CHAPITRE II. — DÉVELOPPEMENT DE LA. SOLUTIOîi

Dans cette image si claire, que nous avons donnée, de la rotation des corps, ou voit sur-le-champ toutes les circonstances et toutes les variétés que ce mouvement peut offrir, et l'on est conduit , comme par la main , aux opérations et aux calculs qu'il faut faire, si l'on veut en mesurer toutes les différentes affections.

S4. £t d'abord, cette suite de points par lesquels l'ellipsoïde central du corps vient se mettre en contact avec le plan fixe du couple d'impulsion , étant considérée sur la surface de l'ellipsoïde , y marque la route du pôle instantané dans l'intérieur du corps; et ces mêmes points étant considérés sur le plan fixe , y marquent sa route dans l'espace absolu. On peut donc déterminer sur-le-champ ces deux lignes courbes; et, par conséquent, les considérer comme les bases de deux surfaces coniques de même sommet , Additions i854. . 5

dont Tune y mobile avec le corps, roulant sur l'autre, qui est fixe dans Tespace absolu , donnerait à ce corps le mouvement précis qui Tanime.

I. — Delà courbe décrite par le pôle instantané sur la surface de V ellipsoïde

central.

2K. Pour trouver cette courbe , qui est à donble courbure , et que je désignerai par Sj il n'y a donc qu'à chercher la suite des points par lesquels un ellipsoïde, 2l\xx rayons principaux a y b^ c, serait touché par un plan qui resterait toujours à une même distance donnée h àa centre de cet ellipsoïde : ou, ce qui est la même chose, la suite des points de contact d'un plan qui se mouvrait en touchant à la fois cet ellipsoïde , et une sphère concentrique au rayon donné h. Or, il est clair que cette courbe s est un orbe fermé, à double courbure, espèce de roue elliptique, dont Taxe ou Tessieu est, ou le rayon majeur a de rellipsoide central , ou le rayon mineur c , selon que le rayon h de la sphère est donné plus grand ou plus petit que le rayon moyen h de cet ellipsoïde.

S6. C'est, au reste, ce qu'on peut voir parle calcul le plus simple, car l'équation de la surface de Tellipsoïde étant

x^ r' a' la distance du centre au plan tangent est exprimée par

Xy y^ z désignant les coordonnées du point de contact. En égalant donc cette expression à la distance donnée A , on a cette seconde équation

d'où, en éliminant tour à tour, au moyen de la première, chacune des trois coordonnées Xy y^ z , on tire les équations suivantes :

—br-^'^—^^' = —h—^

qui donnent les projections de la courbe sur les trois plans principaux. Or, Oy by c étant toujours supposés rangés dans cet ordre de grandeur

et h étant une ligne toujours intermédiaire entre les deux rayons extrêmes d et c, il est visible que si ^ est > ^ , la courbe s donne une ellipse sur le plan principal perpendiculaire au rayon majeur a; et que, si // est <^^, elle donne une ellipse sur le plan perpendiculaire au rayon mineur c.

27. En général , on voit que cet orbe à double courbure se projette en une ellipse entière sur l'un des deux plans perpendiculaires aux axes extrêmes a et c de l'ellipsoïde central , en un arc d'ellipse sur l'autre plan ; et toujours en un arc d'hyperbole sur le plan perpendiculaire à l'axe moyen b,

28. Dans le cas singulier de A = ^ , la courbe devient plane; c'est une ellipse dont le demi-petit axe est le rayon moyen b de Tellipsoïde , et le demi-

grand axe une ligne p dont la valeur est i / a' -i- c' j-^ •

29. Et enfin, dans les deux cas particuliers de A = a et de 1f=:c^ la courbe se réduit à un point qui est ou le pôle A ou le pôle G de l'ellipsoïde central.

50. On pourrait remarquer que la courbe s est en quelque sorte double; car, tandis que le pôle instantané I décrit cette courbe j, il est évident que le pôle opposé V en décrit une autre s' parfaitement égale dans Tautre partie de l'ellipsoïde ; mais il suffit d'en considérer une seule.

51 . On voit que celte courbe à double courbure a , comme une ellipse , quatre sommets principaux où elle est divisée en quatre parties égales et symétriques , et il est évident que ces sommets sont les quatre points où la courbe traverse les deux plans principaux conduits par l'axe qui lui sert comme d'essieu : c'est en ces points que le rayon vecteur 01 atteint ses valeurs maxima ou minimay comme il est facile de le voir en cherchant le maximum de l'expression

où les variables X , j, z sont liées par les équations précédentes (i) et (2).

