COS7 . ^ /(B — A

égaux dont la tangente - est i / ^

cosa V (C — B)

ou bien , entre les coordonnées z et x d'un point quelconque pris sur la droite h , réquaâon

Il y a donc une infinité d'axes du moyen moment d'inertie B ; et l'on voit que tous ces axes forment deux plans conduits par Taxe principal des ^ ou du moment B, et faisant à droite et à gauche sur le plan xy deux angles

Entre tous ces axes de même moment d'inertie B, il y en a un distingué de tous les autres ; c'est celui qui est à la fois dans l'un et l'autre des deux plans dont je viens de parler, ou qui est à la fois perpendiculaire aux deux premiers axes principaux : c'est le troisième axe principal du corps.

Cet axe, comme on voit, ne jouit pas, comme les deux antres, d'une propriété de maximum ou de minimum. Il n'est pas un axe unique quant à la grandeur du moment d'inertie qui s'y rapporte, mais il est unique quant à sa position particulière entre tous ceux du même moment d'inertie B .

Équation la plus simple de la surface conique formée par la suite des axes autour desquels le moment d'inertie du corps a la même valeur, 78. Relativement aux tiois axes principaux ^, 7, z, la surface conique formée par la suite des axes h de même moment d'inertie H a, pour équation très-simple ,

où l'on vient de voir que , si A <B < C, le moment H est toujours entre A etc.

Soit , en premier lieu , H <^ B.

Si Ton coupe la surface conique par un plan perpendiculaire à or , et dont l'équation soit x=zayi\ vient ^ pour la section projetée dans toute sa grandeur sur le plan jz,

équation d'une ellipse, puisque (H — B),(H — C) et (A— H) sont tous trois de même signe.

Ainsi , tous les axes de moment d'inertie H égaux entre eux et inférieurs . à B, forment la surface d'un cône droit à base elliptique autour de l'axe principal du moment d'inertie minimum A.

Soit, en second lieu , H ^ B.

On voit de même , en coupant la surface conique par un plan perpendiculaire à z, et dont l'équation soit z = c, que tous les axes de moments H égaux entre eux , et supérieurs à B , forment la surface d'un cône droit à base elliptique , autour de l'axe z du moment d'inertie maximum C.

Enfin , si l'on suppose H = B , l'équation de la surface devient

(B — A)^'-f.(B — C)z^ = o, qui donne

ce qui répond à deux plans conduits par Taxe j du moyen moment principal , et inclinés sur l'axe x du moment minimum d^un angle dont la tan-

gente - est i /- -; ce qui s'accorde parfaitement avec ce qu'on a dit

plus haut.

Ces deux plans, dans les quatre coins qu'ils forment autour de l'axe du moyen moment d'inertie B , comprennent toute la surface du corps , ou plus généralement comprennent tout l'espace. Dans les deux coins opposés au sommet où passe l'axe du moment minimum A , tous les axes menés à la surface ont des. moments H inférieurs à B et supérieurs à A, qui est le plus petit de tous.

Dans les deux autres coins, où passe. l'axe du moment maximum C, tous les axes menés du centre à la surface ont des moments H supérieurs à B et inférieurs à C, qui est le plus grand de tous.

Enfin , dans les plans mêmes qui forment les quatre coins , tous les axes ont des moments d'inertie égaux à B.

Si l'on avait, comme cela arrive dans les corps de révolution et dans une infinité d'autres, deux des trois moments d'inertie A, B, C, égaux entre eux,

les surfaces coniques dont j*ai parlé seraient celles de cônes droits à base circulaire autour du troisième axe principal , et les deux autres plans se confondraient en un seul perpendiculaire au même axe : de sorte que tous les axes possibles menés dans ce plan seraient des axes principaux d'égal moment d'inertie.

Si Ton avait les trois moments d^nertie A, B, C égaux entre eux, comme dans la sphère et dans une infinité d'autres corps, tous les axes possibles seraient des axes principaux de même moment.