Nous avons donc ce nouveau théorème
De quelque manière qu'un corps se meuve en tournant autour d'un point fixe, ce mouvement ne peut être autre chose que celui d'un certain cône, dont le sommet est en ce point, et qui roule actuellement , sans glisser^ sur la surface d'un autre cône fixe de même sommet.
Je veux dire que le côrïe mobile, considéré comme attaché au corps et Tentrainant avec soi, s*il vient à rouler sur l'autre cône qui est fixe dans l'espace absolu , fera décrire à ce corps le mouvement précis dont on le suppose animé ; que la ligne de contact de ces deux cônes sera , à chaque instant, l'axe autour duquel le corps tourne dans cet instant, ou ce qu*on appelle Vaxe instantané : d'où l'on voit comment cet axe est à la fois mobile dans le corps et dans l'espace absolu ; décrivant dans l'espace la surface du cône fixe, et dans l'intérieur du corps , la surface du cône mobile dont on vient de parler.
27. Tel est, je crois, le plus haut point de clarté où l'on puisse porter l'idée si complexe et si obscure du mouvement d'un corps qui tourne d'une manière quelconque autour d'un centre fixe. 11 n'y a point de mouvement de cette nature qu'on ne puisse exactement produire en faisant rouler un certain cône sur un autre cône fixe de même sommet ; de sorte que^ si l'on imagine tous les cônes possibles qu'on ferait ainsi rouler, l'un sur l'autre, on a l'image fidèle de tous les mouvements possibles dont un corps soit capable autour d'un point sur lequel il a la liberté de pirouetter en tous sens.
£t même s'il s'agissait d'un mouvement de rotation qui fût discontinu , c'est-à-dire où l'axe de rotation , au lieu de changer de position par degrés insensibles, sauterait brusquement d'une position à l'autre par un angle fini, on pourrait également imiter le mouvement du corps, en prenant, au lieu de deux cônes, deux pyramides de même sommet, et de faces respectivement égales, et faisant rouler l'une sur l'autre, de manière que la pyramide mobile tournant sur la commune arête, vînt appliquer, l'une après l'autre , toutes ses différentes faces sur les faces respectivement égales de la pyramide fixe. C'est, en effet, ce qui résulte de la démonstration même que j'ai donnée plus haut.
Remarque I.
2&. Au reste, il est bon dé remarquer, dans cette démonstration, que si j'ai pris, sur l'axe instantané 01, une ligne 01 de longueur constante, c'était uniquement pour mieux fixer les idées , en montrant les deux courbes décrites par le pôle instantané comme étant tracées sur une même sphère. Mais il est évident que la démonstration se ferait de la même manière en prenant sur l'axe instantané une ligne 01 de longueur variable, suivant une loi quelconque^ et considérant les deux courbes décrites par son extrémité I, l'une dans l'intérieur du corps , l'autre dans l'espace absolu. On aurait toujours les deux mêmes surfaces coniques , mais terminées ici par ces deux nouvelles courbes
qui leur serviraient de bases; et Ton verrait de même que la courbe mobile
vient appliquer, l'un après l'autre , tous ses éléments successifs sur les éléments
respectivement égaux de la courbe fixe : d*où Ton tirerait exactement le même
théorème.
Remarque II.
29. II n'est peut-être pas inutile de faire aussi une remarque sur Tidée nette qu'il faut attacher aux mots quand on dit le mouvement de Taxe instantané, ou qu'on emploie quelque autre terme qui suppose la mobilité de cet axe, soit dans le corps, soit dans l'espace. Ce n'est ici qu'une manière de s'exprimer. L'axe instantané ne se meut point : car il est immobile de sa nature pendant un instant, et au bout de cet instant , c'est une autre ligne qui devient à son tour l'axe de la rotation. Mais en se figurant l'ensemble de toutes ces lignes , menées d'avance , les unes dans le corps et les autres dans l'espace, et leur donnant le commun nom d'axe instantané, on peut dire naturellement la surface décrite par cet axe, au lieu de dire la surface formée par la suite de toutes ces lignes dont chacune doit devenir à son tour l'axe de rotation. Et de même, au lieu de l'angle rfcp compris entre deux génératrices consécutives de cette surface , on peut dire l'angle décrit en un instant dt par l'axe instantané ,
et nommer ainsi le rapport •-— la vitesse angulaire avec laquelle cet axe
trace à la fois les deux surfaces coniques dont il s'agit.- C'est dans le même
sens qu'on nomme le rapport -r-i ou le rapport — qui lui est égal , la vitesse
avec laquelle le pôle instantané I se meut le long des deux courbes s et a, l'une dans le corps et l'autre dans l'espace , quoique le points du corps qui fait en ce moment le pôle instantané n'ait de sa nature aucune vitesse. Car ce point du corps , tant qu'il fait le pôle , est immobile ; et sitôt qu'il se meut , il n'est plus le pôle de la rotation.
