CHAPITRE in. — SUR LA THÉORIE DES MOMENTS d'iNERTIE

I. — Des moments d'inertie d'un corps de figure quelconque autour de différents axes qui se croisent en un même point,

66. Soient, par le point ou centre que l'on considère, trois axes rectangulaires a?, y, z auxquels on rapporte les différents points du corps; h une droite quelconque passant par l'origine , et faisant a^f c ces axes les trois angles

respectifs st , ^ , 7 : on se propose de trouver l'expression du moment d*inertie par rapport à cette droite d'inclinaison donnée sur les trois axes fixes des coordonnées x , /, z.

Ce moment d'inertie n'est autre chose que la somme des produits faits de chaque particule du corps par le carré de sa distance à l'axe que l'on considère. Ainsi, en nommant dm une de ces particules, r sa distance à la droite donnée h^ on a, pour le moment d'inertie de cette particule, r^ dm y et pour le moment d'inertie du corps entier, fr^ dm , en représentant par J r* dm la somme de tous les produits semblables à r^dm qu'on peut former en considérant toutes les molécules du corps.

Or, x^ y^z étant les coordonnées d'une particule quelconque dm , et ^ sa distance à l'origine, on aura

^=z x^ -f- jr' -h z* ;

et pour la distance r de cette particule à l'axe donné // , on aura

/• = <) sin çp , <f étant l'inclinaison mutuelle de <) et A ; on a donc

r* := <)*sin'(p =c)'(i — cos*<p), et , comme on a , par la géométrie ,

COSf = - COSa -l-'^r C0SpH-:rC0S7,

on trouvera, en substituant cette valeur (et observant que l'on a toujours la relation cos^a -f- cos^p + cos'y =1),

r» = cos'a (/* -f- z') -+- cos' p (^* H- 2') -h cos^y (^' -hj') — 2 (cosa QQ^^.xy -♦- cos a COS7 . xz + cos p COS7 ./z) ,

et, par conséquent, multipliant tout par dm^ et mettant le signe y,

Jr'^dm = cos'a/(7» -h z^)dm -+- cos^^f(x^ -h z^)dm ■+- cos*7/(jc'H-/*) dm — 2. (cos a cos ^fxy dm -f- cos a cos 7 fxz dm ~h cos p cos 7^/2 dm ) ,

ce qui donne le moment d'inertie relatif à l'axe proposé , par les inclinaisons

a, p, 7, de cet axe sur les trois axes fixes donnés J?, j, s, et par les six

intégrales

f{y'-\-z')dm, f[x^-^z')àmy f(x'-^x')dm,

Jxy dm , Jxz dm , Jyz dm ,

relatives aux mêmes axes : intégrales qu'on peut regarder comme actuellement déterminées par la position connue dii corps, et que je représenterai par les six constantes respectives

de sorte que, en désignant simplement par H le moment d'inertie y r' r/w

relatif à la droite h , on aura réquation

H = A cos'a 4- B cos'p -h C cos'y — 2 ( / CDS a cos p 4- m cos a cos 7-4-/1 cos p cos 7 ),

où A , B , G représentent les moments d'inertie relatifs aux axes des coordonnées Xj y, z.

Du système des droites ou axes h, autour desquels le moment d'inertie du

corps a toujours la même valeur H.

67. Si dans l'équation précédente on regarde H comme une constante donnée, et les angles a, p, 7 comme variables, on aura évidemment l'équation de la surface conique formée par la suite des droites h autour desquelles le moment d'inertie du corps a toujours la même valeur H. Or il est facile de voir que c'est une surface conique du second ordre dont le sommet est à l'origine : mais, pour mieux reconnaître cette surface, je vais la rapporter aux coordonnées rectangles or, ^, 2.

Pour cela , je considère un quelconque de ses points pris sur la génératrice A, à une distance de l'origine marquée par

il est évident qu'on a

COSa=-7 9 COSB=-r? C0S7 = y»

et, si l'on substitue dans l'équation précédente, il vient, pour l'équation de la surface rapportée aux coordonnées x, /, 2,

(H — A)j7*H-(H — B)/'-h(H — C)z'-h2/xx-f- imxz-\-inyzz=i o,

qui appartient évidemment à une surface conique du second ordre rapportée à son centre ou sommet comme origine des coordonnées.