II. — De la courbe décrite par le pôle instantané dans V espace absolu.

52. La courbe 5 que le pôle instantané I de la rotation trace à la surface de l'ellipsoïde central , étant ainsi déterminée, il est facile de trouver la courbe c que le pôle instantané décrit sur le plan fixe. Car, en considérant l'orbe fermé s comme la base d'une surface conique dont le sommet est au centre O de l'ellipsoïde , il est clair que , pendant le mouvement du corps , ce cône tourne sans cesse autour de sa génératrice 01 en appuyant le contour de sa base sur le plan fixe , et qu'ainsi ce contour s y trace en roulant la courbe plane c que le pôle instantané décrit dans l'espace absolu. Les arcs infiniment petits do de cette courbe plane sont donc parfaitement égaux aux arcs successifs ds de cette roue mobile s qui les produit : de sorte que si l'on a l'équation de celle-ci entre

la longueur ,î de son arc et son rayon vecteur m, il suffit d'y changer s en g pour avoir Téquation de la courbe o- entre son arc o* et le même rayon u émané du centre O de l'ellipsoïde.

55. Mais comme cette courbe o- est plane , si Ton aime mieux la rapporter à des rayons vecteurs v émanés d'un 'point pris dans le plan même de la courbe, on peut choisir, pour ce nouveau centre, le pied P de la perpendiculaire abaissée du centre O de l'ellipsoïde sur le plan fixe que Ton considère;

et alors il suffit de changer u en V"ÂM^ dans l'équation dont il s'agit.

54. Le rayon vecteur p de la courbe plane o- n'étant autre chose que la projection continuelle du rayon u de la roue s dont les éléments ds viennent s'appliquer l'un après l'autre sur le plan pour former les éléments égaux de de la courbe plane a , il est clair que le rayon v va , comme le rayon u , d'un maximum à un minimum ; de ce minimum à un maximum suivant, (larfaitement égal au premier ; et ainsi de suite à l'infini : et cela par des intervalles ou longueurs d'arcs o- parfaitement égaux entre eux, et au quart de la génératrice s.

On voit donc que la courbe o- décrite par le pôle intantané dans V espace absolu est une courbe plane régulièrement ondulée autour d'un même centre j c'est-à-dire une courbe formée par une suite d'ondes égales et régulières , dont les sommets sont équidistants , et qui serpente à l'infini entre deux cercles concentriques dont elle va toucher alternativement l 'une et l'autre circonférence.

55. Si l'angle au centre, qui répond à deux sommets consécutifs, supérieurs ou inférieurs , de la courbe ondulée a, est commensurable avec quatre angles droits, et qu'on désigne par n le plus petit nombre entier de cercles que cet angle ou ce secteur mesure , la courbe a se fermera; et le pôle qui la décrit reprendra exactement sa première route après avoir fait n fois le tour entier de l'espace angulaire.

Mais , comme l'intervalle de deux sommets consécutifs de même nom ne répond qu'à une moitié de l'orbe mobile s , il est clair qu'il faut doubler ce nombre de révolutions si l'on veut que le pôle instantané se retrouve, nonseulement au même lieu dans l'espace absolu , mais encore au même lieu sur la surface de l'ellipsoïde central.

56. Si l'angle dont il s'agit n'est pas commensurable avec quatre angles droits , la courbe ondulée (t ira à l'infini sans pouvoir jamais se fermer; et le pôle instantané , qui reviendra toujours périodiquement au même lieu dans le corps, ne pourra jamais retomber en même temps au même lieu dans l'espace.

57. Telles sont, en général, les deux courbes décrites par le pôle instantaiié, l'une dans l'intérieur du corps, et Tautre d^gis l'espace absolu. Et

quoique ces courbes soient de formes si différentes, comme c'est un seul et même point qui décrit à la fois Tune et l'autre, leurs équations prises entre le rayon vecteur émané du centre O , et la longueur de l'arc décrit , sont exactement une seule et même équation.

Le cône roulant, à la surface duquel la première courbe s sert de base , est simplement un cône droit du second degré ; mais le cône fixe sur lequel il roule est un cône transcendant dont la surface ondule à l'infini autour de Taxe fixe du couple; c'est aussi une espèce de cône droit et circulaire, mais dont la surface serait, pour ainsi dire, cannelée suivant le contour régulièrement ondulé' de la courbe a qui lui sert de base.

in. — Des variétés que les deux courbes s et cr peuvent offrir dans

certains cas particuliers,

38. Ces deux courbes ne dépendent , comme on voit , que de quatre don- . nées , savoir : les trois demi-axes ou rayons principaux a, b, cde l'ellipsoïde central, lesquels sont toujours donnés par la nature du corps; et ensuite la hauteur h du centre au-dessus du plan tangent du couple , laquelle est donnée par la direction du couple d'impulsion.

