De la même relation

H' = H-hmD'

on tire encore la démonstration la plus simple d'un théorème assez curieux [*] qui peut être utile dans quelques applications.

£n donnant, pour abréger, le simple nom d'axes égaux, aux différents axes par rapport auxquels le corps a un égal moment d'inertie , on demande si , dans un corps quelconque , il pourrait y avoir quelque point ou centre autour duquel tous les axes possibles seraient des axes égaux, comme il arrive dans la sphère, les corps réguliers, etc., relativementaux axes qui partent de leur centre.

Soient donc O un tel point, s'il existe, g le centre de gravité du corps : faisons la ligne g^O == D, et menons au point O le plan MN perpendiculaire à cette ligne. Il est clair que tous les axes menés du point dans ce plan sont des axes égaux , puisque cela même est vrai, par hypothèse , de tous les axes possibles partant de ce point. Cela posé, tous les axes menés du centre de gravité g^ dans un plan parallèle à MN, seront aussi des axes égaux entre eux, comme étant à la même distance D des premiers situés dans le plan MN.

Donc , en premier lieu, le point cherché ne peut exister à moins que le corps n'ait deux de ses axes principaux , relatifs à son centre de gravité g, égaux entre eux ; et si ce point O existe, il est situé sur la perpendiculaire ^O au plan de ces deux axes égaux, et, par conséquent, sur la direction du troisième axe principal du corps. Pour le déterminer, soient A la commune valeur du moment d'inertie autour des deux premiers , et C le moment d'inertie autour du troisième g^O : on aura, pour le moment d'inertie H' autour des axes situés dans le plan MN ,

H'=rA-HwD*.

i*] Ce théorème est dû à M. Binet, qaiTa donné» en 1811, dans un Mémoire pré^ senté^à la première classe de Tlnslitut.

Mais U' devant être le même pour tous les axes qui partent du point O dans tous les sens, doit être le même pour Taxe 0^ : or autour de cet axe le mo> ment d^inertie du corps est C ; il faut donc qu'on ait

H' = C , et , par conséquent , C = A -h m D' :

d'où Ton tire, pour la distance D du point au centre g^

double valeur qui n'est réelle que dans le cas de C >• A.

Ainsi il ne peut y avoir dans un corps de centre autour duquel tous les axes d^nertie soient égaux, à moins que le corps n'ait deux de ses axes naturels égaux entre eux, et que le moment d'inertie relatif au troisième ne surpasse celui qui se rapporte aux deux autres. Mais si ces conditions ont lieu , comme, par exemple, dans un sphéroïde homogène aplati vers les pôles, ce point singulier O existe réellement , et il y en a même deux de cette nature : ils sont situés sur l'axe naturel du plus grand moment d^inertie , Pun à gauche ,

l'autre à droite du centre de gravité , et à la même distance D =r i /

de ce centre.