I. — Définitions analytiques
1. Soient O le point qui fait le centre de la rotation du corps ; O^, Oj, Oz les directions rectangulaires des trois axes principaux ; et A, B , C les trois moments d^inertie de ce corps autour des mêmes axes.
On vient de voir que , si Ton considère un autre axe quelconque 01 , on aura , en désignant par I la valeur du moment d*inertie qui s'y rapporte , l'expression
I = A cos^ > + B cos' fA + C cos' V, où X, p, V sont les inclinaisons respectives de Taxe 01 aux trois axes principaux Oj:, Ojr^ Oz,
2. Ce qu'on applelle le moment d'inertie d'un corps autour d'un axe quelconque^ n'étant autre chose que la somme des produits de toutes les molécules dm de ce corps par les carrés de leurs distances r à cet axe , on peut toujours en représenter la valeur y>* dm par le simple produit /w .K' ; en désignant par m la masse entière du corps , ou le nombre de toutes ses molécules supposées égales entre elles , et par K% le carré moyen entre tous les carrés des distances de ces molécules à l'axe dont il s'agit.
Le moment d'inertie du corps étant ainsi représenté par wK% c'est-à-dire comme le serait celui d'un point chargé de toute la masse , et placé à une certaine distance K de Taxe que Ton considère, il serait très-naturel de nommer cette ligne K le bras de levier de l'inertie , ou simplement le bras de l*inertiey autour de cet axe ; et c'est ce que nous ferons désormais pour simplifier le discours, où Ton aura soin de se rappeler que cette ligne, nommée le bras de V inertie y n'est autre chose que le côté du carré moyen entre les carrés des distances de toutes les molécules égales du corps à l'axe que l'on considère.
Ainsi , au lieu des lettres A , B , G qu*on emploie d'ordinaire pour désigner les trois moments d'inertie autour des axes principaux , je prendrai les expressions
m étant la masse du corps, et les lignes a, p, y les trois bras respectifs de l'inertie de ce corps autour des mêmes axes.
De l'ellipsoïde central des corps,
3. Dans le problème qui nous occupe, et où Ton suppose le corps libre de toute action étrangère , il suffit de connaître le point qui fait le centre de la rotation , les directions des trois axes principaux , et les trois bras de rinertie du corps autour de ces axes. Le mouvement du corps , quelle que soit sa figure , ne dépend exactement que de ces données ; et l'on peut faire abstraction de tout le reste.
Mais pour' avoir sous les yeux une figure symétrique où l'on voie clairement toutes ces données du problème , j'imagine qu'autour du point comme centre, et sur les droites Ox, 0/, Oz comme axes principaux, on décrive un ellipsoïde dont l'équation soit
a* j:' -h p* j^' -H 7* z* = R* = constante ,
R étant une ligne quelconque qu'on pourra prendre à volonté.
Si l'on nomme a, b, c les demi-axes , ou rayons principaux , de cet ellipsoïde , de sorte que son équation prenne la forme
X^ jr^ Z^
a^ 6' c' on aura , pour les valeui*s de a ^ & , c,
d'où l'on voit que les trois axes principaux de cet ellipsoïde sont réciproques aux trois bras de l'inertie du corps autour des mêmes axes. Or, ce qui est trèsremarquable, c'est que la même propriété s'étend li tous les diamètres , je veux dire que , dans cet ellipsoïde , un diamètre quelconque est réciproque an bras
lie l'inertie du corps autour de ce diamètre ; et vice versd. Ainsi , de même que le produit m -j- exprime le moment d'inertie du corps autour de Taxe
principal dont la demi-longueur est a y le produit m — exprime le moment
d'inertie autour d'un diamètre quelconque dont la demi-longueur est d. Soient, en efïet, a:'^ y\ z' les trois coordonnées de l'un des bouts de ce
diamètre; les fractions -r- , *^, •-- seront les cosinus de ses inclinaisons aux
trois axes principaux. Or, en désignant par m^ le moment d'inertie du corps, autour de ce diamètre, on a, par la formule citée ( n° I) ,
d'où l'on tire ( à cause de h t — H -
ffi a' = /il — - ou = -r- ;
ce qu'il fallait démontrer.
L'ellipsoïde que je viens de définir jouit donc de celte propriété remarquable, qu'autour d'un quelconque de ses diamètres, le bras de l'inertie du corps est réciproque à ce diamètre : et c'est cet ellipsoïde , dont la considération va jeter le plus grand jour sur la théorie de la rotation des corps , que je nommerai désormais Vellipsoïde central.
On pourrait croire qu'en cherchant la surface fermée dont tous les diamètres D , au lieu d'être en raison inverse , seraient en raison directe des bras B de l'inertie du corps , on aurait une figure aussi simple que notre ellipsoïde : mais cette nouvelle surface serait déjà du quatrième^rdre. Et en général , si l'on veut supposer, entre i) et ^, toute autre relation que celle de ^ réciproque à ^, on ne trouvera aucune surface qui ne soit d'un ordre supérieur au second. Ainsi, l'ellipsoïde central est la plus simple de toutes les figures où l'on puisse avoir, dans chaque rayon vecteur, une même fonction du bras de l'inertie du corps autour de ce rayon.
4. Quelles que soient la forme et la constitution du corps dont on étudie le mouvement, on va donc ici en faire entièrement abstraction, pour ne plus voir que cet ellipsoïde central qu'on vient de lui inscrire , et qui a ce triple avantage : de mettre à la fois sous nos yeux le centre et les axes principaux du corps ; de nous donner tous les moments d'inertie qu'on pourrait avoir à considérer, en montrant chacun d'eux, autour d'un diamètre quelconque , comme exprimé par une même fonction simple de la longueur de ce diamètre ; et enfin de nous offrir, comme on le verra plus loin , l'expression
la plus claire et la plus facile du théorème relatif à la position que prend Taxe instantané par rapport au plan du couple d'impulsion qui lui donne naissance.
La grandeur absolue de cet ellipsoïde nVst pas déterminée : car, si les bras de l'inertie a, p , 7 sont toujours donnés de longueur pour chaque corps, les lignes réciproques a, by c ne sont ici données que de proportion , puisqu*dles dépendent de la ligne R qu'on voudra choisir. Ce qu'il y aurait de plus simple serait do la prendre égale à Punité de ligne , et de poser tout de suite R = i ; car, dans nos équations , qui ne peuvent donner que des rapports, il est évident que R ne peut rester qn*en facteur commun à tous \esk termes , et , par conséquent , doit s'en aller d'elle-même comme si Ton avait fait tout d'abord R = I, Mais je garde encore un moment cette indéterminée R pour l'homogénéité de nos expressions.
6. Gela posé, copsidérons un corps qui a reçu des impulsions quelconques que nous supposerons sur-le-champ réduites à une seule P appliquée au centre , et à un seul couple G.
Si le corps est forcé de tourner sur un point fixe , on prendra ce point pour le centre O; si le corps est libre, on prendra le point O au centre de gravité du corps. Dans le premier cas, la force P sera immédiatement détruite par la résistance du point fixe , et il ne restera que l'effet du couple G à considéBer. Dans le second cas, la force P appliquée au centre de gravité O ne produisant sur le corps qu'un pur mouvement de translation , toute la difficulté se réduira de même à trouver le mouvement de rotation qui provient du couple donné G. Voyons donc quelle est cette rotation au premier instant.
