Pour abréger les calculs, je ferai

où je remarquerai d'abord que les trois quantités désignées par a', p% 7* sont toujours positives.

Car, en premier lieu, à cause de A' toujours > c% il est clair que a} et p' sont toujours positifs. Ensuite, comme on doit avoir (n® 52)

on a, par conséquent,

^'>«»Z>':(fl'-f-^'),

et il en résulte que la troisième quantité 7* est aussi positive ; car, en donnant à A' une valeur quelconque qu'elle puisse avoir, et que je représente par

il vient

toujours positif.

Ainsi , a , ^ , 7 seront toujours trois lignes réelles comme les rayons Oy b, c de Tellipsoïde central : la dernière seule 7 peut devenir nulle, et le devient

dans le cas particulier àe h-=ab \ \/a^ H- ^' > ce qui est au fond le cas de

hz= Cy puisque c est nécessairement compris entre h et ab : ^a- -f- b^.

57. Maintenant, si Ton prend les différences de la quantité p- à chacune des deux autres a' et 7*, on trouve

d'où l'on voit que p est toujours la plus grande des trois lignes cl y p, 7. Si Ton prend ensuite la différence entre a* et 7% on trouve

différence qui est positive ou négative, selon que h est plus grand ou plus petit que b.

Les trois lignes a, p, 7 sont donc toujours rangées ainsi quMl suit :

I**. Pour h^by dans cet ordre : P > 7 > a ; 2°. Pour h<^by dans celui-ci : p ]> a ^ 7-

Remarque II. — Maxima et minima des rayons vecteurs de la polhodie,

58. Les trois lignes a, p, 7 ne sont pas seulement propres à simplifier les expressions de notre analyse , mais elles ont encore une signification remarquable dans le problème qui nous occupe.

£t, en efTet, par les trois équations précédentes de l'orbe j, entre le rayon vecteur u et chacune des trois coordonnées Xy jr, z, il est aisé de voir que p est le plus grand des rayons vecteurs u qui vont du centre à cet orbe ou polhodie j. Car, i^ en faisant ix=p, ces trois équations sont satisfaites, et ne con^pisent qu'à des valeurs positives de a:', j% z^; mais, 2° toute valeur de a ]>• p rend l'j' négatif y et, partant, Vy imaginaire, et ne peut ainsi appartenir comme rayon à Vorbe s.

Le rayon u = p est donc le rayon maximum; et, comme il répond à X=zOy on voit qu'il tombe toujours dans le plan principal de Tellipse moyenne (ac).

Quant au rayon minimum , il faut distinguer deux cas :

1°. Si A > ^, ce rayon minimum est la ligne 7 ; car toute valeur de « <[ 7 conduirait à s' négatif, et, partant, à z imaginaire. La ligne 7 est donc alors le rayon minimum , et comme il répond à z = o , on voit qu'il tombe dans le plan de l'ellipse majeure {ab ).

Enfin , dans ce même cas de h^b, on voit que la troisième ligne a ne peut appartenir comme rayon à aucun des points de Torbe s : car, en prenant la différence entre h} et a% on trouve

/,. a» = i^lziilli^lufl) .

d'où il résulte , à cause Ae h^b par hypothèse, que la ligne a est alors <^ A,

et, par conséquent , ne peut être un des rayons de l'orbe s,

2°. Si A <^ ^, c'est au contraire la ligne a qui e^t le rayon minimum , lequel

répondant à j: = o, tombe dans le plan de l'ellipse mineure ( bc) ; et l'autre

ligne 7, qu'on trouve alors <^A, ne peut appartenir comme rayon vecteur à

aucun point de l'orbe s.

Suite des abréviations,

^9. Nous emploierons les trois lettres « , c'y e'\ pour désigner les excentricités respectives des ellipses principales {ab)^ [^^)y l^^)» ^^ l'ellipsoïde central.

Mais, comme les carrés a', ^% c^ sont rangés dans cet ordre a^ ]> ^']>c% si Ton commencé par poser a^ — b^z=, e', et puis b^ — c' = ^'% il faut, pour avoir de la symétrie dans les calculs, suivre encore le même ordre, et prendre ainsi , non pas a^ — c% mais c^ — a^z=z e"^. Seulement, comme on a r'<;^<2% il faudra se rappeler que ce n'est point ^"% mais bien — ^"', qui représentera le carré de l'excentricité de l'ellipse moyenne {ac).

Nous poserons donc, pour la symétrie des expressions,

fl' — ^' =:z e\ b^-^c^ = e'\

et nous ferons le produit

e^ e'^ e"' z=: — 8\ Relations entre les quantités désignées par a% p% 7% ,e\ e'% e"^ 60. Par les abréviations qui précèdent , les trois équations ( A ) , ( n° S 1 ) ,

qui ont lieu entre u et chacune des coordonnées x, j, z de Torbe s, prennent cette forme très*simp]e :

e'z' = c'e^u^ — y^y Or ces équations, étant ajoutées ensemble, donnent

donc , à cause de

on a ce$ deux premières relations ,

a* <?'2 , ^4 gf^2 ^c'e^z= s%

Si Ton divise respectivement les trois mêmes équations (A), lapremièn par a\ la seconde par h\ la troisième par c\ et qu'on ajoute, on trouvera

donc, à cause de

le premier membre se réduit à e% et, par conséquent, le second membre devant aussi se réduire à g% quel que soit «, il faut qu'on ait ces deux nouvelles relations j

Les mêmes équations étant divisées respectivement, la première par «< la seconde par ^% la troisième par c*, donnent

donc, à cause de

le premier membre se réduit à — 5 et, par conséquent, le second devant se réduire aussi à -j-^ quel que soit a , on a ces deux nouvelles relations.

Additions i854.

Ainsi, en employant, pour abréger, le signe somme z, on a les six reh tions suivantes :

(3) 2û»e'»a»= — e% (4) Zû»e'» = 0,

qui serviront à réduire les expressions.