T'OT

dû à la rotation cos / autour de la verticale OG : et par ces deux mouvements, exécutés l'un après l'autre, on a le lieu du corps au bout de cet instant dt.

28. Dans la nature , ces deux mouvements ne sont pas exécutés l'un après l'autre , ils sont simultanés, ou plutôt ils n'en font qu'un seul , qui est le composé de ces deux-là. Mais, comme on ne cotisidère qu'un temps infiniment petit rf^, les deux espaces qu'un point quelconque du corps tend à décrire en vertu des deux rotations sin / et cos i sont censés rectilignesy comme les deux côtés d'un parallélogramme : et ce point étant porté d'abord le long de l'un de ces côtés , et ensuite sur une ligne égale et parallèle à l'autre , se trouve alors au bout de la diagonale, c'est-à-dire au même lieu de l'espace où il serait arrivé par son mouvement naturel en suivant cette diagonale. Si donc on imagine que cette double opération , que je viens de décrire, soit répétée pour chaque partie infiniment petite dt du temps t, on aura la suite des lieux oii le corps passe dans le cours de sa rotation , ou l'image fidèle de son mouvement dans l'espace.

Mais, si l'on demandait simplement de marquer le lieu ou se trouvera le corps au bout d'un temps quelconque, sans s'occuper de la route que le corps

suit pour y arriver, on n'aurait pas besoin de supposer que la double opération dont il s'agit soit répétée à chaque instant. On pourrait, d*un seul coup, faire rouler le cône (OT) par un angle fini <a égal à la somme de tous les angles TOT', que la génératrice OT trace à la surface de ce cône pendant le temps donné t ; et ensuite le faire glisser en tournant autour de la verticale OG par un angle ^ égal à la somme de tous les angles T'OT' qui sont dus à la rotation du corps autour de cette verticale pendant le même temps t. Par ces deux opérations, exécutées Tune après l'autre , et dans l'ordre qu'on voudra, le corps, il est vrai, n'aurait pas suivi le mouvement qu'il a dans la nature, mais il se trouverait actuellement posé dans le même lieu de l'espace oii il arrive par son mouvement naturel au bout du temps t. D'où l'on voit que le problème de déterminer le lieu du corps au bout d'un temps quelconque, se réduit à chercher les deux sommes ou intégrales

o>=/(TOT'), ^=/(T'OT''),

en fonction du temps t.

29. Quant à la seconde intégrale -^ , elle se trouve sur-le-champ ; car il est évident qu'on a

or on a trouvé

on a donc

d'où l'on tire

cos I = const. = -r :

en faisant commencer l'angle -^ avec le temps t. Mais l'autre intégrale

a.=/{TOT')

ne se trouve pas aussi aisément : il faut commencer par chercher l'expression différentielle de l'angle TOT'.

Pour cela je remarque que cet angle TOT', ajouté à l'angle T' OT", forme l'angle TOT" que la projection de l'axe instantané 01 décrit autour de l'axe du couple; car le point T est la projection continuelle du pôle I sur le plan de ce couple. On a donc, en nommant df^ ce dernier angle,

or on a trouvé précédemment

do =z cos i,dt -h ■ '-^ Ll i . rit •

on a donc, en comparant les deux expressions de «icp,

d'où l'on tire

r dt

Pour avoir w, il faudra donc mettre d'abord , au lieu de 0% sa valeur en fonction de r, et puis intégrer l'expression ^c?/ : (X-'ô^ — A'); mais cette intégrale demande encore l'emploi des fonctions elliptiques.

50, Il faut remarquer que les lignes h et A étant essentiellement positives ,

à et d^ étant égal à j^^i cet angle d^ peut toujours être regardé comme ayant

le même signe -H ; mais l'angle e/w a tantôt le signe -h et tantôt le signe — , selon que h est <^ ou ]> ô.

