II. — Cas particuliers relatifs à l'espèce du corps
L'ellipsoïde central du corps peut être un sphéroïde elliptique allongé , ou aplati vers les pôles , ce qui convient à tous les corps de révolution , et à une
infinité d^autres où le corps a deux de ses trois moments principaux dînertie égaux entre eux; et, enfin, l'ellipsoïde central peut être une sphère parfaite, ce qui convient, non-seulement aux corps sphériques ou réguliers, mais encore à une infinité d'autres.
19. Soit d'abord le cas d'un sphéroïde allongé, c^est-à-dire le cas de
è =r c; on trouve alors
a' = P' = 7^ rr ^^ = constante ,
et, par conséquent,
p' = S' — h^ = ^ ^r^ •' = constante :
d'où l'on voit d'abord que la vitesse angulaire du corps autour du rayon instantané m , et la vitesse angulaire Osini autour du rayon p, sont toutes deux constantes , et respectivement égales à
= Ç , sm I = .^-1-
On trouve ensuite, i°. que la polhodie s est un cercle décrit autour de l'axe du sphéroïde, d'un rayon p exprimé par
et que la circonférence en est parcourue par le pôle instantané 1 avec une
ds vitesse uniforme — dont la valeur est
dt
ds ^ b' \U^'—h\s/h^— b\ dt'~'Jk 11 '
d'où résulte, en divisant —■ par le rayon p, la valeur
v/«^ — b\\lh'' ■— b'
pour la vitesse angulaire de ce pôle autour de l'axe du sphéroïde. 2°. Que l'herpolhodie o- est un autre cercle d'un rayon
ou
et que la circonférence de ce cercle décrit autour de l'axe fixe du couple d'impulsion est parcourue avec une vitesse uniforme — parfaitement égale
à la précédente — ; d'où résulte, en divisant — ou — par le rayons, le quo-
tient — pour la vitesse angulaire du pôlel autour de Taxe fixe dans Tespace
absolu : valeur qui s^accorde parfaitement, comme cela doit être, avec celle
que donnerait l'expression générale de -^ si Ton y faisait h r=: c.
On voit donc qu*ici tout est uniforme et circulaire, et qu'il n'est, pour ainsi dire , besoin d'aucune intégration ; car on a immédiatement
en faisant commencer l'angle y et les arcs 5 et o- avec le temps t,
20. Dans le cas particulier de 6 = a , ce qui répond au cas d'un sphéroïde
central aplati vers les pôles, on trouverait , mutatis mutandisy des expressions
toutes semblables aux précédentes.
Si. Enfin , si l'on avait les rayons extrêmes aelc égaux entre eux , ce qui
entraînerait l'égalité des trois rayons a, 6, c et de la ligne A, il n'y aurait plus
rien qui ne fut, pour ainsi dire, évident de soi-même. Le corps tournerait
constamment autour d'un même diamètre 2 a avec une vitesse angulaire
=r fl : /'.
Il faut toutefois se rappeler que ce cas si particulier de
convient, non-seulement aux corps homogènes qui sont sphériques, ou réguliers , mais encore à une infinité d'autres de constitution quelconque.
22. Soient toujours le centre du corps; OG Taxe du couple d'impul- Fic.ar, sion ; 01 l'axe instantané de la rotation G, et / l'inclinaison mutuelle de ces. deux axes.
On peut toujours supposer qu'à chaque instant dt la rotation Ô soit décomposée en deux : l'une autour de l'axe OG du couple, et l'autre autour d'une droite OT perpendiculaire à OG, dans le plan des deux axes OG et 01.
Or, par la première ratation Ô cosi autour de OG, cet axe OG reste immobile dans le corps et dans l'espace ; mais par la seconde d sin i autour de OT, il y a une certaine ligne OG' du corps qui vient se placer sur OG dans l'espace : de sorte queOG, qui est réellement fixe dans l'espace, paraît décrire un angle GOG' dans l'intérieur du corps. Or c'est le plan de cet angle infiniment petit, et dont la valeur est évidemment
GOG'= Osin/.^r,
qui forme Télément de la surface conique tracée par Taxe OG du couple dans l'intérieur du corps.
