CHAPITRE PREMIER. — développement des calculs pour

LA DÉTERMINATION DU LIEU DU CORPS AU BOUT d'uN TE3IPS DONNÉ.

A . Si , dans les trois équations différentielles ( i ) , ( 2 ) , ( 3 ] du chapitre précédent , on remet , au lieu des lettres A , B , C qui représentent les trois

moments principaux d'inertie, les expressions m — » m —9 m — relatives à

l'ellipsoïde central du corps; si l'on intègre les deux premières (i) et (2) et

qu'on y mette les deux constantes F et G' sous la forme m-r- eim} t— r-» ce

qui est permis , on aura les trois équations

= constante

= constante

-hr»)-

d'où la lettre m , qui répond à la masse du corps, et la lettre R , à la grandeur de l'ellipsoïde central y auront entièrement disparu, comme cela doit être : car il est évident que les moments d'inertie du corps A, B, C, la forvc vive I G', le couple d'impulsion G sont des quantités homogènes qui peuvent toutes être mises sous cette même forme du produit m R^ divisé par le carré d'une ligne ou le rectangle de deux autres.

2. Et maintenant , si l'on fait les lignes kpy kqy kr respectivement égales à •^j J> 2 > il viendra , pour les équations du mouvement de rotation , les trans-

formées suivantes

où Ton suppose, pour abréger,

Dans ces équations , il est visible que a:, 7, z sont les coordonnées du pôle instantané à la surface de Tellipsoïde central dont les rayons principaux sont a y b, C'y que la ligne constante h est la hauteur de ce pôle au-dessus du pian du couple d'impulsion ; A, la ligne constante dont la fonction i : P représente la. force vive lô' du système : d'où résulte (à cause de 10' = G0 cos i) , que la grandeur du couple G se trouve ici représentée par 1 : AX-.

5. Cela posé, les équations finies (1), (2), (4) donnent, comme on Ta

déjà vu dans la seconde partie de ce Mémoire , et en employant les mêmes

abréviations ,

Ensuite, les équations (i) et ( 2) , étant différentiées et combinées avec Téquation différentielle (3), donnent

A. Si l'on ajoute ces trois dernières équations, et qu'on y mette, au lieu de x% j% z% leurs valeurs données par les trois précédentes , on trouvera

d'abord (à cause de a:' 4- ^* 4- z' =: s"^) l'équation

s^ ou

additions i854. 7

et , réduisant le second membre , exactement de la même manière qu'on Ta fait (seconde partie, n® 65), il viendra

fl' b^ c^

— (a^ ^» 4- ^' c» -4- <•» flM -h 2 — z

ou, en employant, pour abréger, les mêmes lettres qu'au n*» 61; faisant de

plus , I

et tirant la racine carrée de part et d'autre , on aura

Telle est, en fonction du rayon vecteur u^ Texpression très-simple de la vitesse — avec laquelle le pôle instantané décrit son orbe 5 à la surface de

Pellipsoïde central , et décrit en même temps la courbe a sur le plan du couple d'impulsion , qui demeure fixe dans l'espace absolu .

15. Pour avoir cette vitesse -^ = -r- en fonction du temps r, il faut donc

at dt

maintenant chercher l'expression àeuent^ or c'est ce qu'on peut obtenir par

un calcul très-facile. Car, comme on a (à cause de a' = x^ 4-^' 4- z^)

uu r=: XX 4- y y 4- zz ;

si l'on met, au lieu de x, /, z, x, j, z, leurs valeurs données plus haut,

on trouvera

d'où l'on tire , à cause de I «< <?'* = «% et de ec' e" = e' V^ — i, et en se servant des dénominations du n^ 61 ,

du sT^ \/a« — Pa«4-Qtt' — R (U) „ ou ^=--^

Telle est , en fonction de u , l'expression de la vitesse avec laquelle le pôle instantané se rapproche ou s'éloigne alternativement du centre de Tellipsoïde central , et oscille ainsi, suivant le rayon vecteur u , dans la partie qui s'étend du maximum au minimum de ce rayon ; partie qui est ^ — a quand // est <^ ft, et p — 7 quand A est ]>• ^.

6. Si , entre cette équation (U) et la précédente (S) , on élimine le temps / , ce qui se fait ici très-simplement en divisant, membre à membre, l'une par

l'autre on aura, en s et u, l'équation différentielle

du y/,^e Ptt4 4-Qtt» — R

ce qui est exactement la même équation qu'on avait trouvée directement pour la polhodie (seconde partie, n® 65). On pouvait donc se borner ici à calculer

une seule des deux expressions 3- 5 -r- ; car, en la comparant à celle de — 9

dt dt du

qui nous était déjà connue , on aurait trouvé l'autre : mais i! est toujours bon

de confirmer les résultats du calcul.

7. Quant à l'imaginaire y — 1 que l'on voit dans les deux premières expressions , elle n*y est qu'en apparence ; car les deux polynômes

M< — Pa»-f-H et a» — Pm' -4-Qa» — R

sont ici essentiellement négatifs, à cause du rayon vecteur « toujours plus

petit que la ligne p , et toujours plus grand que chacune des deux autres

a et 7.