Si h<^by lecône(OT) entoure le petit axe c de l'ellipsoïde central , et, dans Fig.îi. ce cas, l'angle ^w, de même signe que «/^p, s'ajoute à cet angle pour former l'angle dt^ que la projection de l'axe instantané décrit autour de Taxe du couple.

Si h'^bj le cône (OT) entoure le grsuad axe a; et, dans ce cas, l'angle Fic.aa. c?w, de signe contraire à r/\p, doit en être retranché pour former l'angle d(f,

51. Enfin, dans le cas singulier de h= by le cône (OT) se réduit à une droite OT située dans le plan des axes extrêmes a et c y et inclinée sur a d'un

/b^ — ci angle dont la tangente est — i / — ^ — - : l'angle dtù est nul, et d(f se réduit

simplement à l'angle

rii[; = -dt, k

Ainsi, dans le cas de h = by il existe dans le corps un axe singulier OT qui a

la propriété de décrire uniformément le plan fixe MON du couple, avec une

vitesse constante

tandis que le corps tourne autour de cet axe singulier avec une vitesse variable

esm»=y'9'-|].

Dans ce cas , on n'a besoin que des règles ordinaires du calcul intégral pour déterminer la position du corps au bout d'un temps donné r. Car, pour amener le corps dans cette position , il suffirait de le faire tourner d'abord autour

de l'axe du couple d'un angle

et ensuite, de le faire tourner sur son axe singulier OT, d'un angle t égal à y 9 sin i,dt. Or, dans le cas de h= bj nous avons trouvé, pour Texpression de ô sin/ en fonction de r.

sin f =

où e désigne la base des logarithmes de Néper, et n la valeur du radical

\/p^ — 6^ Multipliant donc par dt cette expression de G sin/, intégrant, et faisant commencer l'arc t avec le temps ^, on a

T =2 ( arc tang

52. Le cas de /i =ré/ n'a aucune difficulté ; car les axes 01, OGse confondent entre eux et avec Taxe « du corps; et tout se réduit à une simple rotation constante a : X-, autour de cet axe, qui demeure immobile dans Tespace absolu. Il en est de même pour le cas de /< = c

55. Si Tellipsoîde central a deux de ses axes égaux entre eux, le cône (OT) est tm cône droit à base circulaire autour de l'axe de révolution de ce sphéroïde. Alors sin/ est constant, et, par conséquent, dfù est constant, aussi bien que d^ et rftp , et Ton a sur-le-champ la valeur de ces angles pour un temps quelconque t.

Si Tellipsoïde central a ses trois axes égaux et devient une sphère , tout se réduit à un mouvement simple de rotation autour du diamètre qui fait Taxe du couple appliqué G.

Tous ces cas particuliers n'ont aucune espèce de difficulté et se résolvent d'eux-mêmes : il n'y a de remarquable que le cas singulier de /^ = ^ qui se résout par l'intégration de la différentielle f B sin i.dt^ laquelle ne dépend que des fonctions exponentielles et circulaires.

Remarque I.

54. J'ai trouvé plus haut l'expression de l'angle rfw par celle de l'angle d(f , qui nous était déjà connue (n° 45). Mais cet angle rfw, que trace le cône (OT) en roulant sur le plan du couple, peut se trouver aussi d'une manière directe, comme on va le voir dans l'article suivant, ce qui servira à confirmer notre analyse.

Au point T de la surface de ce cône (OT), la ligne de moindre courbure est évidemment la génératrice OT; et, par conséquent, la ligne de plus grande courbure est perpendiculaire à cette génératrice.