25. La ligne OT, qui est perpendiculaire au plan de cet angle, est donc normale à la surface de ce cône. La suite des normales OT correspondantes à toutes les positions de la génératriceOG forme donc , dansTintérieur du corps, une autre surface conique , de même sommet, normale à la première. £t il est évident que ces deux cônes, que je représente, pour abréger, par (OG) et (OT), sont, en quelque sorte, réciproques Tune de l'autre : car les généra-, trices de l'un peuvent être regardées comme la suite des normales à la surface de l'autre.
24. On trouve aisément (seconde partie , n° 76 , corollaire VII ) que la surface conique , décrite par l'axe OG du couple , a pour équation
on peut donc en conclure que l'autre surface conique, décrite par OT toujours normale à la première , a pour équation
-h TT : = o.
fîi — a- h^ — b^ li"
2S. On voit donc :
Que ces surfaces sont celles de deux cônes droits, à bases elliptiques, autour d'un axe commun qui est, ou le grand axe a, ou le petit axe c, de l'ellipsoïde central, selon qu'on a A ]^ ^, ou A <^ ^ ;
Que , dans le cas singulier de /* =: è, le premier cône ( OG ) , décrit par l'axe du couple , se réduit à Tun des deux plans représentés par l'équation
et le second cône (OT) , à une simple droite OT perpendiculaire à ce plan ;
Et qu'enfin, dans le cas où Tellipsoïde central du corps est de révolution , les deux cônes sont des cônes droits à bases circulaires autour de l'axe du sphéroïde.
26. Voyons maintenant, à l'aide de ces images, comment s'exécute dans l'espace le mouvement d'un corps qui a reçu l'impulsion d'un couple dans une direction quelconque donnée.
Pour mieux fixer les idées et simplifier le discours , on peut considérer le plan MON du couple (qui reste fixe dans l'espace) comme étant le plan horizontal , et, par conséquent, l'axe OG de ce couple comme la verticale.
Gela posé , il est visible que , dans tout le cours du mouvement , la surface du premier cône ( OG) doit passer par la verticale OG, et que la surface du second (OT) doit être en contact avec le plan horizontal MN. Car, la ligne OG étant toujours normale à la surface du cône (OT), et perpendicu-
laire au plan MN , ce plan horizontal MN ne peut être autre chose que le plan tangent à la surface. Donc y pendant le mouvement du corps, le cône (OT) demeure perpétuellement en contact avec le plan fixe du couple appliqué,
27. Actuellement, il est bien facile de se représenter le mouvement du corps par celui de ce cône intérieur (OT) , qui est attaché au corps et l'entraîne avec soi dans l'espace absolu.
En effet, par la rotation ô sin i autour de la génératrice OT, ce cône roule Fie. îi, sur le plan horizontal MN et amène en contact, au bout d'un instant dty une certaine génératrice infiniment voisine OT' : par la seconde rotation Ô cos / autour de la verticale OG, cette génératrice OT' glisse sur ce même plan en tournant d'un certain angle infiniment petit T'OT". Ainsi, par les deux rotations composantes de 0, la génératrice OT, ou la ligne de contact du cône avec* le plan MN a décrit sur ce plan , au bout d'un instant dt , un angle TOT" composé des deux angles TOT', T'OT" dont on vient de parler.
Pour se représenter le mouvement du corps, il faut donc concevoir qu'à
chaque instant dt, on fait rouler le cône (OT) sur le plan ^xe MN, par
l'angle
TOT' = ^w ,
dû à la rotation d sin i autour de la ligne de contact OT , et , ensuite , qu'on le fait glisser, sur ce même plan, par l'angle
