III. — Parallélogramme des rotations

FiG. 2. S. Siy par deux causes quelconques, un corps tend à la fois à prendre deux rotations p et q^ représentées par les deux côtés Op, Oqd'un parallélogramme O/?0^, le corps prendra une rotation unique 9 représentée par la diagonale ^ de ce parallélogramme.

En effet, considérez un point quelconque m du corps , pris dans le plan du parallélogramme, et, par exemple, v j ers la droite dans le supplément de l'angle que font entre eux les deux côtés; et nommons a? et j les deuxper* pendiculaires abaissées de ce point m sur ces côtés. Il est clair que , par la seule rotation /?, le point m tend à s'élever au-dessus du plan avec une vitesse /7j; (n° 2) ; et que , par la seule rotation q , il tend à s'élever avec une vitesse qy^ et qu'ainsi, en vertu des deux causes agissant à la fois , il a, suivant la normale, la vitesse px + qy. Or, en nommant h la perpendiculaire abaissée du point m sur la diagonale d, on a toujours l'équation

px -^ qyz=z Bh,

comme on le sait par un, théorème très-connu de géométrie. Donc la vitesse

que prend le point m est égale à //, c'est-à-dire à la vitesse qu'il aurait si le

corps tournait sur la diagonale avec la vitesse angulaire @. Et comme la même

chose peut se dire de tout autre point du plan , et que le mouvement du pian

-V, )p. f entraîne celui du corps , on peut dire gu'un poi nt jjuelcpnque du corps prend ,

/ par les deux rotations p et y, le même mouvement qu'il prendrait par la

seule rotation 9. Donc, etc.

Remarque,

FiG, 3. C'^**^ uniquement pour abréger la démonstration que j'ai pris le point m dans le supplément de l'angle que font entre eux les deux côtés du parallélogramme. Si ce point était pris entre les côtés mêmes, on trouverait que s'il s'élève au-dessus du plan avec la vitesse px^ il s'abaisse au-dessous avec

la vitesse qy : de sorte que sa vitesse suivant la normale serait la différence px — qy. Maïs, par le même théorème de géométrie, on aurait alors

px-^qy^^h^

-c'est-à-dire que le point a toujours la même vitesse 9 A que si le corps tournait sur la diagonale.

6. Au reste, ceci nous donne Tidée d^un théorème de géométrie plus général que le précédent, et dont celui-ci n'est en quelque sorte qu'un cas particulier.

Car, supposez le point m pris où l'on voudra dans l'espace, et nommez de Fie- 4même j? , j- et ^ les trois perpendiculaires abaissées de ce point sur les deux «ôlés/? et q^ et la diagonale 9 du parallélogramme/? 0^ ; vous aurez de même px^ qy et 9 A pour les vitesses que les trois rotations/?, ^ et 9 tendraient à imprimer au point m. Mais ici ces vitesses, au lieu d'être dans la même direction , seraient respectivement perpendiculaires aux plans des trois triangles ///0/7, mOq^mOQ : les lignes qui les représentent font donc entre elles les mêmes angles que les plans de ces triangles; et elles sont d'ailleurs proportionnelles à leurs aires respectives.

Or, puisque le point m , en vertu des deux rotations /? et ^, doit s e mou- V*f^'b voir comme il le ferait en vertu de la simple rotation 9 , il s'ensuit que la ligne 9 h doit être la diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres /?af et qy.

On a donc ce théorème de géométrie :

Si, d* un point quelconque m de l'espace, comme sommet, on mène tro is triangles qui aient pour hase les deux côtés Op^ Oq et la diagonale 09 d^f^f parallélogramme y il y a toujours entre les aires de ces trois triangles la même relation qu'entre les côtés et la diagonale d'un parallélogramme construit sous les inclinaisons mutuelles de ces trois plans.

Ainsi les deux premiers triangles se composen^en quelque sorte pour for- ^*'* mer le troisième, comme se composeraient entre elles, pour former leur résultante, deux forces proportionnelles aux aires de ces triangles, et qui auraient entre elles la même inclinaison.

7. Et maintenant remarquez que ce théorème , tiré de considérations dynamiques, se voit sur-le-champ par la géométrie. Car, au lieu des trois triangles , considérez les trois parallélogrammes ou rhombes faits sur le même côté O/n, appuyés sur les mêmes bases 0/?, 0^, 09, et dont les aires sont mesurées par px y qy^ 9 A. Il est évident que ces rhombes, qui forment les deux plans adjacents avec le plan diagonal d'un même rhomboïde , étant vus comme appuyés sur la commune base Om, sont entre eux comme leurs hauteurs, et, par conséquent, comme les trois lignes qui résulteraient de l'intersection du rhomboïde par un plan perpendiculaire à l'arête Om, Or

ces lignes formeat évidemment les deux cotés et la diagonale d'un parallélo* gramme construit sous les inclinaisons mutuelles des trois plans. Donc, etc.

Actuellement , si Ton imagine que le point m descende de l'espace , per-pendiculairement au plan du parallélogramme, et pour tomber dans le supplément de Pangle pOq des deux côtés , ou de son opposé au sommet, il est visible que Tinclinaison mutuelle des deux triangles m 0/?, m 0^ va en diminuant, et devient enfin nulle; et alors le triangle mOd construit sur la diagonale devient égal à la somme des deux autres, comme la diagonale d'un parallélogramme devient égale à la somme des deux côtés qui la comprennent , quand l'inclinaison de ces côtés devient nulle.

Si le point m descend de même pour tomber dans Tangle même pOq^ ou dans son opposé au sommet, il est visible que l'inclinaison mutuelle des deux triangles mO/?, mOq va en augmentant et devient enfin égale à deux angles droits : et alors le triangle m ô construit sur la diagonale devient égal à la différence des deux autres ; comme la diagonale d'un parallélogramme devient égale à la différence des deux côtés quand leur inclinaison mutuelle devient égale à deux angles droits.

Ainsi ce théorème très-connu , que Lagrange attribue à Vangnon , et qu'il regarde comme un beau théorème de géométrie , n'est qu'un cas particulier du nôtre : et comme celui-ci est très-facile à démontrer directement y on en peut tirer réciproquement une démonstration du parallélogramme des rotadons, encore plus nette que la première, puisqu'on y prend où l'on veut le point m dont on examine le mouvement, sans avoir besoin de supposer que ce point est situé dans le plan des axes des deux rotations composantes.