Considérons sur cette ligne de courbure l'arc infiniment petit ds qui se

couche en un instant dt sur le plan MN quand le cône roule sur ce plan en

vertu de la rotation sin ; qu'il a sur sa génératrice actuelle OT. Il est évident

que ^ûai,dt est l'angle de contingence, c^est-à-dire Tangle formé par les

deux tangentes menées aux extrémités de Tare ds^ ou , ce qui revient au même,

l'angle formé par les deux normales menées à la surface du cône en ces deux

ds points. Or cet angle est exprimé par — ? en nommant r le rayon de la cour-

bure. On a donc

sio /.ar = —

Mais Tangle formé par les deux génératrices voisines OT et OT' qui vont du

point O aux deux bouts du même arc^^, et que nous avons nommé £^&>, est

évidemment exprimé par

ds ds

OT ^ÔsinT on a donc , pour l'expression de <iw ,

où R désigne le rayon de la plus grande courbure à la surface du cône (OT), au point T extrémité de la génératrice

OT=^0sin/.

Or, l'équation de la surface conique (OT) étant

le rayon r de la courbure en un point quelconque dont les coordonnées seraient x^Xj z, est exprimé par

et, comme le point T dont il s'agit n^est pas un point quelconque de la surface du cône , mais un point qui doit se trouver en même temps sur la surface de l'ellipsoïde dont l'équation est {voir page 117)

le trinôme qui est sous le radical se réduit ici à la constante ^ . ^

En substituant donc cette valeur, on ^ , pour l'expression de r,

^~ h'{x'-^y'-hz')

Additions i854* 8

Or on a .

il vient donc, pour Texpression de dui = -jdl,

^^x^ô^sin»l '

ce qui s^accorde parfaitement avec ce qu*on avait trouvé plus haut par une

voie différente.

Remarque II.

FiG. a3. 5o. Je ferai encore ici une remarque importante pour montrer comment , dans le cas de h^b^ le mouvement angulaire ^9 du pôle instantané I de rotation est égal à la différence d^^ — rf« de l'angle d^ par lequel le cône (OT) glisse sur le plan du couple, à Tangle dt^ par lequel ce cône roule sur le même plan ; tandis que, dans le cas de A <^ ^ , l'angle d^ est égal à la somme d-^ 4- e/o) de ces deux angles.

Pour plus de clarté, considérons les choses au moment où le pôle instantané I traverse l'ellipse moyenne [ac) de l'ellipsoïde central. Si l'on mène en I la tangente à cette ellipse, qu'on abaisse sur elle la perpendiculaire OP, et qu'on achève le rectangle IPOT, on voit que OP sera la direction de l'axe du couple d'impulsion, et OT la génératrice actuelle du cône (OT); et comme 01 est situé dans l'angle droit GOA des axes extrêmes r et a , il est clair que la perpendiculaire OP à la tangente en I sera située aussi dans le même angle droit : donc OT perpendiculaire à OP tombera au-dessous de l'axe OA par rapport aux axes 01 et OP que je regarde comme étant au-dessus.

Or, si l'on a h^h, on sait que le cône décrit par OT a pour axe le grand axe OA = a de l'ellipsoïde central : donc , si l'on mène à ce cône le plan tangent suivant OT, ce qui sera le plan même du couple d'impulsion , le cône (OT) sera situé au-dessus de ce plan du même côté que les points I et P. Si donc , en vertu de la rotation 6 cos ; autour de OP, ce cône glisse en un instant dty d'un angle d^ sur ce plan tangent, il est clair qu'en vertu de la rotation 6 sin I autour de OT, il roule sur le même plan par un angle dtùàe signe contraire à d-^ : de sorte que le mouvement angulaire ^9 de la génératrice OT est exprimé par la différence d-^ — ^/w de ces deux angles. F1G.21. Mais si l'on a A <^ ^, ce n'est plus autour du grand axe OA, mais autour du petit axe OC, que le cône (OT) se trouve décrit. Et alors ce cône, au lieu d'être situé au-dessus du plan qui le touche en OT, du même côté que le pôle I et le point P, se trouve situé au-dessous , du côté opposé. Si donc ce cône , par la rotation autour de OP, glisse sur le plan d'un angle d-^ , il est clair que par l'autre rotation autour de 0T> il roule sur ce plan d'un anjjle

d(o de même signe que d^ : de sorte que , dans ce cas^ le mouvement angulaire dtf du point T est exprimé par la somme d'^ •+■ dtù de ces deux angles.

