VI. — Équations différentielles de ces courbes

Kl. L'équation de la polhodie est facile à trouver : car, x ^ y^ z étant les coordonnées du pôle qui décrit l'orbe 5 à la surface de l'ellipsoïde central , on a d'abord (n«» 88)

et, par hypothèse,

en désignant par u le rayon vecteur émané du centre.

Ou bien , si l'on tire de ces trois équations les valeurs séparées de a;% ^% z% on a ces transformées équivalentes :

[ '*] Route du pôle, de «r6\oc et oVoc.

[**'\ Rouie serpentante du pôle, detfTrcû, Suivant les règles précises de Pétymologie , il faudrait dire polherpohodie ; mais , pour plus de simplicité, et surtout plus d^euphonie,. Il vaut bien mieux s'en tenir à la première dénomination.

Or, qu'on différentie ces éqiiatioDS , et qu'on en lire les valeurs de </x, dy, dz en uetduj pour les substituer dans l'expression

ds = ^dx^ + dy^ -h dz^,

et l'on aura, entre les variables "setu^ l'équation cherchée de la polhodie s»

Si, dans cette équation, on change simplement ds en //œ, et u^ en u^ H- //%

ce qui donne

uduz=z p dvy

on aura l'équation de l'herpolbodie entre son arc (7 et le rayon vecteur f , émané du centre P de cette courbe plane.

Enfin , si Ton nomme ^ Tangle que le rayon vecteur v fait avec une droite ÛTLe quelconque menée dans le plan de cette courbe, on aura évidemment l'équation

de sorte qu'en y mettant , au lieu de dtj^ son expression en v et dv^ tirée de la précédente, on aura l'équation de Pherpolhodie entre son rayon verteur v et Pangle ^ qu'il décrit autour du centre ; ou ce qu^on appelle l'équation polaire de la courbe.

Tous ces calculs n'ont, comme on voit, aucune difficulté; mais, avant de les développer, il est bon d'employer quelques abréviations analytiques que j'indiquerai tout à l'heure , et de commencer surtout par une remarque essentielle sur les premières données de notre analyse.

Remarque I. — Sur les données de cette analyse,

S2. Les trois premières sont les rayons principaux a, 6, c de Tellipsoïde

central ; et ces lignes sont toujours données par la nature du corps , puisque

ce sont trois lignes réciproques aux bras de l'inertie de ce corps autour de

ses trois axes principaux. Nous les supposerons toujours rangées dans cet

ordre de grandeur

Il est évident que a est le plus grand de tous les rayons de rellipsoîde, et qu'il est unique; que c est le plus petit, et qu'il esfc unique; qu'enfin 6, perpendiculaire au plan de ces deux-là, est un rayon moyen qui est aussi unique, mais seulement par sa position , et non point par sa grandeur : car il est aisé de voir qu'il y a dans l'ellipsoïde une infinité de rayons de même grandeur by et que ces rayons égaux forment les deux plans singuliers qui donnent les deux secLions circulaires de l'eUipsoïde; sections inclinées, au plan [ab)y

c I c^ — h^ d'un angle dont la tangente est ± - i / rr- ^ (i'® partie, n® t4 ).

Actuellement, parla définition même de l'ellipsoïde central ^ les trois ma-

ments principaux d'inertie du corps sont entre eux comme les trois quantités

— 9 7T ) - 9 et sont ainsi rancés dans l'ordre a^ b* c' ^

Maisj par la nature des moments d'inertie d'un corps autour de trois axes

rectangulaires, il est clair qu'un quelconque de ces moments est toujoure

plus petit que la somme des deux autres. Or, d'après l'ordre qu'on vient

d'établir, cette condition d'inégalité se trouve déjà exprimée pour chacun des