IX. — Des différentes choses que Von peut naturellement considérer dans l*étude du mouvement d'un corps autour d'un point, et de la dépendance mutuelle de ces choses.
oO. Si les deux courbes s et o-, qui servent de bases aux deux surfaces coniques , sont données , avec la vitesse angulaire de rotation autour de Taxe instantané 01 , il est évident que le mouvement du corps sera entièrement déterminé.
Si, la vitesse angulaire G étant toujours connue, une seule de ces deux courbes est donnée avec la vitesse du pôle qui la décrit, l'autre courbe sera nécessairement donnée.
Supposons, par exemple, que la courbe fixe a soit donnée avec la vitesse
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-;- du pôle instantané I le long de cette courbe. Comme le corps tourne sur
01 avec une vitesse angulaire G aussi donnée, il est clair que le point du corps qui, au bout de l'instant dty doit venir tomber sur la courbe fixe <r pour y être à son tour le pôle instantané , est un point déjà déterminé dans le corps ; et il en est de même des autres points du corps que les rotations successives doivent amener l'un après Tautre , comme pôles , sur la courbe fixe et donnée (T : d*où Ton voit que l'autre courbe ^ , qui marque la route du pôle dans l'intérieur du corps, est entièrement déterminée.
Et réciproquement, si, au lieu de la courbe fixe o-, on se donne la courbe
■nobiie ,. avec la vitesse | et la rotation 0. on verra de n,én,e que la courbe
fixe ff se trouvera entièrement déterminée dans l'espace.
51. En général, dans l'étude du mouvement d'un.corps autour d'un point ûxe y il se présente naturellement plusieurs quantités simples à considérer, telles que la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe instantané 01 ; la vitesse angulaire u avec laquelle cet axe trace les deux surfaces coniques S et 2 qu'il décrit en même temps, Tune dans Pintérieur du corps, l'autre dans l'espace absolu; les rayons de courbure ret p de ces deux surfaces; les mouvements angulaires /> et tt du pôle , l'un autour de l'axe OP du cône osculateur de la iùrface mobile S, et l'autre autour de l'axe On du cône osculateur de la surface fixe I; etc. Et si, de ces différentes choses, trois quelconques sont connues, on peut dire que les autres le sont aussi, et que le mouvement du corps est entièrement déterminé.
On peut se faire une idée nette de ces relations mutuelles, en prenant sur l'axe instantané une longueur constante 01 = i , et considérant les deux courbes s et a, décrites par le pôle I, comme deux polygones sphériques d'une infinité de côtés.
Fie. 10. Car, pendant l'instant dt , où le pôle reste immobile en I , le côté ds du FiG. II. polygone sphérique mobile s décrit, pour venir se coucher sur le côté égal dtr du polygone fixe <r, un angle formé par la somme de l'angle extérieur de du polygone mobile et de l'angle extérieur dfs du polygone ïixe , ou par la différence de ces deux angles , si les deux courbes ^ et <t ont leurs convexités tournées dans le même sens. La vitesse angulaire G, autour de l'axe instantané 01, est donc exprimée par la somme ou par la différence de ces deux angles , divisée par l'élément ^^ du temps; de sorte qu'on a
ddldz
dt
(le signe ±, selon que les deux courbes s et a ont, au point de contact I,
leurs convexités opposées Tune à l'autre, ou tournées dans le même sens). Or l'angle extérieur de du polygone sphérique s n'est autre chose que l'angle extérieur dièdre, formé par le prolongement d'une face avec la face suivante , dans la pyramide centrale dont ce polygone sphérique est la base ; et cet angle dièdre étant égal à celui que font entre elles les deux perpendiculaires élevées sur les faces voisines, a pour mesure — > si l'on nomme rie
rayon de courbure de la surface conique au point I que l'on considère. On a 'donc
de = — ;
et l'on a de même
, d(7 as =. — 9
en nommant p le rayon de courbure de l'autre surface au même point I : d'où résulte, en substituant ces valeurs dans l'équation précédente,
ds , d(T rdt pdi
Mais — ( ou -j-^^i lui est toujours égal J marque la vitesse angulaire avec
laquelle Taxe instantané 01 trace à la fois les deux surfaces coniques; en faisant donc
ds da
dt^ dt ""'"'
on a
ce qui donne une relation très-simple entre la rotation G, le mouvement angulaire cj de l'axe instantané , et les rayons de courbure r et p des deux surfaces coniques qu'il décrit.