56. On voit par là comment il arrive que, dans le cas singulier de A := ^, on a simplement

^(p = ûfij/ = cosi.dt = -jdt:

car, le cas de A == ^ pouvant être considéré comme appartenant à la fois à l'un et à l'autre des deux cas précédents , l'angle dta devrait avoir également le signe 4- et le signe — ; ce qui ne peut être ici, à moins qu'on n'ait cfw = o : c'est , en effet , ce qui a lieu , et réduit alors d^^ d^\ c'est-à-dire que , dans ce cas singulier, la vitesse angulaire du pôle instantané , autour de Taxe fixe

du couple , est constante et mesurée par -7 dans toute la suite du mouvement.

Résumé de notre théorie,

57. On peut donc considérer, dans l'intérieur du corps, trois cônes du second ordre , savoir :

i**. Le cône (01) décrit par Taxe instantané 01;

2®. Lecône (OT) décrit par la projection continuelle de 01 sur le plan fixe MN du couple d'impulsion ;

3®. Le cône (OG) décrit par l'axe fixe OG de ce couple dans l'intérieur du mobile.

Ces trois cônes sont droits, à bases elliptiques, et tous trois décrits autour d'un même axe, qui est, ou le grand axe a, ou le petit axe c de l'ellipsoïde central , selon que h est ^ ou <^ que Vaxe moyen h de cet ellipsoïde.

Dans le cas singulier de h-=i h^ le cône 01 se réduit à un plan passant par l'axe moyen. Le cône (OG) se réduit à un autre plan passant par ce même axe, et le cône (OT) se réduit à une droite perpendiculaire à ce dernier plan.

Les surfaces de ces cônes sont toutes trois décrites et achevées dans le même temps.

L'axe OG du couple trace la sienne avec une vitesse angulaire

L'axe OT trace la sienne avec une vitesse angulaire

é/« ( A» — fl» ) ( A» -^ ^») (/i^ — c' ) "57"" h'k{k^^^ — k')

L'axe 01 trace la sienne avec une vitesse angulaire égale à

expression où Ton a

38. Mais, au lieu de ces trois cônes, on peut ne considérer que trois lignes courbes , et simplifier ainsi les images. Car, I étant le pôle instantané à la surface de Tellipsoîde central , T la projection de ce point sur le plan du couple , et P sa projection sur Taxe OG , on peut considérer les trois orbes elliptiques , à double courbure , ^ , t et tt décrits par les points I , T et P dans l'intérieur du corps, et regarder ces orbes comme les bases de nos trois surfaces coniques dont le commun sommet est au centre 0. Faisant donc abstraction de tout le reste , pour ne plus voir que ce centre et i^une de ces trois espèces de roues j, r , tt, que je viens de définir, le mouvement du corps pourrait se peindre des trois manières suivantes : FiG. 24. I. Si l'on suppose que Torbe s , mis en contact avec le plan fixe MIN parallèle au plan du couple , roule sans glisser sur ce plan , et de manière qu'il tourne sans cesse sur son rayon 01 avec une vitesse angulaire 6 proportionnelle à ce rayon , on aura le mouvement précis du corps dans l'espace : c'est l'image la plus claire de ce mouvement.

