V. — Des couples de rotations

FiG. 8. iS. Deux rotations p et — p^ égales et de sens contraires , autour de deux

axes parallèles , forment ensemble ce que j'appelle un couple de rotations :

on peut voir à priori qu'un tel couple est irréductible, ou qu'il forme , pour

' ainsi dire , une rotation sui generis, qui lie peut jamais être ramenée à une

rotation simple autour d'aucun axe quel qu'il soît.

Le mouvement qui résulte d'un couple de rotations p et — p est une pure translation de tous les points du corps suivant des lignes perpendiculaires au plan de ce couple , et avec une commune vitesse mesurée par le moment du couple, c'est-à-dire par le produit pD de l'une p des deux rotations, multipliéepar la distance D qui sépare leurs axes parallèles.

Et, en effet, considérez un point quelconque m du corps, pris dans le plan de ce couple , à la distance x du premier axe p, et , par conséquent, à la distance X — D du second — />. Par la rotation /?, le point m s'élève suivant la perpendiculaire au plan avec la vitesse px-^ par la rotation — /?, il s'abaisse en sens contraire avec la vitesse /?(j: — D) : de sorte qu'il a, suivant la normale, la vitesse px — p(x — D) = /?D. Donc, commet? n'entre plus dans cette expression, tous les points du plan, et, par conséquent, tous ceux du corps ont la même vitesse /^D suivant la perpendiculaire au plan du couple. Donc, etc.

15. On voit par là qu'un couple de rotations peut être tourné et transporté comme on voudra dans son plan , ou dans tout autre plan parallèle , sans que le mouvement du corps en soit changé ; et de plus , que ce couple peut être transformé en un autre composé de nouvelles rotations /?' et — p\ avec un nouveau bras D', pourvu que le moment /?'D' soit égal au premier /?D.

14. De cette propriété et du parallélogramme des rotations simples, on peut conclure sur-le-champ que des couples de rotations, situés comme on voudra dans des plans quelconques , peuvent toujours se composer en un seul

X par la même loi que les coup les de forces , et , par conséquent , comme de simples forces agissant sur un point : qu'en un mot, on peut appliquer à ces nouveaux couples, et sans en rien excepter, tous les théorèmes qui concernent les couples ordinaires.

15. C'est, d'ailleurs, ce qu'on verrait sous un nouveau jour, si l'on voulait considérer la cause capable de donner au corps le même mouvement qui résulte d'un couple de rotations. Car, comme ce mouvement n'est qu'une pure translation dans l'espace, il est clair qu'on pourrait le produire par une simple force qu'on appliquerait au centre de gravité du corps , dans une direction perpendiculaire au plan du couple , et en prenant cette force égale au produit àa moment de ce couple par la masse entière du corps dont il s'agit. Tous les couples de rotations pourraient donc être ainsi remplacés par autant de forces

proportionnelles appliquées au centre de gravité du corps. D'où résulte , pour ces couples , une composition exactement la*méme que celle des forces autour d'un point. Mais dans cette théorie du mouvement considéré en lui-même , il faut tout tirer de la géométrie , sans rien emprunter à la dynamique.

VI. — Composition générale des rotations autour d*axes situés comme on

voudra dans V espace.

16. Considérons d'abord une simple rotation /?, autour d'un axe kp passant par un point quelconque A du corps. Si , en un autre point 0, pris où Ton voudra , on imagine deux rotations contraires /?' et — p\ égales et parallèles à la première /?, il est clair que ces deux rotations se détruisent d'ellesmêmes 9 et que le mouvement du corps n'est pas changé. Mais alors , au lieu de la simple rotation proposée p^ on peut voir : i° une rotation p' égale , parallèle et de même sens , mais dont l'axe passe en O ; 2° un couple (/?, — pf ) formée des deux rotations parallèles restantes /? et — p' , Si, pour plus de clarté , on transporte ce couple ailleurs dans un plan quelconque parallèle au sien , ce qui est permis , il ne restera, au point , que la rotation p\ laquelle n'est y pour ainsi dire , que la rotation proposée p qu'on y aurait transportée parallèlement à elle-même.

On peut donc dire qu'une rotation peut être transportée parallèlement à elle-même en un point quelconque de l'espace , pourvu que Ton considère le couple de rotations qui naît de ce déplacement , et qui a pour moment ou pour mesure le produit de la rotation proposée par le chemin que son axe a parcouru.

17. Cela posé, soient tant de rotations qu'on voudra p, q, r, etc., autour d'axes A/?, B^, Cr, etc., situés d'une manière quelconque dans l'espace; si on les tratlsporte toutes parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque de l'espace , elles viendront s'y composer en une seule , qu'on peut nommer la rotation résultante; et tous les couples de rotations qu'elles ont produits dans leur translation se composeront en un seul (p, — p) qu'on peut nommer le couple résultant. Réduction générale exactement la même que celle des forces, et d'où Ton peut tirer une théorie toute semblable.