32. Si Ton suppose menés ces deux rayons de courbure IP = r, III = p, Fig et qu'on joigne OP et OlI , on aura les axes des deux cônes droits et circulaires osculateurs des deux surfaces ; et les deux perpendiculaires abaissées du pôle I sur ces deux axes OP et O n , seront les rayons a et a des cercles qui servent de bases à ces cônes osculateurs.
Or on a , par la figure ,
a^ • I — CL'
Ainsi l'on peut introduire dans l'équation précédente , au lieu des rayons de courbure r et p des deux cônes, les rayons « et a des deux. cercles qui leur
servent de bases; et Téquation devient
Mais (ù étant la vitesse angulaire de Taxe instantané sur la surface du cône, il est clair que - est la vitesse angulaire de la projection de cet axe 01 sur la
a base, et, par conséquent, c^est le mouvement angulaire du pôle I autour de
Taxe OP de ce cône ; et, de même, - est son mouvement angulaire autour de
Taxe On de l'autre cône. Si donc on désigne ces deux mouvements angulaires par /? et TT , ou qu'on fasse - =/?, - = tt , on en tire d'abord la proportion
/? : TT :: a : ûf,
et ensuite, d'après l'équation précédente.
D'où l'on voit que les mouvements angulaires du pôle, autour des axes des cônes osculateurs, ne sont autre chose que la rotation ô décomposée en deux p eln autour des mêmes axes : car, 01 étant égal à i, il est clair qu'en nommant X et g les inclinaisons de 01 sur les axes OP et On, on a
a = sin X et a = sin Ç ;
de sorte que les deux relations précédentes équivalent à celle suite *de rapports égaux :
/> : TT : :: sinÇ : sina: : sin(a7 -4-Ç);
ce qui montre que/ et tt sont les deux côtés d'un parallélogramme dont G est la diagonale.
55. On voit donc comment ces diverses quantités sont liées entre elles, et peuvent se trouver quand on en connaît trois en fonclion du temps.
Si ces trois quantités données sont constantes, toutes les autres le sont aussi; et le mouvement du corps est celui d'un cône droit à base circulaire qui roule uniformément sur un cône fixe également droit et circulaire.
Ainsi, la terre tourne en un jour sur son axe 01, tandis que cet axe décrit , en sens contraire, un cône droit autour de l'axe n de Técliptique , sous un angle £ de 26^8', et avec une vitesse angulaire tt mesurée par le mouvement rétrograde des équinoxes, et qui est d'environ ^2. tierces centésimales par jour. On connaît donc la rotation B autour de l'axe instantané , le cône ûxe 1 que cet axe décrit dans l'espace , et la vitesse angulaire tt qu'il a dans ce mouvement. On peut donc déterminer dans la Terre le cône S qui , roulant sur le
premier 2, et en dedans de sa surface^ ferait décrire àJa Terre le mouvement précis qu^on y observe. Car, en prenant le jour pour unité de temps, on aura
Ô = 2 TT = 4oo°, 7r = ^i"' et sin Ç = sin 26° 8', et les équations précédentes donnent
TTsing 42^^^ sin 26'>8^ tang j: — ^ ^ ^ ^^^ ç — ^^^^ ^ ^^,„ ^^^ ^^^, 5
d'où Ton conclut le rayon sin or du petit cercle qui sert de base 'à ce cône mobile S : ce qui donne à peu près i"*,684 de longueur à la petite circonférence que le pôle instantané de rotation de la Terre décrit chaque jour à sa surface (tout ceci, d'ailleurs, dans rhypolhèse d'une rotation et d'une précession diurnes parfaitement uniformes).
X. — Idée du mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans
V espace absolu.
54. Considérez un point quelconque G du corps» et la vitesse actuelle u Fig. i3. qu'il a dans l'espace; il est clair que tout le mouvement du corps, quel qu'il soit , peut être vu dans cet instant, comme composé : 1" d'une simple translation qui emporterait toutes les molécules avec la même vitesse u suivant des lignes parallèles à la direction de cette vitesse ; et tP d'une simple rotation G autour d'un certain axe 01 passant par le point O que l'on considère. Car, en vertu du premier de ces deux mouvements , le point O sera porté dans l'espace au lieu même où il doit être au bout d'un instant ; et par le second autour d'un axe 01 bien choisi, le corps pourra venir dans la posi- ^ tion quelconque qu'on lui suppose au bout du même instant.
