II

8. Maintenant, l'équation différentielle (U), qui ne renferme que les deux variables u et f , étant mise sous la forme

k 2 udu

dt:= ~ •

2 sj{u'—a}){^^ — u') {u^ — y'f

se ramène immédiatement aux quadratures.

On aura donc en intégrant , et déterminant la constante arbitraire de manière que le temps t commence quand le rayon vecteur u est à son maximum 6,

/désignant ici une certaine fonction de u^ ; et de là, par la fonction inverse que je désignerai par/, , on tirera

où il est évident que/i sera une fonction périodique du temps t.

Ainsi, quoique le temps t croisse à l'infini , la valeur de cette fonction ne peut s'étendre que depuis le maximum de a', qui est toujours p% jusqu'à son minimum qui est , ou 7% ou a' selon qu'on a A >• ou <^ ^.

En désignant donc par t le temps que le pôle I met à passer d'un sommet de son orbe s au sommet suivant, temps exprimé , dans le premier cas, par

et dans le second , par

iOO

si Ton demande la valeur du rayon u au bout d*un temps quelconque , on

pourra commencer par ôter de ce temps donné tous les multiples de ^z qui

y seraient contenus , et conserver seulement le reste , qui ne pourrait être que

de la forme

ty ou ^+T, ou f-h2T, ou r-+-3T,

selon que le pôle I serait dans le premier, le deuxième, le troisième ou le quatrième quart de son orbe s,

9. Connaissant la valeur de «' en r, si on la suppose substituée à la place

de u^ dans Téquation

ds=: -- JPu^ — M* -i- H,

on aura par une nouvelle intégration , et en déterminant la constante arbitraire de manière que Tare s commence avec le temps /,

équation où il faut observer qu*on doit mettre le temps donné t pris dans toute son étendue , et non pas diminué des multiples de 4 1* qnUl pourrait contenir, comme il était permis de le faire dans l'expression précédente de u'. Ayant aussi le rayon u et Tare <t en fonction de ty on en pourra conclure la position du corps au bout d*un temps quelconque r, comme on Ta fait voir à la fin du chapitre précédent.

10. Mais ces intégrations ou quadratures ne peuvent se faire ni algébriquement, ni par des arcs de cercle ou des logarithmes; elles demandent essentiellement l'emploi des transcendantes elliptiques ; de sorte que le lieu du corps au bout d*un temps quelconque donné ne peut, en général, se calculer que par la voie des séries, ou au moyen de certaines Tables qu'on aurait construites pour ces fonctions supérieures.

Dans certains cas particuliers, relatifs soit à la direction du couple d'impulsion , soit à l'espèce du corps ^ la difQculté s'abaisse , et tout se réduit aux règles ordinaires, comme nous le ferons voir un peu plus loin.

III. — Changement des variables s et u dans les formules qui précèdent,

H. Si, dans les expressions précédentes de y? —5 on changea en c, et a' en p^ 4- /*', ce qui donne uu = w^ on aura les formules nouvelles

li» = Ili [(p» + h'f — P (P» -f- h'Y -h Q (c' -+- //») — R 1 5

où V est le rayon vecteur allant du centré de la courbe au pôle instantané qui la décrit.

12. Or, en nommant cp l'angle que ce rayon v fait avec une droite quelconque fixe située dans le plan dé cette courbe cr , on a évidemment

Mettant au lieu de cr' et f^ leurs valeurs ci-dessus, et multipliant tout par P c% il vient

+ [{i>' -f- PY — P (i^^^- h'Y -h Q (t'' + P) — R], ou bien , en développant les binômes , et ordonnant le second membre par rapport à p ,

,, .-, Vh^i^'-^i^h^ — PP-^q — II) i>n 'P L +(^6 — P/i^-f-Q//»— R) J

Maintenant , si dans le terme ( 2. h* — P /i^ + Q — H) c^', on met , au lieu de P h^

sa valeur 2 A /^' — B , et au lieu de Q — H sa valeur ? on trouvera

réqualion