples doit s'étendre à tout le cours du mouvement.

Et réciproquement, si Ton voulait partir de ce principe général (dont la démonstration directe est très-facile), on serait conduit, par une marche inverse , à reconnsutre que , du mouvement même d'un corps solide , il doit nécessairement provenir de certaines forces infiniment petites, telles que, étant combinées à chaque instant avec les forces acquises , le principe de conservation dont il s'agit soit rigoureusement observé : et l'on retrouverait ainsi , pour ces forces infiniment petites, les mêmes expressions ndt, xdt^ qu'on a tirées de la théorie des forces centrifuges. Au reste, il n'est pas surprenant qu'on arrive au même résultat par les deux méthodes, puisque l'une et l'autre partent également de cette loi fondamentale qu'on appelle la loi dUnertie,