Les variétés que ces deux courbes peuvent offrir, pour un même corps, ne dépendent donc que des valeurs particulières qu'on peut donner à la ligne constante h.

Or, cette ligne étant la distance du centre de l'ellipsoïde à l'un de ses plans tangents, est nécessairement intermédiaire entre le plus grand et lé plus petit rayon de cet ellipsoïde ; de sorte que les trois rayons principaux a^ b, c étant , comme on Ta dit , rangés dans cet ordre de grandeur,

on ne peut avoir à distinguer que deux cas généraux, savoir, // compris entre fl et ^ , et // entre b etc; ensuite deux cas particuliers, savoir ^ h=: a, h:z= c; et enfin , un cas que je nommerai singulier et qui est celui de h = au rayon moyen b.

Dans les deux cas généraux , les courbes * et <7 sont celles qu'on vient de décrire.

Dans les deux cas particuliers de h=r.ay h=zc, chacune d'elles se réduit à un point qui est , ou le pôle A , ouïe pôle C de l'ellipsoïde ; et le corps tourne uniformément autour de l'un ou de l'autre des deux axes principaux 2a ou '2c, lequel axe demeure immobile dans l'espace absolu , aussi bien que celui du couple G avec lequel il se confond dans toute la suite du mouvement.

39. Mais dans le cas singulier de h égal au rayon moyen b de l'ellipsoïde central , la courbe s ne se réduit pas à un point; car, sur la surface de l'ellipsoïde , outre le pôle moyen B, où le plan tangent est à une distance kz= b du

centre O , il y a une infinité d'antres points où le plan tangent peut se trouver à cette même distance b du centre de cet ellipsoïde , et la suite de ces points forme deux ellipses égales , dont les plans se croisent suivant Yaxe moyen 2 h^ et sont inclinés au plan principal {ah) d'un angle dont la tangente est

±—4/ j. -• de sorte que ces deux ellipses , qui ont pour leur commun petit axe la ligne a 6, ont pour leur grand axe une ligne

c'est ce qui se voit sur-le-champ par les équations de Torbe j , en y supposant h = b,

40. Dans ce cas singulier de A = 6 , la courbe ff est donc produite par le mouvement de Tune ^ de ces deux ellipses , dont on retiendrait le centre immobile en O, à une hauteur b au-dessus du plan fixe, et dont on ferait rouler la circonférence sur ce plan , avec lequel on Taurait mise en contact. Or il est aisé de voir que , dans ce cas , la courbe 0- décrite par le point de contact est une ligne spirale qui va en tournant autour du centre P, et s'en rapproche sans cesse , de plus près que tout ce qu'on voudra , comme d^un point asymptotiqne, sans pouvoir jamais l'atteindre. Cette spirale , considérée dans toute son étendue, est une courbe symétrique à gauche et à droite d'un certain point qui la divise en deux parties parfaitement égales. Car, en revenant sur ses pas , en faisant rouler l'ellipse en sens contraire , le rayon vecteur v revient en augmentant jusqu'à une certaine valeur

qui est son maximum; après quoi il diminue par les mêmes degrés, de sorte que son extrémité I décrit de l'autre côté une spirale parfaitement égale à la première , et qui fait comme la moitié de la courbe entière et continue ts dont il s'agit. Cette courbe a donc un sommet y à gauche et à droite duquel elle jette deux branches égales qui vont en sens contraires tourner en spirales autour d'un seul et même centre P ;^ et quoique chacune de ses branches fasse un nombre infini de révolutions autour de ce centre sans jamais l'atteindre , la longueur totale de la courbe est finie et parfaitement égale à la demi-circonférence de l'ellipse roulante qui la produit.

Le pôle I , qui décrit cette spirale de longueur finie , ne peut jamais la parcourir dans toute son étendue : quelque près qu'on le suppose déjà du centre P, dont il s'approche , il lui faut encore un temps infini pour achever le petit arc qui reste à décrire , ou , pour parler exactement , il ne pourra jamais l'achever.