n. Si, sur le plan MON du couple (qu'on suppose ici mené par le cen-

tre O) , on fait rouler l'orbe t avec la vitesse angulaire - trouvée ci-dessus ,

et qu'en même temps on le fasse glisser avec la vitesse angulaire constante - •>

on aura de même la représentation exacte du mouvement du corps : c'est une autre image de ce mouvement, mais un peu moins simple que la précédente III. Enfin, si l'on imagine que l'orbe tt, dont le rayon OP est 'constant et de longueur h , glisse le long de sa tangente au point P avec une vitesse

angulaire 7 , et tourne sur son rayon OP avec une vitesse angu-

laire constante y, on aura une troisième image du mouvement du corps;

mais peut-être encore moins simple que la seconde. On pourrait donc écarter Tune et l'autre ; mais , dans une matière aussi difficile , cette variété de démonstrations ne peut que jeter plus de jour sur le fond des choses , et je n'ai pas cru devoir les supprimer. Au reste , de toutes ces démonstrations , la meilleure , je veux dire celle où. l'esprit trouve l'appui le plus naturel et le plus sensible , est celle de l'ellipsoïde central , dont on retient le centre immobile au même point de l'espace, et qu'on fait rouler sur le plan fixe du couple , sans aucun mouvement de rasion sur ce plan.

Équations des trois orbes 5 , t , tt , que nous venons de considérer,

59. Oq a déjà vu que Torbe s^ décrit à la surface de reilipsoîde central , par le pôle instantané I , est donné par Pintersection de cet ellipsoïde , dont

l'équation est

a^ 0^ à* avec la surface d'un autre ellipsoïde* dont Téqualion est

x'y y, zf étant les coordonnées du pôle I parallèles aux axes respectifs a, b, c de Tellipsoïde central.

On a vu que le plan du couple , supposé conduit par le centre O de cet ellipsoïde , a pour équation

Donc , si du pôle I on abaisse une perpendiculaire IT sur ce plan , on aura , pour les équations de cette droite,

(4) fl'z' (x — ar') — c»x'(z — 5') = o,

(5) ,,»/(x — or')- 6'y (/-/) = o.

Or, si de ces trois dernières équations on tire les valeurs de a? , y, z coordonnées du pied T de la perpendiculaire, on trouvera [en faisant les réductions qui proviennent des deux premières équations (i) et (2)], ces expressions très-simples,

d'où l'on tire

Donc, en mettant ces valeurs de x', y\ z' dans les équations (i) et (2), on aura en x^y-yZ les deux équations

^h^^a'Y ^fC'^b'Y (h^^c'Y

qui appartiennent h deux nouveaux ellipsoïdes dont l'intersection donne Torbite t décrite par le point T qui est la projection continuelle du pôle I sur le plan du couple.

Remarque I.

40. Si Ton retranche ces deux équations l'une de Tautre , on a

équation de la surface conique décrite par, la ligne OT dans l'intérieur du corps. Et c'est ce qui s'accorde parfaitement avec ce que nous avons trouvé d'une autre manière , en cherchant celte surface conique , comme la suite des normales OT à la surface du cône décrit par l'axe OG du couple dans l'intérieur du mobile. Et, en effet, cette dernière surface décrite par OG a pour équation

(OG) (A» — «')a:» + (A'— 5»)j*-f-(A' — c»)z» = o.'

Or il est clair que l'une de ces deux surfaces coniques peut être regardée comme la suite des normales à la surface de l'autre : d'où l'on voit qu'il suffît d'en connaître une pour les avoir toutes deux.

41. Dans le cas singulier de h =r 5, le cône (OG) se réduit à un plan passant par Taxe moyen b^ et dont l'équation est

z c la} — b^

*et le cône (OT) à une simple ligne droite perpendiculaire à ce plan, et dont l'équation est

Par conséquent, l'orbite t décrite par le point T ne peut être ici qu'une ligne terminée OT, allant du centre O jusqu'au point T qui répond à la distance

maximum y p* — b^ de ce point au centre 0.

42. Dans les deux cas particuliers de A = a, ou h'=ic^ l'orbite r se réduit à un point qui est le centre O de l'ellipsoïde central.

Remarque II.