Ainsi , comme tant de forces que Ton voudra sont toujours réductibles à une seule force passant par un point quelconque donné , et à un seul couple de deux forces égales , parallèles et contraires ; de même tant de rotations qu'on voudra , autour de différents axes situés d'une manière quelconque dans l'espace, sont toujours réductibles à une seule rotation autour d'un axe passant par un point pris à volonté , et à un seul couple de deux rotations égales et contraires , autour de deux axes parallèles entre eux.

Et il est évident, comme dans la théorie des forces, que la rotation résul-

tante 9 sera toujours la même en quelque lieu qu'on ait pris ce point ou ce centre 0, où Ton transporte les rotations : si Ton fait varier la position de ce point, la résultante 6 ne fera que se transporter parallèlement à elle-même en divers lieux de l'espace ; mais le plan et la grandeur du couple de rotations (p, — p) changeront nécessairement.

18. Si l'on veut une réduction générale où il n'y ait rien d'arbitraire , on pourra toujours choisir le point O de manière que le plan du couple résultant soit perpendiculaire à Taxe de la rotation résultante. En effet , tout étant d'abord réduit à la rotation et au couple de rotations (p, — p) relativement à un point quelconque O de l'espace, décomposez le couple (p, — p) en deux : l'un (p', — p'), dans un plan perpendiculaire à l'axe Oô ; l'autre (p", — p''), dans un plan conduit par cet axe. Si vous transportez la rotation G dans ce plan et parallèlement à elle-même jusqu'en 0' 9 , de manière que le couple produit (9, — 9) soit égal et contraire au couple (p", — p"), et par conséquent le détruise, il ne restera que la rotation 9 autour du nouvel axe 0'9, avec le couple (p', — p') dans un plan perpendi culaireau même axe, ce qu'il fallait trouver ; et cet axe singulier 0'9, qui se détermine exactement comme celui que j'ai nommé en statique Y axe central des moments ou des couples de forces, peut aussi être nomme Vaxe central des couples de rotations.

Aiiisi un systhme quelconque de rotations est toujours réductible à une seule rotation autour d'un certain axe déterminé, et à un couple de rotations situé dans un plan perpendiculaire à cet axe. Et il est clair que ce couple résultant est le minimum de tous ceux qu'on trouverait relativement à tous les points ou centres qui seraient pris hors de cet axe central. Car, si l'on transportait partout ailleurs la rotation 9, elle produirait un couple (9 , — 9) perpendiculaire sur le couple (p', — p'); et ces deux couples étant rectangulaires entre eux , donneraient par leur composition un couple résultant supérieur au couple (p', — p').

19. Gomme un couple de rotations équivaut à une pure translation du corps suivant la perpendiculaire au plan de ce couple, il s'ensuit que tout le mouvement d'un corps, en vertu de tant de rotations qu'on voudra, se réduit, en dernière analyse, à tourner sur une certaine droite et à glisser en même temps le long de cette droite: ce qui est, comme on le verra plus loin, le mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans l'espace absolu.

80. Si le couple résultant minimum est nul , tout le mouvement se réduit à une simple rotation : si la résultante est nulle, il se réduit à une simple translation ; et réciproquement , chacune de ces réductions ne peut avoir lieu sans que la condition supposée ne soit remplie. Enfin , pour que toutes les rotations du système se détruisent entre elles, et qu'ainsi tout le mouvement

du corps se réduise à zéro, il faut que la résultante et le couple résultant soient nuls tous les deux à la fois, et cela , en quelque lieu de l'espace qu'on ait transporté toutes les rotations.

Remarque.

On voit la parfaite symétrie de cette composition des rotations et de celle des forces : elles sont presque identiques ; car^ si Ton avait primitivement donné le nom de force à la cause capable de faire tourner sur un axe , on aurait eu pour ces nouvelles forces une statique toute semblable. Seulement , dans celle-ci , les simples forces ( toujours considérées comme transportées au centre de gravité du corps) auraient répondu à nos couples dans la statique ordinaire, et les couples auraient répondu à nos simples forces. Mais il était, je crois, plus naturel , je veux dire plus conforme à la nature de Tesprit humain, de commencer, comme on l'a fait, par donner le nom àe force à la cause capable d'une pure translation y et de voir ensuite dans le couple la cause capable d'un pur mouvement de rotation.

Toutefois , c'est une chose très-remarquable , qu'un même livre , écrit sur la science des forces , pourrait , sans cesser d'être exact et de traiter régulièrement la même science, être entendu de deux manières différentes, selon qu'on attacherait au mot àe force l'idée d'une cause de translation , ou l'idée toute différente fl'une cause de rotation. Nous pourrons revenir ailleurs sur ce point singulier de philosophie.

51 . On vient de voir tout ce qui regarde l'idée de la rotation simple sur un axe, et la composition de semblables rotations autour d'axes situés d'une manière quelconque dans l'espace. Mais il faut se faire maintenant une idée du mouvement d'un corps mobile autour d'iin point fixe sur lequel il semble pirouetter en tous sens.