Dans ce cas singulier du mouvement des corps , le pôle instantané de la

rotation est donc un point toujours nouveau , et dans le corps, et dans l^espace absolu ; je veux dire que , dans le cours infini de la rotation , le pôle ne peut jamais revenir au même lieu , ni dans le corps ni dans l'espace , quoiquUl ne décrive qu'une ligne finie , et dont la longueur serait tout au plus égale à la demi-circonférence de l'ellipse , en supposant le temps infini , non^seulement avant , mais encore après l'époque que l'on considère.

Tel est donc le mouvement du pôle quand oh suppose hzzib, c'est-à-dire quand le plan du couple appliqué touche Tellipsoïde central en un point qui appartient à l'une ou à l'autre de ces deux ellipses singulières dont nous venons de parler.

41. Mais s'il arrivait que le. plan touchât précisément au pôle moyen B où se croisent ces deux ellipses , le pôle I , qui se confondrait alors avec B et le centre fixe P, resterait parfaitement immobile , et le corps ne cesserait de tourner uniformément autour de l'axe moyen OB, comme il ferait autour de l'axe majeur OA, ou de l'axe mineur OC, si le plan du couple était tangent au pôle A, ou au pôle C de l'ellipsoïde. En effet, il n'y aurait aucune raison pour que le pôle I , qui ne peut décrire à la surface que Tune des deux ellipses dont on vient de parler, et qui tombe en ce moment à l'extrémité B de leur axe commun , décrivit l'une plutôt que l'autre de ces deux ellipses parfaitement égales et symétriques; d'où l'on voit qu'à la rigueur l'axe moyen de l'ellipsoïde central est, comme les deux autres, un axe permanent de rotation.

42. Mais ib y a cette différence, c'est que, autour de cet axe moyen, la rotation n'a point de stabilité : je veux dire que , pour peu que le pôle I , en vertu d'un petit couple étranger appliqué au corps , vienne à s'écarter du pôle moyen B, il tendra à s'en écarter davantage; s'en allant alors décrire un orbe elliptique j, soit autour du grand axe , soit autour du petit axe, selon que ce déplacement accidentel du pôle aura fait augmenter ou diminuer la distance h du plan tangent : et si le déplacement est tel , que h n'ait pas varié de grandeur, le pôle ira décrire l'une ou l'autre de ces deux ellipses singulières que nous avons considérées.

43. Il n'y a qu'un seul cas où le pôle I, étant écarté du pôle moyen B de l'ellipsoïde , tendrait à y revenir : c'est le cas où le ])ôle I serait porté sur la circonférence de l'une de ces deux ellipses du côté précis où le sens de la rotation tend à le ramener vers B.

S'il est porté sur la même ellipse, mars de l'autre côté de son sommet B, il s'éloignera indéfiniment de ce pôle moyen B , et il ira tomber, après un remps infini , sur le pôle opposé B' de l'ellipsoïde. Ainsi dans ce cas, qui est unique comme le précédent, l'ellipsoïde, qui, au commencement, touchait le plan fixe par son pôle moyen B , le toucherait à la fin par le pôle moyen opposé B'; de sorte que la position du corps se ti*ouverait entièrement lien -

versé dans l'espace. C'est le plus grand dérangement que l'impulsion d'un petit couple étranger puisse amener dans la position d*un corps qui tourne actuellement sur son axe moyen. Car, si le pôle est déplacé de toute autrç manière sur la surface de Tellipsoïde, il va décrire, comme on Ta vu, un orbe fermé s^ soit autour du grand axe, soit autour du petit axe; et, par conséquent, s*il s'écarte d'abord du pôle moyen B, il s'en rapproche ensuite, et revient périodiquement passer à la même distance de fi sur la surface, et à la même distance du centre fixe P, dans l'espace absolu.

44. Il y a encore une autre variété de la courbe «r que le pôle instantané peut décrire dans Tespace; mais elle n'est plus relative à la position du couple appliqué sur le corps, ou à la valeur particulière qu'on suppose à la ligne donnée h; elle dépend uniquement de l'espèce de ce corps, c'est-à-dire de la proportion des axes a , by c de Tellipsoïde central.