45. Si l'on ne combinait ensemble que les équations (i), (2), (4) et (5) pour en éliminer o/, j', z', et qu'on n'employât point l'équation (3 ) du plan du couple, on aurait en x^y^ z une équation qui répondrait à la surface tracée par la suite des normales I T que l'on mènerait à la surface de l'ellipsoïde central , le long de l'orbite s décrite par le pôle instantané I ; et si l'on portait ensuite sur chaque normale I T, à partir de son pied I , et du même côté que l'ellipsoïde , une longueur I T égale à la ligne h , la suite des extrémités de toutes ces lignes formerait encore l'orbite t décrite par le point T.

Au lieu de Téquation (3) on pourrait donc employer Téquation suivante .

qui exprime que la ligne IT est de longueur constante h. Mais comme cette équation exprimerait également que la ligne IT peut être portée de Vautre côté du plan tangent, la combinaison des cinq équations (i), (2), (4), (5) et ( P) donnerait , non-seulement l'orbite r décrite par le pied de la perpendiculaire IT au plan du couple, mais une autre orbite t' décrite par le poit T' situé à la même distance IT' au dehors de Tellipsoïde : courbe tout à fait différente dans Tespace relatif, et qui est ici étrangère à la question ; mais, dans l'espace absolu , la route du point T' serait parfaitement égale et parallèle à la route du point T.

Remarque III.

44. La combinaison des cinq équations (i), (2), (4)9 (5) et (P) est peutêtre encore plus facile que celle des quatre premières avec Téquation (3). Car, en tirant des équations (4) et (5) les valeurs de (z — z'), [y — r') pour les porter dans l'équation ( P ) , on a tout de suite

d'où , en mettant pour 4t -f- -t sa valeur '-- tirée de l'équation ( 2 ), on a

■^ ^* c* h^ ar

rc qui donne

aurait

; de même

expressions toutes semblables à celles du n° 59 , mais où des deux signes ± il ne faut prendre que le signe — , si Ton veut ne considérer, sur la normale IT, que le point T qui tombe du même côté que la surface de l'ellipsoïde central à Tégard du plan tangent en I : car, en prenant les signes -f-, on aurait un point T situé de l'autre côté de ce plan tangent, et la ligne OT, menée du centre O, ne serait plus perpendiculaire à la normale IT, comme on le veut dans la question proposée.

A6. Au reste , pour lever toute équivoque , il est évident que les coordonnées du point T, qui sont x,f,Zy doivent être telles, qu'elles satisfassent à

réquation du plan du couple , qui est

—-r -h -rr H ~=o,

Or, en y mettant pour x^ y^z les doubles valeurs on aurait

ou, d'après Téquation (2),

mais celle-ci, à cause de Téquation (i), n^est évidemment possible qu'en adoptant à la fois les trois signes inférieurs — , ce qui nous ramène aux expressions simples de x , ^, z trouvées par la première analyse.

Enfin , quant à l'orbe tt décrit par le point P, pris à la distance OP = h sur l'axe OG du couple d'impulsion, il est très-facile d'en trouver les équations. Il est évident que cette courbe n'est autre chose que l'intersection de la sphère dont Péquation est

jjl | jJ | 2» -- ^5^

avec la surface conique décrite par OG, et dont Téquation est

( h^ — a}) a:' -4- { A» — *') jr* -H (^' — c*) «' = o.

D'où l'on voit que cette courbe tt est un orbe sphérique, à double courbure , comme les orbes elliptiques t et 5 , et qu'elle est décrite autour du même axe.

46. En considérant les deux cônes (OP) et (OT) terminés par ces orbes ir et T, qui leur servent de bases, le mouvement du corps se fait de telle manière que le corps tourne , à chaque instant dt^ sur les génératrices OP et OT de ces deux cônes, avec des vitesses angulaires proportionnelles aux longueurs mêmes de ces génératrices ; de sorte que la première vitesse G cos i est constante comme la ligne OP, et que la seconde 9 sin i est variable comme la ligne OT