X- V< ç' = /i» 1>* + 2 ; //(^'-h(/i«— P/i<4-Qi^^ — R

et en posant, pour abréger, comme on l'a déjà fait (seconde partie, n® 61),

h' — Ah' 4- B/i» — C, ou {h^ — a') {P — b'){h^ — c') = D, ^« PA<+Q/i» — R, ou (//» — a=»)(A'— p')(/*' — 7^) = A, €t observant qu'on a, entre D et A, la relation

on aura l'équation

^=Âï'

OÙ il est évident que le second membre est le carré parfait du binôme Af' 4- — • 15. Ainsi Ton a, en extrayant la racine carrée de part et d'autre,

d'où, en dégageant y et remettant pour D sa valeur

{h'-^a'){P-'b'){h'--c'), on tire

do h (P'^a'){P — b')(h''-c')

o ou -p = 7 + . •

^ dt k kh^v^

Telle est l'expression la plus simple de la vitesse angulaire avec laquelle le pôle instantané de rotation tourne autour du centre de Therpolbodie <r; cette vitesse, comme on le voit, est composée d'une partie constante, et d'une partie variable qui est réciproque ait carré du rayon vecteur p, et , par conséquent , périodique comme ce rayon.

14. Si Ton divise cette expression de -j- par celle de — > donnée plus haut

(n® II), on aura l'expression de -~ en fonction de p, c'est-à-dire l'équation

différentielle de la courbe plane ex , entre son rayon vecteur p et l'angle ^ que ce rayon décrit autour du centre de celte courbe (t; celte équation sera donc

c|jP Ap*-4-v^A

ce qui s'accorde parfaitement avec l'équation polaire de l'herpolbodie telle qu'on l'a trouvée directement (seconde partie, n* 66).

On peut remarquer que cette équation ne renferme que les quatre constantes a, b y c et hy dont les trois premières sont relatives à l'espèce du corps, et la quatrième ^, à la position du couple d'impulsion. Et il est clair que la constante k n'y doit pas entrer, puisque la courbe décrite par le pôle instantané ne peut dépendre de la grandeur i\ hk àw couple qui a frappé le corps , ni par conséquent de la constante k qui répond aux forces vives : la courbe est décrite plus ou moins vite, mais elle est toujours la même pour les mêmes données a y b y cet h,

i!6. On peut employer, si l'on veut, ces nouvelles variables p et y, au

lieu des précédentes , pour avoir la position du corps au bout d'un temps

quelconque t. Car, en intégrant la première équation qui donne l'expression

dtf de -j en fonction de p, et faisant commencer le temps t avec le rayon vecteur

p = V'p'— h\ on aura , comme plus haut (n** 8) ,

r=/(.^-4-A')-/(p'), ou

De cette valeur p' on conclut celles des trois coordonnées j? , y-y zàn pôle instantané à la surface de l'ellipsoïde central , puisque chacune d'elles XyjyZ est donnée en a' (n® 5), et, par conséquent , en p' -h A* : on a donc déjà la position de ce pôle sur l'ellipsoïde central.

Mettant ensuite cette valeur de p^ en t dans la seconde équation qui donne

— en fonction de v^ et intégrant , en faisant commencer Tangle ^ avec le temps r, on aura

ce qui donnera la position du pôle instantané sur le plan fixe du couple d'impulsion : et de là on pourra conclure la position du corps dans l'espace absolu au bout du temps t.

Mais, quelques coordonnées qu'on emploie, l'intégration ramènera toujours , ce qui est ici fort naturel , à la théorie des fonctions elliptiques : théorie aujourd'hui très-connue , et à laquelle je renvoie le lecteur, ))our ne pas , m'écarter du principal objet de ce Mémoire. Je me bornerai donc à quelques' exemples où les quadratures se font par les règles ordinaires.

Application des formules à quelques cas particuliers qui n'exigent pas l'emploi

des transcendantes elliptiques, I. — Cas particuliers relatifs à la position du couple d'impulsion.

16. Il est presque inutile de s'arrêter au cas particulier de h = a; car il n'y a, sur la surface de l'ellipsoïde central , qu'un seul point où le plan tangent puisse être à une distance h=. a du centre de cet ellipsoïde. On a donc alors u = a j et le corps tourne constamment, avec une vitesse angulaire Oz=a : Ay autour de son axe majeur a , lequel se confond avec l'axe du couple d'impulsion et demeure immobile et dans le corps et dans l'espace absolu.

Il n'y a ici qu'une seule remarque à faire : c'est que le pôle instantané I

étant immobile, il semble que la vitesse angulaire -~^ de ce pôle autour de l'axe du couple devrait être nulle, aussi bien que sa vitesse absolue —, et

non pas égale à la quantité finie - que donne l'expression générale de --

quand on y fait h =ia. Mais il faut observer que la vitesse angulaire d'un point autour d'un centre fixe est une quantité qui ne dépend pas de la distance de ce point au centre que l'on considère. Ainsi, quoique le rayon vecteur V du pôle I soit ici égal à zéro, et que ce pôle soit réellement immobile,

on n'en peut pas conclure que sa vitesse angulaire — soit aussi égale à zéro ;

et voilà pourquoi on la trouve égale à la quantité finie « : X-. Et l'on peut bien voir d'ailleurs que cette valeur est la véritable; car, dans notre analyse,

où la grandeur du couple d'impulsion est exprimée par -yr, et le moment

fin

d'inertie du corps par -;, il est clair que le quotient j exprime la rota-

lion 0, c'est-à-dire la vitesse angulaire d'un point quelconque de ce corps, et, par conséquent, celle du point particulier qui fait le pôle lui-même.

On peut dire exactement les mêmes choses dans le cas particulier de A = 6', c'est-à-dire quand le plan du couple sera donné tangent au pôle mineur de l'ellipsoïde : il n'y a qu'à changer a en c.

Mais il n'en est pas de même dans le cas singulier de h égal à Taxe moyen b ; car, outre le pôle moyen B , il y a sur l'ellipsoïde une infinité de points I où le plan tangent du couple peut être à la même distance ^ = ^ du centre de cet ellipsoïde ; et cette suite de points forme les deux ellipses singulières dont j'ai précédemment parlé (seconde partie , n" 68) , et sur l'une desquelles le pôle • instantané I peut se mouvoir dans toute la suite du temps. C'est ce qu'il est bon de développer.

Solution dans le cas singulier de h = b.

17. Si l'on suppose hz=: h, on trouve d'abord ces réductions,

et l'équation différentielle du n° 8 devient