415. Si le corps est un de ceux qui ont deux de leurs trois moments principaux d'inertie égaux , il est alors de révolution, ou ce qu'on appelle un sphéroïde : sphéroïde allongé, si l'axe de révolution est plus grand que le diamètre de l'équateur; ou aplati vers les pôles, si cet axe est plus petit. Dans l'un et l'autre cas, il est évident que la route s du pôle , à la surface du sphéroïde , est un cercle autour de l'axe de ce sphéroïde ; et, par conséquent, la route a du pôle sur le plan fixe est aussi un cercle autour de l'axe du cou pie qui a mis le corps en mouvement. C'est un des cas les simples de la rotation des corps, parce que tout y est circulaire et unifoi*me. Cependant il faut encore remarquer que, si la circonférence du cercle roulant s n'est pas commensurable avec celle du cercle fixe œ, le pôle instantané ne peut jamais revenir au même lieu dans le corps et dans l'espace tout à la fois.

46. Enfin , et c'est ici le cas le plus simple de tous , si les trois moments d'inertie sont égaux, l'ellipsoïde central devient une sphère parfaite, l'axe instantané de rotation se confond avec l'axe même du couple appliqué , les

deux courbes ^ et or se réduisent à deux points qui n'en font qu'un seul) et le pôle instantané I reste immobile, et dans le corps , et dans l'espace absolu.

IV. — De ce qui fait la mesure de la stabilité pour chacun des deux axes

extrêmes de l'ellipsoïde central,

47. Nous avons déjà remarqué (n° 42 ) ce qui distingue l'axe moyen des deux axes exirêmesy sous le point de vue de la stabilité que ces deux axes peuvent offrir dans la rotation des corps. Mais pour nous faire une idée nette de cette stabilité , et de ce qui en fait en quelque sorte la mesure y imaginons la surface de l'ellipsoïde central comme coupée en quatre parties ou fuseaux elliptiques par les deux ellipses singulières que nous avons considérées, et doôt les deux plans, conduits par l'axe moyen 2 è, sont également inclinés à

Taxe majeur 2 a (l'un au-dessus, l'autre au-dessous) d'un angle a dont la tangente est

Le pôle moyen B de Tellipsoïde est donc à l'intersection de ces deux ellipses ; le pôle majeur A est au centre du fuseau dont l'ouverture est 20, et le pôle mineur C au centre du fuseau supplémentaire.

Or, en premier lieu , si le pôle instantané I de la rotation tombe sur le pôle moyen B de Tellipsoïde, il est clair que, pour peu qu'on le déplace, il va tomber dans l'un ou l'autre des deux fuseaux dont il s'agit, et décrire son orbe s autour de l'un ou de l'autre pôle principal de l'ellipsoïde. Ou bien , si on le déplaçait siir le contour même de l'une des deux ellipses , il irait décrîrQ la moitié de cette ellipse pour retomber sur le pôle moyen opposé ; ou, s'il était porté sur l'autre moitié de la même ellipse, il reviendrait aussitôt au pôle moyen même d'où on l'aurait écarté : d'où il résulte, comme on l'a dit ci- dessus, que, hors de ce cas unique de déplacement, l'axe moyen du corps n'a aucune stabilité.

Mais si le pôle instantané tombe actuellement au pôle majeur A de l'ellipsoïde, il peut être déplacé comme on voudra, dans toute l'étendue du fuseau environnant, sans cesser de décrire son orbe s autour du même pôle majeur. Et si c'est en cela qu'on fait consister la stabilité delà rotation autour de l'axe majeur, on peut dire que la grandeur de ce fuseau en est en quelque sorte la mesure. Et l'on voit de même que l'étendue du fuseau supplémentaire est la mesure de la stabilité de la rotation autour de l'axe mineur.

48. Actuellement, si l'on suppose que l'un de ces deux axes, tel que a y diffère peu de l'axe moyen, le fuseau qui lui répond est très-petit; et le fuseau supplémentaire est très-grand. L'axe peu différent de l'axe moyen a donc très-peu de stabilité , et l'autre axe en a beaucoup.

Il n'est donc point exact de dire , comme on le fait d'ordinaire , que si l'axe instantané est un peu écarté de l'axe principal qui répond , soit au plus petit, soit au plus grand moment d'inertie du corps, il s'en éloignera très-peu et ne fera que de petites oscillations pendant toute la durée du mouvement : car, si le moment d'inertie relatif à cet axe diffère peu du moment moyen , le pôle instantané, par un petit dérangement, pourra sortir du petit fuseau où il est actuellement , pour tomber dans le fuseau voisin et y aller décrire son orbre s autour de l'autre axe; ou même, s'il n'est déplacé que dans l'intérieur du petit fuseau qui lui répond , il peut encore y décrire un orbe s étroit et fort allongé, et, par conséquent, faire de très-grandes oscillations de part et d'autre du pôle principal d'où on Ta écarié.

