COROLLAIRE

8. De ce parallélogramme des rotations il est clair qu'on peut s'élever à la composition de tant de rotations qu'on voudra, Op, Oq, Or, etc., et parvenir ainsi à leur résultante générale 09 en les composant successivement deux à deux , à la manière des simples forces appliquées sur un point.

Et cette similitude de composition n'est pas bornée à ded rotations sur différents axes qui se croisent en un même point; mais, ce qui est très-digne de remarque , elle s'étend à des rotations autour d'axes qui seraient situés d'unç manière quelconque dans l'espace : théorie • neuve qui mérite d'être développée.

IV. — Composition de deux rotations autour de deux axes parallèles.

9. Deux rotations p etq, de même sens, autour de deux axes parallèles, se composent en une seule 6 égale à leur somme p-^-q, autour d'un axe pa rallèle aux deux premiers et qui .divise leur distance mutuelle dans la raison jfHfçrse des deux rotations composantes p et q.

Soient , en effet , A^ et B^ les deux lignes parallèles qui , menées des points Fig. 5. A. et B d'un même côté de l'espace, représentent les deux rotations de même sens j9 et q dont il s'agit, et considérons un point quelconque m pris hors de ces axes parallèles, mais dans leur plan, yers la droite. Si l'on nomme x et y les deux perpendiculaires abaissées de ce point m sur les lignes kp et B ^, il est clair que , par la rotation /?, le point m tend à s'élever au-dessus du plan avec la vitesse px^ et que , par la rotation q , il tend à s'élever avec la vitesse 7/; et qu'ainsi 4 par les deux rotations à la fois, il a, suivant la normale, la vitesse px-\^qy. Or, qu'on mène entre kp et B^ la parallèle C9, si l'on nomme h la perpendiculaire abaissée sur elle du point m , on aura x — h pour sa distance à la parallèle kp, et h — y pour sa distance à la .parallèle kq: Si donc on suppose G B menée telle que les deux distances soient en raison inverse dep k qy on aura

^— /» : /i— j:: y:/? ou px-{-qx={p'hq)h.

Or (p-hq) h exprime la vitesse que prendrait le point m par une rotation unique =p + q, autour de Taxe C 0.

Donc, en vertu des deux rotations parallèles et de même sens/? et 7, le mouvement d'un point quelconque du plan, et, par conséquent, le mouvement du corps , est le même que si le corps tournait simplement avec une vitesse angulaire égale à /?-h 7, sur un axe parallèle qui divise la distance mutuelle des deux premiers en raison inverse des deux rotations composantes/? et q.

10. Si les deux rotations parallèles petq étaient de sens contraires, on Fig. 6. verrait de même qu'elles se composent en une seule égale à leur différence

p — q, et autour d'un axe parallèle C0 dont on trouverait la position comme on trouverait celle de la résultante de deux forces parallèles et contraires p et q. Ainsi ^ en nommant i la distance de C0 au premier axe kp par exemple, et D la distance mutuelle de kp et^q, on aurait

11. Si petq différaient très-peu Tune de l'autre, la rotation résultante Fie. 7. 0=/? — q serait très-petite, et la distance i de son axe au premier kp serait très-grande ; de sorte que si p etq deviennent parfaitement égales , on trouve

une rotation nulle, autour d'un axe situé à une distance infinie : ce qui n'apprend plus rien , ou plutôt ce qui nous avertit que , dans ce cas singulier, il n'y a plus , à proprement parler, de rotation résultante , et que le mouvement du corps doit changer de nature. C'est, en effet, ce qui arrive; car on vd voir que , de ces deux rotations parallèles , égales et contraires , il ne peut résulter pour \o. corps qu'un /?wr mouvement de translation dans l'espace.