68. Ainsi il y a toujours dans un corps de figure quelconque, et en un point quelconque du corps ou de l'espace , une suite d'axes autour desquels le moment d'inertie du corps a toujours une même valeur ; et cette suite d'axes de moments égaux forme la surface d'un cône du second ordre.

Des axes principaux d* inertie »

69. On peut encore simplifier l'équation de la surface que je considère , en changeant les coordonnées actuelles en d'autres de même origine et aussi rectangulaires entre elles, et faisant disparaître dans l'équation transformée les trois rectangles de ces nouvelles coordonnées. Cette transformation, comme on le sait par la géométrie analytique, est toujours possible; et l'équation de la surface ne contient plus alors que les trois carrés des coordonnées : elle est

réduite à sa forme la plus simple , et la surface conique est rapportée , comme on dit, à son centre et à ses axes ou diamètres rectangulaires.

Si donc, dès le commencement, au lieu de prendre trois axes quelconques , on avait pris les trois diamètres dont je viens de parler, et qu'on eût cherché de même la surface formçe par la suite des droites d'un même moment d'inertie H, on aurait trouvé exactement la même équation , et toute réduite à la forme la plus simple. Or, par rapport à trois axes quelconques , cette équation est , comme on Ta vu , de la forme

(H — A)x*4- (H — B)/^ -f-(H — C)z'-h 2 (/.rr-h/worz -h /îJ^) = o,

oà A, B, C, /, zw, n désignent les six intégrales J{y^ -¥ **) dm^ J{x^ 4-2') dm y etc. , Jxydm , etc. , relatives aux axes que l'on considère. Mais puisque cette équation , rapportée aux trois diamètres particuliers dont il s'agit , ne doit plus contenir les rectangles xy^ xz , yz des coordonnées , il s'ensuit que , relativement à ces mêmes diamètres , on aurait trouvé les intégrales /, w , w ,• c'est-à-dire Jxydm^ Jxzdm^ Jyxdm^ toutes trois égales à zéro.

70. Donc , par la même raison qu'il y a pour une surface conique du second ordre , trois axes rectangulaires par rapport auxquels les coefficients des trois rectangles xj, xz , yz sont nuls dans l'équation de cette surface , il y a, dans un corps de figure quelconque, et en tel point de l'espace qu'on voudra considérer , trois axes rectangulaires par rapport auxquels les trois intégrales Jxy dm , Jxz dm , fyzdm , relatives à ces axes, sont égales à zéro.

Et ces trois axes , qu'on nomme les axes principaux du corps , ne sont autre chose que les trois diamètres rectangulaires de la surface conique du second ordre formée autour de l'origine , comme sommet , par la suite des droites autour desquelles le corps a toujours le même moment d'inertie..

Comment on détermine les axes principaux,

71. On peut donc déterminer la position des trois axes principaux d'un corps , exactement comme on détermine celle des trois axes ou diamètres rectangulaires d'une surface du second ordre.

Ainsi on prendra l'équation générale de la surface conique dont je viens de parler, relativement à trois axes quelconques menés par le point que l'on considère. On cherchera les valeurs des six intégrales A, B , C , /, /w , n relatives à ces axes ; et l'on donnera à H une valeur quelconque qu'elle puisse avoir, telle que H = A, ou B, ou C , ou toute autre. Cela fait, on cherchera par la transformation ordinaire des coordonnées trois nouveaux axes de même origine, et par rapport auxquels l'équation devienne de la forme-

et ces trois axes rectangulaires seront les trois axes principaux d'inertie dans le corps que Ton considère.

72. Dans une section conique plane , la recherche des deux axes dépend d'une équation du second degré : mais , dans une surface du second ordre , la recherche des trois axes ou diamètres principaux dépend d^une équa< tion du troisième degré. Ainsi , on ne peut trouver, en général , les trois axes principaux d'inertie d'un corps de figure quelconque que par la résolution actuelle d'une équation du troisième degré, ou par la trisection de l'angle.

75. Mais si l'on connaît un de ces axes, on pourra trouver les deux autres par une équation du second degré ou par la bissection de Tangle.

Car soit z un axe pour lequel on ait //i et /i, c'est-à-dire Jxzdm et Jyz dm , toutes deux nulles. L'équation de la surface conique se réduira à

celle-ci :

( H — A) X» 4- (H — B)^' 4- ( H — C) z» -+- 2 tej = o.