Dans les corps où l'un des moments extrêmes d'inertie diffère peu du moment moyen , et, par conséquent , où l'ellipsoïde central du corps est presque de révolution autour de l'un de ses axes, la stabilité de la rotation n'est donc

vraiment assurée que pour cet axe. C'est le cas de la Terre, dont la rotation est très-stable autour de son axe actuel , et le serait très-peu autour du troisième axe qui , comme on le sait, diffère très-peu de Taxe moyen.

Si cette différence est tout à fait nulle, en sorte que Tellipsoïde central du corps soit exactement de révolution , il n'y aura de stable que Taxe de ce sphéroïde; car il est clair qu'aucun des autres axes principaux (qui sont ici tous les diamètres de Téquateur) ne peut avoir de stabilité. £t en effet, si le pôle instantané tombe actuellement sur Téquateur, et que, par une cause quelconque , il en soit un peu écarté à gauche ou à droite , il ne restera plus immobile; mais il ira décrire sur la surface de l'ellipsoïde un cercle x, parallèle et presque égal à l'équateur : d'où l'on voit que le pôle instantané aura dans le corps un mouvement très-considérable. Mais, d'un autre côté, il est bon de remarquer qu'il n'en aura qu'un très- petit dans l'espace absolu; carie cercle fixe (7, qu'il décrira dans l'espace , aura pour rayon la très-petite distance IP de ce pôle I au pied P de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en I. Ainsi l'axe instantané 01, qui , dans le corps , décrira la surface d'un cône très-ouvert et presque plan , ne décrira dans l'espace qu'un cône de base très-petite, et paraîtra ainsi comme immobile dans l'espace absolu.

Il n'y a qu'un seul cas d'exception à cette instabilité d'un axe principal situé dans le plan de l'équateur : c'est celui oi\ le pôle instantané serait porté du point de l'équateur où il est actuellement^ en un autre point du même équateur; car alors il y resterait immobile , comme il aurait fait dans sa première position si on ne l'en avait point écarté.

49. Enfin, si les trois axes principaux du corps sont égaux entre eux , et que l'ellipsoïde central devienne ainsi une sphère parfaite , tous les axes sont également stables , ou en quelque sorte indifférents à tout déplacement accidentel qui pourrait survenir. Car, si l'axe instantané est porté du lieu où il est, dans un autre , il y reste, et redevient immobile et dans le corps et dans l'espace absolu.

V. — Des noms qu'on pourrait donner aux deux courbes s et o* décrites par

le pôle instantané de rotation,

iJO. Si Ton considère un corps pesant , de telle figure qu'on voudra, qui ait été lancé d'une manière quelconque dans l'espace , et qu'on fasse abstraction du mouvement progressif qui l'emporte, pour ne plus voir que la rotation de ce corps sur son centre de gravité , il est clair que cette rotation est exactement la même que si le corps était libre , ou dépourvu de toute pesanteur : car les forces parallèles de la gravité , qui agissent à chaque instant sur les molécules de ce corps, se réduisant toujours à une force unique qui passe par le centre , il n'en résulte aucun couple accélérateur qui puisse altérer la rotation du corps autour de ce point. Il ne reste donc^

pour faire varier Taxe instantané, que le seul couple g dû aux forces centrifuges qui naissent de la rotation même , comme dans le cas d^un corps entièrement libre de toute action étrangère.

On voit donc que les courbes 5 et c que le pôle instantané décrit, Tune sur Tellipsoïde central du corps, ou dans Tespace relatifs l'autre sur le plan fixe du couple, ou dans l'espace absolu y sont deux courbes remarquables que la nature nous offre à chaque instant dans le mouvement des projectiles; et, par cette raison naturelle, il nous senàble que chacune d'elles mériterait d'avoir un nom , aussi bien que la courbe décrite par le centre de gravité du corps, et qui est, comme on le sait, une parabole.

Je proposerais donc de donner à Tune et à l'autre le nom. de polhodie [^], en appelant la première s la polhodie relative , et la seconde 0- la polhodie absolue. Ou , si Ton voulait distinguer ces deux courbes par leur forme particulière , on donnerait à l'orbe elliptique et fermé s le simple nom de polhodie; et, à la courbe plane et ondulée a-, celui de herpolhodie[*'^'\ , afin de rappeler, avec l'idée du pôle qui* la décrit, cette propriété qu'elle a de serpenter en circulant autour d'un centre fixe.