HISTORIQUE

i . Le problème de la duplication du cube et celui des deux tnoyennes proportionnelles, qui exercèrent une si heureuse influence sur les progrès de la géométrie naissante, présentent aiissi le premier exemple de l'apparition des lignes à double courbure dans les spéculations géométriques. On connaît les nombreuses et inutiles tentatives qui furent faites d'abord pour résoudre ces problèmes par la ligne droite et le cercle; et les diverses solutions mécaniques cyin leur succédèrent, exigeant toutes, ou l'emploi d'un instrument spécial, ou l'usage d'une courbe auxiliaire, construite par points. C'était sans doute après avoir acquis la conviction de l'impossibilité d'une solution géométrique , que les anciens, aussi sévères dans leurs consUuclions que dans leurs raisonnements, s'étaient enlin rejeles

■2 l'UEMlKIlE l'Al'.TlE.

sur lo solmioiis nu'caiiiquos. ou niùmc puremcnl .sprrul;iliM's, do CCS pi-oblèiuos. Pairiii tes diMiiières, celle ([iic nous allons iapj)Oiier d'après Arcliit.is, philosojdie pythagoricien . qui eut la gloir<' de coni|)ler Plaloii j)ai'iui ses disciples, nous paiail olïrii-, ({Uoi(}ue très iiii,a'nieusc vl tiès-simplc, l'expression la plus élevée du découragement où en étaient arrivés les géonièlres; et du seuiiiucnt, général sans dôme dès cette épocpie, (le l'inutilité des elTorts que Ton pourrait tenter encore pour parvenir à uni; \érilablc solution.

Traçons sur un plan deux demi-conférences égales et ayani un point comnuin o. oy étant la corde que le diamètre on' ôc la seconde délcrmine dins la première, soient ox la corde de la seconde circonférence ayant oy pour projection et ox' la projection de oy sur le diamètre on de la première. Si Ton pose

oa = on' = ^7 , ux = .1-, oy = y , on aura