Or, on peut trouver dans le plan xy deux nouveaux axes x' et y\ aussi rectangulaires et pour lesquels le rectangle x^ y' des coordonnées disparaisse de l'équation transformée. Si l'on désigne par &> l'inclinaison de x' à x, on a

X z= x' cos w — y' sin w ,

y =zx' sin w -j- / ' cos « , et substituant ces valeurs dans l'équation , on trouve pour le coefficient du rectangle x'/',

(A — B) 2 sin u cos w H- 2 / (cos' w — sin' &> ) , ou bien

(A — B) sin 2W -h 2 /cos 2 w ,

lequel, étant égalé à zéro, nous donne, pour déterminera), l'équation très<simp1e

tang2a)=g— -^.

Ainsi, relativement aux trois axes x', y' et z qui sont rectangulaires entre eux , l'équation de la surface conique sera réduite à la forme

Px''-|-Qr''4-R2' = o,

et ces trois axes seront ainsi les trois axes principaux du corps que l'on considère , de sorte qu'on aura

Jx'y'dm-=.Oy Jx'zdm=zo^ fy'zdmz=.o.

On voit que les deux dernières équations s'accordent avec les deux qu'on avait supposées, savoir : Jxzdm = o, fyzdm = o : car, par la forme des expressions ci-dessus de x et y, en x' et/', ou réciproquement, il est facile de voir que J* x' zdm = o et f y' zdm = o entraînent les deux équations f xz dm = o et Jyz dm = o , et réciproquement ; et cela même , indépendamment de l'inclinaison &> de x à x'.

Propriétés des trois axes principaux,

74. Si nous rapportons toutes les particules du corps aux trois axes principaux ^ nous aurons donc , en nommant toujours H le moment d'inertie relatif à une droite h menée par Torigire sous les angles a , ^ , 7 avec ces

mêmes axes ,

H = A cos' a H- B cos' p -f- C cos' 7,

oii A, B9 C sont les valeurs des moments d'inertie du corps relatifs aux trois . axes principaux.

De cette expression très-simple, il résulte d'abord que le moment d'inertie H sera toujours une quantité moyenne entre les moments principaux A , B , C. Car, supposez qu'on range ces trois quantités par ordre de grandeur A <1 B <^ C , je dis que A est la plus petite valeur que puisse obtenir H, et que C est la plus grande.

£n effet, à cause de

cos' a -i- cos' p -h cos' 7 = 1,

on peut mettre l'expression précédente sons la forme

H=: A-h (B — A)cos*p-h (C — A)cos*7;

or(B— A) et(C — A) sont tous deux positifs par hypothèse ; donc on a

toujours

Si l'on suppose que H passe à cette valeur minimum A, il vient

= (B — A) cos> p -+- (C — A) cos» 7,

équation qui ne peut subsister, à moins qu'on n'ait

cos p = o , cos 7 = 0, et partant cos a = i ,

ce qui fait tomber h sur Taxe principal lui-même du moment A.

Ainsi, entre tous les axes qu'on peut mener par l'origine, l'axe du moment d'inertie minimum est unique, et c'est le premier axe principal.

Maintenant , si l'on met l'expression de H sous la forme

H =: C -h ( A — C) COS' a H- (B — c ) cos» p ,

on voit de même que (A — C) et (B — C) sont tous deux négatifs par hypothèse; donc on a toujours H<^C. Ainsi, la valeur générale de H est toujours intermédiaire entre A et C , comme je l'avais avancé. Si l'on suppose que H arrive à cette valeur maximum C , il vient

o = ( A — C) cos» a -^ (B — C) cos» p ,

équation qui ne peut subsister, à moins qu'on n'ait

cos a r= o, cos p = o, et, par conséquent, cos 7 = 1,

ce qui fait coïncider h avec l'axe principal du moment C.

Ainsi , Taxe du moment d^inertie maximum est aussi un axe unique ; et c*est le second axe principal du corps.

Enfin , si Ton met l'expression de H sous la forme

H=: BH- (A — B)cbs'a-h (C — Bjcos'y,

on voit que (A — B) étant négatif et (C — B) positif, la valeur de H peut se trouver au-dessus ou au-dessous de B , selon que ( C — B ) cos' 7 sera plus grand ou plus pelit que (B — A) cos' a. Si Ton suppose que H prenne la valeur B , il vient

= (A — B)cos'a-+-(C — B)cos*7,

équation qui donne simplement, entre les angles a et 7, la condition