Or, s'il arrivait que la direction OU de la translation u fut perpendiculaire Fie 14* à l'axe 01 de la rotation Ô , tout le mouvement pourrait se réduire à une simple rotation autour d'un certain axe G' S parallèle à 01. Car menez suivant 01 le plan perpendiculaire à OU, et supposez que dans ce plan , et du côté de l'axe où la vitesse de rotation des molécules est de sens contraire à leur
vitesse de translation, on prenne un point O' à la distance .r=ir- de cet axe
01 ; il est évident que ce point O' aura dans l'espace une vitesse nulle x ô — a , et qu'il en sera de même pour tous les points du corps situés sur la ligne O'S parallèle à 01. Donc, dans le cas particulier de OU perpendiculaire à l'axe instantané 01 , le double mouvement du corps se réduit à une simple rotation autour d'un certain axe déterminé O'S, et qu'on nomme Vaxe spontané de rotation.
Actuellement, si OU n'est pas perpendiculaire à 01 <(ce qui est le cas le Fig. i5. plus général ) , imaginez qu'on décompose la vitesse U de translation en deux , l'une V perpendiculaire à 01 , et l'autre r/ parallèle au même axe. La pre-
mière t^ , combinée avec la rotation , donnera lieu à une rotation spontanée autour d'un certain axe parallèle à 01, comme on vient de le voir tout à rheure ; et la seconde c' transportera tous les points du corps dans une direction parallèle à cet axe spontané. Donc , dans le cas le plus général , tout le mouvement d'un corps se réduit à tourner sur un certain axe et à glisser en même temps le long de cet axe : de sorte que ce mouvement est exactement le même que celui d'une vis qui tourne dans son écrou. Tous les points du corps décrivent donc , sur des cylindres concentriques , de petits arcs à* hélices qui ont toutes le même pas. Dans l'instant suivant, c'est une autre vis y d'un autre axe et d'un pas différent ; et ainsi de suite d'un instant à l'autre : d'où l'on voit comment se forment les courbes simultanées que décrivent tous les points du corps, et le long desquelles ils se meuvent comme en autant de canaux curvilignes où ils seraient enfermés.
55. On conçoit parfaitement le mouvement de translation , par lequel tous les points d'un corps sont portés suivant des lignes égales et parallèles dans l'espace ; on conçoit avec autant de clarté le mouvement de rotation autour d'un axe qui demeure immobile : mais on ne voit pas si bien le mouvement unique et réel qui vient de la combinaison de ces deux-là pour chaque point du corps; et c'est la coexistence de ces deux mouvements en un seul , que j'ai voulu montrer dans le mouvement si connu d'une vis qui tourne actuellement dans son écrou.
Quelquefois le pas de cette vis est nul , et tout se réduit à une simple rotation sur un certain axe qui prend le nom A^axe spontané de rotation. Mais, en général , le pas de la vis n'est pas nul , et il n'y a point d'axe spontané proprement dit; c'est-à-dire que, dans le corps, il n'y a aucune ligne dont tous les points demeurent immobiles pendant un instant : mais il y a toujours ce qu'op pourrait nommer un axe spontané glissant; c'est-à-dire qu'il y a toujours dans le corps une ligne droite dont tous les points n'ont d'autre mouvement qu'une simple translation le long de cette droite.
56. Telle est donc la nature du mouvement des corps solides et l'idée nette qu'on peut s'en faire à chaque instant. Si un corps pirouette d'une manière quelconqne sur un point fixe , c'est un certain cône mobile qui roule en cet instant sur un autre cône fixe de même sommet : et toutes les variétés de ce genre de mouvement sont données par les variétés de surfaces coniques que l'on peut considérer, et parmi lesquelles il faut comprendre le plan qui est la plus simple de toutes, le cylindre qui est un cône dont le sommet est à l'infini, et même la ligne droite qui est aussi un cas particulier des surfaces coniques. Enfin, si un corps se meut d'une manière quelconque dans l'espace, on peut le voir à chaque instant comme une certaine vis qui tourne actuellement dans son écrou. Et comme c'est aussi à ce mouvement que peuvent se réduire des
rotadoDS quelconques (n^ 19), on peut conclure que, par de simples rotations sur différents axes, on peut donner à un corps le mouvement le plus général dont il soit susceptible.
